Limites de fonctions : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Mis à jour le 8 mai 2025

🔍Corrigés Détaillés

1ere • Scolaire

Limites de fonctions

🔎 Analyse : 15 min

🎯 Niveau : Scolaire

📱 Format : Gratuit

📄 PDF : Disponible

Le corrigé des exercices sur les limites en 1ère. Savoir calculer des limites et lever des formes indéterminées en première.

Exercice 1 :

Déterminer dans chaque cas $\lim_{x \mapsto +\infty }f(x)$ .

1. $f(x)=\frac{sinx+1}{2x}\;\,D=\mathbb{R}^*.$

Il n’y a pas de forme indéterminée.

En $+\infty$ , le numérateur est majoré par 2 et minoré par 0 et le dénominateur tend vers $+\infty$

donc $\lim_{x \mapsto +\infty }f(x)=0$

2. $f(x)=2\sqrt{x}-sin(3x+1)\,;D=\mathbb{R}^+.$

Il n’y a pas de forme indéterminée ici le sinus est borné entre – 1 et + 1

donc $\lim_{x \mapsto +\infty }f(x)=\lim_{x \mapsto +\infty }2\sqrt{x}=+\infty$

Exercice 2 :

Déterminer le domaine de définition D de f puis étudier les limites de f aux bornes de D.

$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{4x+2}}$

Il faut que $\frac{x-1}{4x+2}\geq\, 0$ et $4x+2\neq0$

ce qui revient à $(x-1)(4x+2)\geq\, 0$ et $x\neq -\frac{1}{2}$

Conclusion : $D_f=]-\infty;-\frac{1}{2}[\cup [1;+\infty[$

Exercice 3 :

Déterminer la limite en $+\infty$ et $-\infty$ de :

$g(x)=\frac{3x^3+2x^2+1}{2x^4+3x^2-5}$

C’est une fonction rationnelle donc la limite en l’infini correspond au quotient des limites en plus l’infini des termes de plus haut degré.

$\lim_{x \mapsto +\infty }g(x)=\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{3x^3}{2x^4}=\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{3}{2x}=0$

et de même :

$\lim_{x \mapsto -\infty }g(x)=\lim_{x \mapsto -\infty }\frac{3x^3}{2x^4}=\lim_{x \mapsto -\infty }\frac{3}{2x}=0$

Exercice 4 :

$1.\,\lim_{x \mapsto 0 }\frac{1}{x^2}-\sqrt{x}=+\infty\\2.\,\lim_{x \mapsto +\infty}\frac{1}{x^2}-\sqrt{x}=-\infty\\3.\,\lim_{x \mapsto +\infty }(\frac{1}{x-2}-1)=-1$

Exercice 5 :

1. La fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$ , et sa dérivée est :

$f'(x)\,=\,3x^2\,-\,3\,=\,3(x^2\,-\,1)$

On résout l’équation :

$\Leftrightarrow x^2 - 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x+1) = 0$

Ainsi, les solutions de l’équation sont et .

2. Pour qu’une tangente à la courbe soit horizontale, il faut que sa pente (c’est-à-dire la valeur de sa dérivée) soit nulle. Ainsi, les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec les tangentes horizontales sont les solutions de l’équation , c’est-à-dire les points de coordonnées où ou . Ces points sont donc et .

3. Les points d’intersection entre et l’axe des abscisses sont les solutions de l’équation . On a :

Ainsi, les solutions de l’équation sont , $x = \sqrt{3}$ et $x = -\sqrt{3}$ . Les coordonnées de ces points sont donc $P(\sqrt{3}, 0)$ , et $R(-\sqrt{3},0)$ .

4. On veut l’équation de la tangente à en $P(\sqrt{3},0)$ . La pente de cette tangente est donnée par la dérivée de en $x = \sqrt{3}$ , c’est-à-dire :

$f'(\sqrt{3}) = 3(\sqrt{3})^2 - 3 = 6$

Ainsi, l’équation de la tangente en est de la forme . Comme la tangente passe par le point $P(\sqrt{3},0)$ , on a :

$0 = 6\sqrt{3} + b$

$\Leftrightarrow b = -6\sqrt{3}$

L’équation de la tangente en est donc :

$y = 6x - 6\sqrt{3}$

Exercice 6 :

1. Pour étudier les limites de , on peut utiliser la forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ (pour la limite en $+\infty$ ) et la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ (pour la limite en ). On a :

$\lim_{x\to +\infty}f(x) = \lim_{x\to +\infty} \frac{2x-5}{x-2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{2 - \frac{5}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = 2$

On a utilisé ici la règle de de L’Hôpital (en faisant tendre le numérateur et le dénominateur vers l’infini).

