Limites de fonctions : corrigé des exercices de maths en 1ère à télécharger en PDF

Exercice 1 (corrigé limites fonctions)

Déterminer dans chaque cas \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).

1. \(f(x)=\dfrac{\sin x+1}{2x}\,;\; D=\mathbb{R}^*.\)

Il n’y a pas de forme indéterminée.

En \(+\infty\), le numérateur est majoré par 2 et minoré par 0 (car \(-1 \leq\, \sin x \leq\, 1\)) et le dénominateur tend vers \(+\infty\). Pour \(x \gt 0\), on a donc \(0 \leq\, f(x) \leq\, \dfrac{2}{2x}=\dfrac{1}{x}\), et \(\dfrac{1}{x}\) tend vers 0. Coincé entre 0 et une quantité qui tend vers 0 (théorème des gendarmes), \(f(x)\) tend aussi vers 0 :

\(\lim_{x \to +\infty} f(x)=0\)

2. \(f(x)=2\sqrt{x}-\sin(3x+1)\,;\; D=\mathbb{R}^+.\)

Il n’y a pas de forme indéterminée ici : le sinus est borné entre – 1 et + 1, donc \(f(x) \geq\, 2\sqrt{x}-1\) et \(2\sqrt{x}-1\) tend vers \(+\infty\). Par comparaison :

\(\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\)

Exercice 2 :

Déterminer le domaine de définition D de f puis étudier les limites de f aux bornes de D.

\(f(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{4x+2}}\)

Il faut que \(\dfrac{x-1}{4x+2}\geq\, 0\) et \(4x+2\neq0\)

ce qui revient à \((x-1)(4x+2)\geq\, 0\) et \(x\neq -\dfrac{1}{2}\)

Conclusion : \(D_f=]-\infty;-\dfrac{1}{2}[\cup [1;+\infty[\)

Limites aux bornes de \(D_f\) :

• En \(+\infty\) et en \(-\infty\) : \(\dfrac{x-1}{4x+2}\) est une fonction rationnelle dont la limite est celle du quotient des termes de plus haut degré, soit \(\dfrac{x}{4x}=\dfrac{1}{4}\). Comme \(\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}\), on obtient \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty} f(x)=\dfrac{1}{2}\) : la droite d’équation \(y=\dfrac{1}{2}\) est asymptote horizontale à la courbe en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
• En \(-\dfrac{1}{2}\) à gauche : \(x-1\) tend vers \(-\dfrac{3}{2}\) et \(4x+2\) tend vers 0 en restant négatif (car \(x \lt -\dfrac{1}{2}\)), donc \(\dfrac{x-1}{4x+2}\) tend vers \(+\infty\) et \(\lim_{x \to -\frac{1}{2}^-} f(x)=+\infty\) : la droite d’équation \(x=-\dfrac{1}{2}\) est asymptote verticale.
• En 1 : la fonction est définie en 1 et \(f(1)=\sqrt{0}=0\), donc \(\lim_{x \to 1^+} f(x)=0\).

Exercice 3 (corrigé limites fonctions)

Déterminer la limite en \(+\infty\) et \(-\infty\) de :

\(g(x)=\dfrac{3x^3+2x^2+1}{2x^4+3x^2-5}\)

C’est une fonction rationnelle donc sa limite en l’infini est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

\(\lim_{x \to +\infty} g(x)=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3}{2x^4}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3}{2x}=0\)

et de même :

\(\lim_{x \to -\infty} g(x)=\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x^3}{2x^4}=\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3}{2x}=0\)

Exercice 4 :

1. La fonction n’est définie que pour \(x \gt 0\) (à cause de \(\sqrt{x}\) et de \(\dfrac{1}{x^2}\)). Quand \(x\) tend vers 0, \(\dfrac{1}{x^2}\) tend vers \(+\infty\) et \(\sqrt{x}\) tend vers 0, donc \(\lim_{x \to 0} (\dfrac{1}{x^2}-\sqrt{x})=+\infty\).

2. En \(+\infty\), \(\dfrac{1}{x^2}\) tend vers 0 et \(\sqrt{x}\) tend vers \(+\infty\), donc \(\lim_{x \to +\infty} (\dfrac{1}{x^2}-\sqrt{x})=-\infty\).

