Exercices de maths 1ère : Produit scalaire

Exercice 1Avec les coordonnées

\(\vec{u}(3\,;\,-2)\), \(\vec{v}(4\,;\,5)\), \(\vec{w}(-1\,;\,2)\) dans un repère orthonormé.

1. Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\vec{u}\cdot\vec{w}\), \(\vec{v}\cdot\vec{w}\).
2. Quels vecteurs sont orthogonaux ?
3. Calculer \(\|\vec{u}\|\) et \(\vec{u}\cdot\vec{u}\).

Exercice 2Avec l'angle

1. \(\|\vec{u}\| = 3\), \(\|\vec{v}\| = 4\), angle \(60^\circ\). Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).
2. \(\|\vec{u}\| = 2\), \(\|\vec{v}\| = 5\), angle \(\dfrac{3\pi}{4}\). Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).
3. ABC équilatéral de côté \(6\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}\).

Exercice 3Projeté orthogonal

ABCD est un carré de côté \(4\), I milieu de \([BC]\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) par projection.
2. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AI}\).
3. Calculer \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}\).

Exercice 4Calcul d'angle

A\((1\,;\,2)\), B\((5\,;\,4)\), C\((2\,;\,6)\).

1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
2. Calculer \(AB\) et \(AC\).
3. En déduire une mesure de \(\widehat{BAC}\) au degré près.

Exercice 5Orthogonalité

1. Pour quelle valeur de \(k\) les vecteurs \((2\,;\,k)\) et \((3\,;\,-4)\) sont-ils orthogonaux ?
2. A\((0\,;\,1)\), B\((4\,;\,3)\), C\((3\,;\,5)\). Le triangle ABC est-il rectangle ?
3. Déterminer un vecteur orthogonal à \((5\,;\,-2)\).

Exercice 6Identités

1. Développer \((\vec{u} + \vec{v})^2\) et \((\vec{u} - \vec{v})^2\).
2. En déduire \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)\).
3. Application : \(AB = 5\), \(AC = 7\), \(BC = 8\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).

Exercice 7Formule d'Al-Kashi

1. Triangle avec \(AB = 6\), \(AC = 8\), \(\widehat{BAC} = 60^\circ\). Calculer \(BC\).
2. Triangle avec \(a = 7\), \(b = 5\), \(c = 9\). Calculer l'angle opposé au côté \(c\).
3. Retrouver le théorème de Pythagore comme cas particulier.

Exercice 8Théorème de la médiane

ABC est un triangle, I milieu de \([BC]\).

1. Montrer que \(AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \dfrac{BC^2}{2}\).
2. Application : \(AB = 5\), \(AC = 7\), \(BC = 6\). Calculer \(AI\).

Exercice 9Lignes de niveau

A\((-2\,;\,0)\), B\((2\,;\,0)\). Soit M\((x\,;\,y)\).

1. Calculer \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}\) en fonction de \(x\) et \(y\).
2. Déterminer l'ensemble des points M tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0\).
3. Déterminer l'ensemble des points M tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 5\).

Exercice 10Problème

ABCD est un rectangle avec \(AB = 6\), \(AD = 4\). On munit le plan du repère \((A\,;\,\vec{i}, \vec{j})\) avec \(\vec{i} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}\), \(\vec{j} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\). Soit M un point de \([DC]\) tel que \(DM = x\).

1. Coordonnées de A, B, C, D, M.
2. Calculer \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}\) en fonction de \(x\).
3. Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) le triangle AMB est-il rectangle en M ?