Pour la limite en , on a :

$\lim_{x\to 2^+}f(x) = \lim_{x\to 2^+} \frac{2x-5}{x-2} = \lim_{x\to 2^+} \frac{2 - \frac{3}{x-2}}{1} = 2$

La limite en du côté droit est donc égale à .

2. On calcule la dérivée de en utilisant la formule du quotient () :

$f'(x) = \frac{(2)(x-2) - (2x-5)(1)}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2}$

La dérivée est donc strictement négative pour tout $x \neq 2$ . En effet, le dénominateur est toujours positif, et le numérateur est négatif, donc la fraction est négative.

Exercice 7 :
Déterminer les limites suivantes :

1. $\lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{x} =0$
2. $\lim_{x \to +\infty} -\frac{x^2}{2}=-\infty$
3. $\lim_{x \to +\infty} 2+\frac{1}{x}=2$
4. $\lim_{x \to +\infty} -5x^3=-\infty$

Exercice 8 :
1. $\lim_{x \to -\infty} -\frac{1}{x}=0$
2. $\lim_{x \to -\infty} -\frac{x^2}{2} =-\infty$
3. $\lim_{x \to -\infty} 2+\frac{1}{x}=2$
4. $\lim_{x \to -\infty} -5x^3=+\infty$
5. $\lim_{x \to -\infty} -\sqrt{-x}=-\infty$
6. $\lim_{x \to -\infty} -\frac{2}{-5x^3}=0$

Exercice 9 :
1. $\lim_{x \to 0^-} -\frac{1}{x}=+\infty$

2. $\lim_{x \to {-3}^-} x+3=0+$

3. $\lim_{x \to {2}^-} 2-x^2=-2$

4. $\lim_{x \to {3}^+} \frac{1}{2x-6}=+\infty$

5. $\lim_{x \to {3}^+} \frac{-7}{6-2x}=+\infty$

Exercice 10 :
Déterminer les limites de sommes ou de différences suivantes :

1. $\lim_{x \to +\infty} x^2+3x+5=+\infty$

2. $\lim_{x \to +\infty} 10-3x-x^2=-\infty$

3. $\lim_{x \to +\infty} 3+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}=3$

Exercice 11 :
Déterminer les limites de quotients et racines carrées suivantes :

1. $\lim_{x \to 0^-} \frac{3x^2+6x-5}{x^3} =+\infty$

2. $\lim_{x \to 2^-} \frac{4x^2+2x-1}{x-2}=-\infty$

3. $\lim_{x \to 6^-} 5x+6-\frac{7}{x-6}=+\infty$

4. $\lim_{x \to {-3}^-} \frac{4-x^2}{(x+3)^2}=-\infty$

5. $\lim_{x \to {6}^+} \sqrt{2x-12}=0+$

6. $\lim_{x \to {3}^-} \sqrt{\frac{1}{3-x}}=+\infty$

7. Elle n’existe pas.

Exercice 12 :
Préciser la limite des formes indéterminées suivantes :

1. $\lim_{x \to +\infty} x^2-3x+5=+\infty$

2. $\lim_{x \to +\infty} 1-x^2+x^3 =+\infty$

3. $\lim_{x \to -\infty} x^2+5x-1 =+\infty$

4. $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+5x-9}{5x^2-1}=\frac{3}{5}$

5. $\lim_{x \to -\infty} \frac{8x^6-9}{5x^4-3}=+\infty$

6. $\lim_{x \to +\infty} x-\sqrt{x}=+\infty$

7. $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+2}-\sqrt{x}=0$

8. $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{3-x}-\sqrt{4-x}=0$

4.4/5 - (20251 votes)

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «limites de fonctions : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.» au format PDF.

Ressources de première

Cours de première

Equations et inéquations du second degré

Dérivée d’une fonction

Les suites numériques

Probabilités

Généralités sur les fonctions numériques

Angles orientés et repérage polaire

Exercices de première

Probabilités

Produit scalaire

Les équations et inéquations du second degré

Fonctions et variations

Barycentre

Géométrie dans l’espace

×12

L'équipe Mathovore

Contenu mis à jour quotidiennement

12 Enseignants Titulaires

Collectif d'enseignants titulaires de l'Éducation Nationale, spécialisés en mathématiques en primaire, au collège, au lycée et post-bac.
Notre équipe collaborative enrichit constamment nos ressources pédagogiques.

12 Professeurs

200+ Années cumulées

Quotidien Mise à jour

Nos applications

Téléchargez gratuitement la dernière version de nos applications.

Mathovore c'est 14 122 542 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.