3. En \(+\infty\), \(x-2\) tend vers \(+\infty\) donc \(\dfrac{1}{x-2}\) tend vers 0, et \(\lim_{x \to +\infty} (\dfrac{1}{x-2}-1)=-1\).

Exercice 5 :

1. La fonction \(f(x) = x^3 – 3x\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et sa dérivée est :

\(f^{\prime}(x)\,=\,3x^2\,-\,3\,=\,3(x^2\,-\,1)\)

On résout l’équation \(f^{\prime}(x) = 0\) :

\(3(x^2 – 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow x^2 – 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(x+1) = 0\)

Ainsi, les solutions de l’équation \(f^{\prime}(x) = 0\) sont \(x = -1\) et \(x = 1\).

2. Pour qu’une tangente à la courbe \(C_f\) soit horizontale, il faut que sa pente (c’est-à-dire la valeur de sa dérivée) soit nulle. Ainsi, les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec les tangentes horizontales sont les solutions de l’équation \(f^{\prime}(x) = 0\), c’est-à-dire les points de coordonnées \((x, f(x))\) où \(x = -1\) ou \(x = 1\). Comme \(f(-1)=-1+3=2\) et \(f(1)=1-3=-2\), ces points sont donc \(A(-1\,;2)\) et \(B(1\,;-2)\).

3. Les points d’intersection entre \(C_f\) et l’axe des abscisses sont les solutions de l’équation \(f(x) = 0\). On a :

\(f(x) = x^3 – 3x = x(x^2 – 3)\)

Ainsi, les solutions de l’équation \(f(x) = 0\) sont \(x = 0\), \(x = \sqrt{3}\) et \(x = -\sqrt{3}\). Les coordonnées de ces points sont donc \(P(\sqrt{3}\,;0)\), \(Q(0\,;0)\) et \(R(-\sqrt{3}\,;0)\).

4. On veut l’équation de la tangente à \(C_f\) en \(P(\sqrt{3}\,;0)\). La pente de cette tangente est donnée par la dérivée de \(f\) en \(x = \sqrt{3}\), c’est-à-dire :

\(f^{\prime}(\sqrt{3}) = 3(\sqrt{3})^2 – 3 = 6\)

Ainsi, l’équation de la tangente en \(P\) est de la forme \(y = 6x + b\). Comme la tangente passe par le point \(P(\sqrt{3}\,;0)\), on a :

\(0 = 6\sqrt{3} + b\)

\(\Leftrightarrow b = -6\sqrt{3}\)

L’équation de la tangente en \(P\) est donc :

\(y = 6x – 6\sqrt{3}\)

Exercice 6 :

1. Limite en \(+\infty\) : le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers \(+\infty\), c’est une forme indéterminée \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On la lève en factorisant par \(x\) :

\(\lim_{x\to +\infty}f(x) = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{2x-5}{x-2} = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{2 – \frac{5}{x}}{1 – \frac{2}{x}} = 2\)

car \(\dfrac{5}{x}\) et \(\dfrac{2}{x}\) tendent vers 0. La droite d’équation \(y=2\) est asymptote horizontale à la courbe en \(+\infty\).

Limite en \(2\) à droite : ce n’est pas une forme indéterminée. Le numérateur \(2x-5\) tend vers \(2\times 2-5=-1\) et le dénominateur \(x-2\) tend vers 0 en restant positif (car \(x \gt 2\)). Un quotient d’un nombre négatif par un nombre positif très proche de 0 est négatif et très grand en valeur absolue :

\(\lim_{x\to 2^+}f(x) = -\infty\)

La droite d’équation \(x=2\) est asymptote verticale à la courbe.

2. On calcule la dérivée de \(f\) en utilisant la formule du quotient \((\dfrac{u}{v})^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\) avec \(u(x)=2x-5\) et \(v(x)=x-2\) :

\(f^{\prime}(x) = \dfrac{2(x-2) – (2x-5)\times 1}{(x-2)^2} = \dfrac{2x-4-2x+5}{(x-2)^2} = \dfrac{1}{(x-2)^2}\)

Le numérateur vaut 1 et le dénominateur est un carré non nul, donc \(f^{\prime}(x) \gt 0\) pour tout \(x \neq 2\) : la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;2[\) et sur \(]2;+\infty[\).

