Limites de fonctions : exercices de maths en 1ère corrigés à télécharger en PDF

Exercice 1 – Limites en l’infini

Déterminer dans chaque cas \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).

1. \(f(x)=\dfrac{\sin x+1}{2x}\,;\; D=\mathbb{R}^*.\)

2. \(f(x)=2\sqrt{x}-\sin(3x+1)\,;\; D=\mathbb{R}^+.\)

Exercice 2 – Domaine de définition et limites

Déterminer le domaine de définition D de f puis étudiez les limites de f aux bornes de D.

\(f(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{4x+2}}\)

Exercice 3 – Limite d’une fonction rationnelle

Déterminer la limite en \(+\infty\) et \(-\infty\) de :

\(g(x)=\dfrac{3x^3+2x^2+1}{2x^4+3x^2-5}\)

Exercice 4 – Calculer les limites suivantes

1. \(\lim_{x \to 0} (\dfrac{1}{x^2}-\sqrt{x})\)

2. \(\lim_{x \to +\infty} (\dfrac{1}{x^2}-\sqrt{x})\)

3. \(\lim_{x \to +\infty} (\dfrac{1}{x-2}-1)\)

Exercice 5 – Fonctions, dérivée et tangente

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-3x\).

On note \(C_f\) sa représentation graphique.

1. Calculer la dérivée \(f^{\prime}\) de \(f\), puis résoudre l’équation \(f^{\prime}(x)=0\).

2. En déduire les coordonnées des deux points A et B en lesquels \(C_f\) admet une tangente horizontale.

3. Déterminer les coordonnées des trois points P, Q et R d’intersection entre \(C_f\) et l’axe des abscisses (on notera P celui qui a une abscisse strictement positive).

4. En déduire une équation de la tangente T à \(C_f\) en P.

Exercice 6 – Fonctions, dérivée et limite

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) par \(f(x)=\dfrac{2x-5}{x-2}\).

1. Étudier les limites suivantes :

\(\lim_{x\to +\infty} f(x)\) et \(\lim_{x\to 2,\; x \gt 2} f(x)\).

2. Calculer la dérivée \(f^{\prime}\) de \(f\). Quel est son signe ?

Exercice 7 – Calcul de limites de fonctions

Déterminer les limites suivantes :

1. \(\lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{x}\)

2. \(\lim_{x \to +\infty} -\frac{x^2}{2}\)

3. \(\lim_{x \to +\infty} 2+\frac{1}{x}\)

4. \(\lim_{x \to +\infty} -5x^3\)

Exercice 8

Déterminer les limites suivantes :
1. \(\lim_{x \to -\infty} -\frac{1}{x}\)

2. \(\lim_{x \to -\infty} -\frac{x^2}{2}\)

3. \(\lim_{x \to -\infty} 2+\frac{1}{x}\)

4. \(\lim_{x \to -\infty} -5x^3\)

5. \(\lim_{x \to -\infty} -\sqrt{-x}\)

6. \(\lim_{x \to -\infty} -\frac{2}{-5x^3}\)

Exercice 9

Déterminer les limites suivantes :
1. \(\lim_{x \to 0^-} -\frac{1}{x}\)

2. \(\lim_{x \to {-3}^-} x+3\)

3. \(\lim_{x \to {2}^-} 2-x^2\)

4. \(\lim_{x \to {3}^+} \frac{1}{2x-6}\)

5. \(\lim_{x \to {3}^+} \frac{-7}{6-2x}\)

Exercice 10

Déterminer les limites de sommes ou de différences suivantes :
1. \(\lim_{x \to +\infty} x^2+3x+5\)

2. \(\lim_{x \to +\infty} 10-3x-x^2\)

3. \(\lim_{x \to +\infty} 3+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}\)

Exercice 11

Déterminer les limites de quotients et racines carrées suivantes :
1. \(\lim_{x \to 0^-} \frac{3x^2+6x-5}{x^3}\)

2. \(\lim_{x \to 2^-} \frac{4x^2+2x-1}{x-2}\)

3. \(\lim_{x \to 6^-} 5x+6-\frac{7}{x-6}\)

4. \(\lim_{x \to {-3}^-} \frac{4-x^2}{(x+3)^2}\)

5. \(\lim_{x \to {6}^+} \sqrt{2x-12}\)

6. \(\lim_{x \to {3}^-} \sqrt{\frac{1}{3-x}}\)

7. \(\lim_{x \to {3}^+} 5x+3-\frac{1}{\sqrt{3-x}}\)

Exercice 12

Préciser la limite des formes indéterminées suivantes :
1. \(\lim_{x \to +\infty} x^2-3x+5\)

2. \(\lim_{x \to +\infty} 1-x^2+x^3\)

3. \(\lim_{x \to -\infty} x^2+5x-1\)

4. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+5x-9}{5x^2-1}\)

5. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{8x^6-9}{5x^4-3}\)

6. \(\lim_{x \to +\infty} x-\sqrt{x}\)

7. \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+2}-\sqrt{x}\)

8. \(\lim_{x \to -\infty} \sqrt{3-x}-\sqrt{4-x}\)

 

Exercice 13 – Lecture graphique de limites

On a représenté ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_f\) d’une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Les droites en pointillés sont des asymptotes à la courbe.