Exercice 7 :

Déterminer les limites suivantes :

1. \(\lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{x} =0\)
2. \(\lim_{x \to +\infty} -\frac{x^2}{2}=-\infty\)
3. \(\lim_{x \to +\infty} 2+\frac{1}{x}=2\)
4. \(\lim_{x \to +\infty} -5x^3=-\infty\)

Exercice 8 :

1. \(\lim_{x \to -\infty} -\frac{1}{x}=0\)
2. \(\lim_{x \to -\infty} -\frac{x^2}{2} =-\infty\)
3. \(\lim_{x \to -\infty} 2+\frac{1}{x}=2\)
4. \(\lim_{x \to -\infty} -5x^3=+\infty\)
5. \(\lim_{x \to -\infty} -\sqrt{-x}=-\infty\)
6. \(\lim_{x \to -\infty} -\frac{2}{-5x^3}=0\)

Exercice 9 :

1. \(\lim_{x \to 0^-} -\frac{1}{x}=+\infty\)

2. \(\lim_{x \to {-3}^-} x+3=0^-\) (pour \(x \lt -3\), on a \(x+3 \lt 0\))

3. \(\lim_{x \to {2}^-} 2-x^2=-2\)

4. \(\lim_{x \to {3}^+} \frac{1}{2x-6}=+\infty\)

5. \(\lim_{x \to {3}^+} \frac{-7}{6-2x}=+\infty\)

Exercice 10 :

Déterminer les limites de sommes ou de différences suivantes :

1. \(\lim_{x \to +\infty} x^2+3x+5=+\infty\)

2. \(\lim_{x \to +\infty} 10-3x-x^2=-\infty\)

3. \(\lim_{x \to +\infty} 3+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}=3\)

Exercice 11 :

Déterminer les limites de quotients et racines carrées suivantes :

1. \(\lim_{x \to 0^-} \frac{3x^2+6x-5}{x^3} =+\infty\)

2. \(\lim_{x \to 2^-} \frac{4x^2+2x-1}{x-2}=-\infty\)

3. \(\lim_{x \to 6^-} 5x+6-\frac{7}{x-6}=+\infty\)

4. \(\lim_{x \to {-3}^-} \frac{4-x^2}{(x+3)^2}=-\infty\)

5. \(\lim_{x \to {6}^+} \sqrt{2x-12}=0^+\)

6. \(\lim_{x \to {3}^-} \sqrt{\frac{1}{3-x}}=+\infty\)

7. Elle n’existe pas : \(\sqrt{3-x}\) n’est définie que pour \(x \leq\, 3\), donc la fonction n’est pas définie à droite de 3.

Exercice 12 :

Préciser la limite des formes indéterminées suivantes :

1. \(\lim_{x \to +\infty} x^2-3x+5=+\infty\)

2. \(\lim_{x \to +\infty} 1-x^2+x^3 =+\infty\)

3. \(\lim_{x \to -\infty} x^2+5x-1 =+\infty\)

4. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+5x-9}{5x^2-1}=\frac{3}{5}\)

5. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{8x^6-9}{5x^4-3}=+\infty\)

6. \(\lim_{x \to +\infty} x-\sqrt{x}=+\infty\)

7. \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+2}-\sqrt{x}=0\)

8. \(\lim_{x \to -\infty} \sqrt{3-x}-\sqrt{4-x}=0\)

Exercice 13 :

1. La courbe se rapproche de la droite horizontale d’équation \(y=3\) à droite comme à gauche, et elle « monte » ou « descend » le long de la droite verticale d’équation \(x=1\).

\(\lim_{x \to +\infty} f(x)=3\) et \(\lim_{x \to -\infty} f(x)=3\). À gauche de 1, la courbe plonge : \(\lim_{x \to 1,\; x \lt 1} f(x)=-\infty\) ; à droite de 1, elle monte : \(\lim_{x \to 1,\; x \gt 1} f(x)=+\infty\). Asymptote horizontale \(y=3\) (en \(+\infty\) et en \(-\infty\)) et asymptote verticale \(x=1\).

2. En l’infini, le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers l’infini : c’est une forme indéterminée. On factorise par \(x\) :

\(f(x)=\dfrac{x(3-\frac{1}{x})}{x(1-\frac{1}{x})}=\dfrac{3-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\), et comme \(\dfrac{1}{x}\) tend vers 0 en \(+\infty\) comme en \(-\infty\), \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty} f(x)=\dfrac{3}{1}=3\).

En 1, le numérateur \(3x-1\) tend vers \(3\times 1-1=2\), strictement positif. Le dénominateur \(x-1\) tend vers 0 en restant négatif si \(x \lt 1\) et positif si \(x \gt 1\). Un quotient d’un nombre proche de 2 par un nombre très proche de 0 est de grande valeur absolue, du signe du dénominateur. Donc \(\lim_{x \to 1,\; x \lt 1} f(x)=-\infty\) et \(\lim_{x \to 1,\; x \gt 1} f(x)=+\infty\), ce qui confirme la lecture graphique.

Exercice 14 :

Ces limites sont des formes indéterminées ou des limites de fonctions de référence : on factorise le terme de plus haut degré.

a) \(x^3-5x^2+2=x^3(1-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^3})\). Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), le facteur entre parenthèses tend vers 1 et \(x^3\) tend vers \(+\infty\). \(\lim_{x \to +\infty} (x^3-5x^2+2)=+\infty\).

b) En \(-\infty\), \(x^3\) tend vers \(-\infty\), donc \(-2x^3\) tend vers \(+\infty\), et le terme \(x\) est négligeable : \(-2x^3+x=-2x^3(1-\dfrac{1}{2x^2})\) avec une parenthèse qui tend vers 1. \(\lim_{x \to -\infty} (-2x^3+x)=+\infty\).

c) \(\dfrac{x^2+1}{3x-2}=\dfrac{x^2(1+\frac{1}{x^2})}{x(3-\frac{2}{x})}=x\times \dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{3-\frac{2}{x}}\). Le quotient tend vers \(\dfrac{1}{3}\) et \(x\) vers \(+\infty\). \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2+1}{3x-2}=+\infty\).

d) La limite d’une fonction rationnelle en l’infini est celle du quotient de ses termes de plus haut degré : \(\dfrac{-x^2}{2x^2}=-\dfrac{1}{2}\). \(\lim_{x \to -\infty} \dfrac{-x^2+3x}{2x^2+1}=-\dfrac{1}{2}\) (la droite d’équation \(y=-\dfrac{1}{2}\) est asymptote horizontale).

e) De même, le quotient des termes de plus haut degré est \(\dfrac{3x^2}{x^3}=\dfrac{3}{x}\), qui tend vers 0 en \(-\infty\). \(\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x^2-x}{x^3+2}=0\).

Exercice 15 :

On utilise l’identité \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) pour faire disparaître les racines carrées du numérateur.

a) Pour \(x \gt 0\), \(\sqrt{x^2+3x}-x=\dfrac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\dfrac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\dfrac{3x}{x(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1)}=\dfrac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}\). Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), cette expression tend vers \(\dfrac{3}{1+1}\). \(\lim=\dfrac{3}{2}\).

b) \(\sqrt{4x^2+1}-2x=\dfrac{4x^2+1-4x^2}{\sqrt{4x^2+1}+2x}=\dfrac{1}{\sqrt{4x^2+1}+2x}\). Le dénominateur tend vers \(+\infty\). \(\lim=0\).

c) Pour \(x \geq\, 1\), \(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-1}=\dfrac{(x+5)-(x-1)}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-1}}=\dfrac{6}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-1}}\). Le dénominateur tend vers \(+\infty\). \(\lim=0\).

d) Pour \(x \geq\, 0\) et \(x \neq 4\), \(\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\). Quand \(x\) tend vers 4, cela tend vers \(\dfrac{1}{2+2}\). \(\lim=\dfrac{1}{4}\).

e) La fonction est définie pour \(x \leq\, -1\). Alors \(\sqrt{x^2+x}+x=\dfrac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}-x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}-x}\). Pour \(x \lt 0\), \(\sqrt{x^2+x}=\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}=-x\sqrt{1+\frac{1}{x}}\), donc le dénominateur vaut \(-x\sqrt{1+\frac{1}{x}}-x=-x(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1)\) et l’expression devient \(\dfrac{x}{-x(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1)}=-\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\). Elle tend vers \(-\dfrac{1}{2}\) en \(-\infty\). \(\lim=-\dfrac{1}{2}\).

Exercice 16 :

1. Le discriminant de \(x^2-4x+3\) est \(16-12=4\), les racines sont \(1\) et \(3\) et \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\). \(f\) est définie sur \(D=\mathbb{R}\setminus\{1\,;\,3\}\).