1. Lire graphiquement \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\), \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\), \(\lim_{x \to 1,\; x \lt 1} f(x)\) et \(\lim_{x \to 1,\; x \gt 1} f(x)\). Donner les équations des asymptotes.

2. On admet que \(f(x)=\dfrac{3x-1}{x-1}\). Retrouver ces quatre limites par le calcul.

Exercice 14 – Limites de fonctions polynômes et rationnelles

Déterminer les limites suivantes, en justifiant la méthode utilisée :

a) \(\lim_{x \to +\infty} (x^3-5x^2+2)\)

b) \(\lim_{x \to -\infty} (-2x^3+x)\)

c) \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2+1}{3x-2}\)

d) \(\lim_{x \to -\infty} \dfrac{-x^2+3x}{2x^2+1}\)

e) \(\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x^2-x}{x^3+2}\)

Exercice 15 – Quantité conjuguée

Déterminer les limites suivantes, en multipliant par la quantité conjuguée :

a) \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+3x}-x)\)

b) \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{4x^2+1}-2x)\)

c) \(\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+5}-\sqrt{x-1})\)

d) \(\lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}\)

e) \(\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+x}+x)\)

Exercice 16 – Étude complète d’une fonction rationnelle

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{2x+3}{x^2-4x+3}\).

1. Factoriser le dénominateur et déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

3. Étudier les limites de \(f\) à gauche et à droite de 1, puis à gauche et à droite de 3.

4. En déduire les asymptotes à la courbe de \(f\).

Exercice 17 – Coût moyen de fabrication

Une entreprise fabrique \(q\) objets par jour, avec \(q\) dans \(]0\,;\,+\infty[\). Le coût total de fabrication, en euros, est \(C(q)=2q^2+40q+450\). Le coût moyen d’un objet est \(h(q)=\dfrac{C(q)}{q}\).

1. Montrer que \(h(q)=2q+40+\dfrac{450}{q}\).

2. Déterminer les limites de \(h\) en 0 et en \(+\infty\). Interpréter le résultat en 0 pour l’entreprise.

3. Calculer \(h^{\prime}(q)\), étudier son signe, puis dresser le tableau de variations de \(h\).

4. Pour quelle quantité le coût moyen est-il minimal ? Quel est alors ce coût moyen ?

Exercice 18 – Vrai ou faux ?

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse. Justifier avec une démonstration ou un contre-exemple.

a) Si \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\), alors \(f\) est croissante sur un intervalle \([A\,;\,+\infty[\).

b) Si \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=0\) et \(\lim_{x \to +\infty} g(x)=+\infty\), alors \(\lim_{x \to +\infty} f(x)g(x)=0\).

c) Une fonction peut admettre deux asymptotes horizontales différentes.

d) Que pensez-vous de l’affirmation de Lina ?

Exercice 19 – Théorème d’encadrement

On rappelle que pour tout réel \(x\), \(-1 \leq\, \cos x \leq\, 1\) et \(-1 \leq\, \sin x \leq\, 1\).

On a représenté ci-dessous, pour \(x \gt 0\), la courbe de \(f(x)=\dfrac{2x+\cos x}{x}\) et les courbes d’équations \(y=2+\dfrac{1}{x}\) et \(y=2-\dfrac{1}{x}\) (en pointillés).

1. Conjecturer la limite de \(f\) en \(+\infty\), puis la démontrer à l’aide d’un encadrement.

2. Déterminer les limites suivantes :

a) \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cos x}{x^2+1}\)

b) \(\lim_{x \to +\infty} (x-3\sin x)\)

c) \(\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x+\cos x}{x}\)

Exercice 20 – Un quotient qui se simplifie

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{x^2+x-2}{x^2-1}\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que, pour tout \(x\) du domaine, \(f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}\).

3. Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\), en \(-\infty\), à gauche et à droite de \(-1\).

4. Que vaut la limite de \(f\) en 1 ? La droite \(x=1\) est-elle une asymptote ?

Limites de fonctions : nos conseils pour progresser

D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, pour aller plus loin, l’article Fonction (mathématiques) de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.