2. La limite d’une fonction rationnelle en l’infini est celle du quotient des termes de plus haut degré : \(\dfrac{2x}{x^2}=\dfrac{2}{x}\), qui tend vers 0. \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty} f(x)=0\).

3. Pour la valeur 1, le numérateur tend vers \(2\times 1+3=5\). Le dénominateur s’écrit \((x-1)(x-3)\) avec \(x-3\) proche de \(-2\).

• Si \(x \lt 1\), \(x-1\) est négatif et très petit, donc le produit \((x-1)(x-3)\) est positif et proche de 0 : \(\lim_{x \to 1,\; x \lt 1} f(x)=+\infty\).
• Si \(x \gt 1\), \(x-1\) est positif, donc le produit est négatif et proche de 0 : \(\lim_{x \to 1,\; x \gt 1} f(x)=-\infty\).

Pour la valeur 3, le numérateur tend vers \(2\times 3+3=9\) et \(x-1\) est proche de 2, positif.

• Si \(x \lt 3\), \(x-3\) est négatif, donc le dénominateur est négatif et proche de 0 : \(\lim_{x \to 3,\; x \lt 3} f(x)=-\infty\).
• Si \(x \gt 3\), le dénominateur est positif : \(\lim_{x \to 3,\; x \gt 3} f(x)=+\infty\).

4. La courbe admet trois asymptotes : la droite d’équation \(y=0\) (l’axe des abscisses) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), et les droites verticales d’équations \(x=1\) et \(x=3\).

Exercice 17 :

1. \(h(q)=\dfrac{2q^2+40q+450}{q}=2q+40+\dfrac{450}{q}\).

2. Quand \(q\) tend vers 0 en restant positif, \(2q+40\) tend vers 40 et \(\dfrac{450}{q}\) tend vers \(+\infty\) : \(\lim_{q \to 0^+} h(q)=+\infty\). Quand \(q\) tend vers \(+\infty\), \(2q\) tend vers \(+\infty\) et \(\dfrac{450}{q}\) vers 0 : \(\lim_{q \to +\infty} h(q)=+\infty\).

La droite d’équation \(q=0\) est asymptote verticale : si l’on fabrique très peu d’objets, le coût moyen devient énorme (les frais fixes de 450 € sont répartis sur très peu d’objets).

3. \(h^{\prime}(q)=2-\dfrac{450}{q^2}=\dfrac{2q^2-450}{q^2}=\dfrac{2(q^2-225)}{q^2}=\dfrac{2(q-15)(q+15)}{q^2}\). Pour \(q \gt 0\), le signe de \(h^{\prime}(q)\) est celui de \(q-15\) : négatif pour \(q \lt 15\), positif pour \(q \gt 15\).

\(q\)	0		15		\(+\infty\)
\(h^{\prime}(q)\)		\(-\)	0	\(+\)
\(h(q)\)	\(+\infty\)	décroît	100	croît	\(+\infty\)

4. Le minimum est atteint pour \(q=15\) : \(h(15)=2\times 15+40+\dfrac{450}{15}=30+40+30=100\). Le coût moyen est minimal, égal à 100 €, pour une production de 15 objets.

Exercice 18 :

a) Faux. Contre-exemple : \(f(x)=x+2\sin x\). Comme \(\sin x \geq\, -1\), on a \(f(x) \geq\, x-2\), donc \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\). Pourtant \(f^{\prime}(x)=1+2\cos x\) change de signe sur tout intervalle \([A\,;\,+\infty[\) (par exemple elle vaut \(-1\) quand \(\cos x=-1\)) : \(f\) n’est monotone sur aucun intervalle de cette forme.

b) Faux. C’est une forme indéterminée « \(0\times \infty\) ». Avec \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) et \(g(x)=x\), on a bien \(\lim f=0\) et \(\lim g=+\infty\), mais \(f(x)g(x)=1\), de limite 1. Avec \(g(x)=x^2\), le produit \(x\) tend vers \(+\infty\) : on ne peut pas conclure sans plus d’information.

c) Vrai. Exemple : \(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\). Pour \(x \gt 0\), \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\), qui tend vers 1 en \(+\infty\). Pour \(x \lt 0\), \(\sqrt{x^2}=-x\), donc \(f(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\), qui tend vers \(-1\) en \(-\infty\). La courbe admet les asymptotes horizontales \(y=1\) en \(+\infty\) et \(y=-1\) en \(-\infty\).

d) Lina se trompe. Une courbe peut couper son asymptote horizontale, même une infinité de fois. Exemple : \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\). Pour \(x \gt 0\), \(-\dfrac{1}{x} \leq\, f(x) \leq\, \dfrac{1}{x}\), donc par encadrement \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=0\) : l’axe des abscisses est asymptote. Mais \(f(k\pi)=0\) pour tout entier \(k \geq\, 1\) : la courbe coupe l’axe en une infinité de points. Une asymptote décrit le comportement de la courbe « à l’infini », pas son comportement partout.

Exercice 19 :

1. D’après la figure, la courbe de \(f\) reste coincée entre les deux courbes pointillées, qui se rapprochent de la droite \(y=2\) : on conjecture \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=2\).

Démonstration : pour \(x \gt 0\), \(f(x)=2+\dfrac{\cos x}{x}\) et \(-1 \leq\, \cos x \leq\, 1\), donc \(2-\dfrac{1}{x} \leq\, f(x) \leq\, 2+\dfrac{1}{x}\). Les deux fonctions qui encadrent \(f\) tendent vers 2 en \(+\infty\). D’après le théorème d’encadrement (des gendarmes), \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=2\).

2. a) Pour tout \(x\), \(|\dfrac{\cos x}{x^2+1}| \leq\, \dfrac{1}{x^2+1}\), soit \(-\dfrac{1}{x^2+1} \leq\, \dfrac{\cos x}{x^2+1} \leq\, \dfrac{1}{x^2+1}\). Les bornes tendent vers 0 : la limite est 0.

b) \(\sin x \leq\, 1\) donc \(-3\sin x \geq\, -3\) et \(x-3\sin x \geq\, x-3\). Comme \(\lim_{x \to +\infty} (x-3)=+\infty\), le théorème de comparaison donne \(\lim_{x \to +\infty} (x-3\sin x)=+\infty\).

c) Pour \(x \neq 0\), \(\dfrac{2x+\cos x}{x}=2+\dfrac{\cos x}{x}\). Pour \(x \lt 0\), \(|\dfrac{\cos x}{x}| \leq\, \dfrac{1}{|x|}\), soit \(2-\dfrac{1}{|x|} \leq\, 2+\dfrac{\cos x}{x} \leq\, 2+\dfrac{1}{|x|}\), et \(\dfrac{1}{|x|}\) tend vers 0 en \(-\infty\). La limite est 2 : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Exercice 20 :

1. \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) s’annule en \(-1\) et en 1. \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\,;\,1\}\).

2. On factorise le numérateur : \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\) (les racines sont 1 et \(-2\), car \(1^2+1-2=0\) et \((-2)^2-2-2=0\)). Pour \(x \neq \pm1\), \(f(x)=\dfrac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x+2}{x+1}\).

3. En \(+\infty\) et en \(-\infty\), on prend le quotient des termes de plus haut degré : \(\dfrac{x}{x}=1\). \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty} f(x)=1\).

En \(-1\), le numérateur \(x+2\) tend vers 1 (positif) et le dénominateur \(x+1\) tend vers 0, négatif si \(x \lt -1\), positif si \(x \gt -1\). \(\lim_{x \to -1,\; x \lt -1} f(x)=-\infty\) et \(\lim_{x \to -1,\; x \gt -1} f(x)=+\infty\).

4. En 1, la forme initiale est du type \(\dfrac{0}{0}\), mais on a simplifié par \(x-1\). Pour \(x\) proche de 1 et différent de 1, \(f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}\), qui tend vers \(\dfrac{1+2}{1+1}=\dfrac{3}{2}\). \(\lim_{x \to 1} f(x)=\dfrac{3}{2}\) : la limite est finie, la droite d’équation \(x=1\) n’est donc pas une asymptote. La fonction n’est simplement pas définie en 1 : la courbe a un « trou » au point d’abscisse 1 et d’ordonnée \(\dfrac{3}{2}\), repéré par un petit cercle vide sur la figure.

Asymptotes de la courbe : la droite verticale \(x=-1\) et la droite horizontale \(y=1\).

Bien travailler avec corrigé limites fonctions

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, pour aller plus loin, l’article Fonction (mathématiques) de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec angles orientés, repérage et polaire : corrigé des exercices en 1ère en PDF.