Limites de fonctions : corrigé des exercices de maths en 1ère.

Le corrigé des exercices sur les limites en 1ère. Savoir calculer des limites et lever des formes indéterminées en première.

Exercice 1 :

Déterminer dans chaque cas $\lim_{x \mapsto +\infty }f(x)$ .

1. $f(x)=\frac{sinx+1}{2x}\;\,D=\mathbb{R}^*.$

Il n’y a pas de forme indéterminée.

En $+\infty$ , le numérateur est majoré par 2 et minoré par 0 et le dénominateur tend vers $+\infty$

donc $\lim_{x \mapsto +\infty }f(x)=0$

2. $f(x)=2\sqrt{x}-sin(3x+1)\,;D=\mathbb{R}^+.$

Il n’y a pas de forme indéterminée ici le sinus est borné entre – 1 et + 1

donc $\lim_{x \mapsto +\infty }f(x)=\lim_{x \mapsto +\infty }2\sqrt{x}=+\infty$

Exercice 2 :

Déterminer le domaine de définition D de f puis étudier les limites de f aux bornes de D.

$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{4x+2}}$

Il faut que $\frac{x-1}{4x+2}\geq\, 0$ et $4x+2\neq0$

ce qui revient à $(x-1)(4x+2)\geq\, 0$ et $x\neq -\frac{1}{2}$

Conclusion : $D_f=]-\infty;-\frac{1}{2}[\cup [1;+\infty[$

Exercice 3 :

Déterminer la limite en $+\infty$ et $-\infty$ de :

$g(x)=\frac{3x^3+2x^2+1}{2x^4+3x^2-5}$

C’est une fonction rationnelle donc la limite en l’infini correspond au quotient des limites en plus l’infini des termes de plus haut degré.

$\lim_{x \mapsto +\infty }g(x)=\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{3x^3}{2x^4}=\lim_{x \mapsto +\infty }\frac{3}{2x}=0$

et de même :

$\lim_{x \mapsto -\infty }g(x)=\lim_{x \mapsto -\infty }\frac{3x^3}{2x^4}=\lim_{x \mapsto -\infty }\frac{3}{2x}=0$

Exercice 4 :

$1.\,\lim_{x \mapsto 0 }\frac{1}{x^2}-\sqrt{x}=+\infty\\2.\,\lim_{x \mapsto +\infty}\frac{1}{x^2}-\sqrt{x}=-\infty\\3.\,\lim_{x \mapsto +\infty }(\frac{1}{x-2}-1)=-1$

Exercice 5 :

1. La fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$ , et sa dérivée est :

$f'(x)\,=\,3x^2\,-\,3\,=\,3(x^2\,-\,1)$

On résout l’équation :

$\Leftrightarrow x^2 - 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x+1) = 0$

Ainsi, les solutions de l’équation sont et .

2. Pour qu’une tangente à la courbe soit horizontale, il faut que sa pente (c’est-à-dire la valeur de sa dérivée) soit nulle. Ainsi, les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec les tangentes horizontales sont les solutions de l’équation , c’est-à-dire les points de coordonnées où ou . Ces points sont donc et .

3. Les points d’intersection entre et l’axe des abscisses sont les solutions de l’équation . On a :

Ainsi, les solutions de l’équation sont , $x = \sqrt{3}$ et $x = -\sqrt{3}$ . Les coordonnées de ces points sont donc $P(\sqrt{3}, 0)$ , et $R(-\sqrt{3},0)$ .

4. On veut l’équation de la tangente à en $P(\sqrt{3},0)$ . La pente de cette tangente est donnée par la dérivée de en $x = \sqrt{3}$ , c’est-à-dire :

$f'(\sqrt{3}) = 3(\sqrt{3})^2 - 3 = 6$

Ainsi, l’équation de la tangente en est de la forme . Comme la tangente passe par le point $P(\sqrt{3},0)$ , on a :

$0 = 6\sqrt{3} + b$

$\Leftrightarrow b = -6\sqrt{3}$

L’équation de la tangente en est donc :

$y = 6x - 6\sqrt{3}$

Exercice 6 :

1. Pour étudier les limites de , on peut utiliser la forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ (pour la limite en $+\infty$ ) et la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ (pour la limite en ). On a :

$\lim_{x\to +\infty}f(x) = \lim_{x\to +\infty} \frac{2x-5}{x-2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{2 - \frac{5}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = 2$

On a utilisé ici la règle de de L’Hôpital (en faisant tendre le numérateur et le dénominateur vers l’infini).

Pour la limite en , on a :

$\lim_{x\to 2^+}f(x) = \lim_{x\to 2^+} \frac{2x-5}{x-2} = \lim_{x\to 2^+} \frac{2 - \frac{3}{x-2}}{1} = 2$

La limite en du côté droit est donc égale à .

2. On calcule la dérivée de en utilisant la formule du quotient () :

$f'(x) = \frac{(2)(x-2) - (2x-5)(1)}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2}$

La dérivée est donc strictement négative pour tout $x \neq 2$ . En effet, le dénominateur est toujours positif, et le numérateur est négatif, donc la fraction est négative.

Exercice 7 :
Déterminer les limites suivantes :

1. $\lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{x} =0$
2. $\lim_{x \to +\infty} -\frac{x^2}{2}=-\infty$
3. $\lim_{x \to +\infty} 2+\frac{1}{x}=2$
4. $\lim_{x \to +\infty} -5x^3=-\infty$

Exercice 8 :
1. $\lim_{x \to -\infty} -\frac{1}{x}=0$
2. $\lim_{x \to -\infty} -\frac{x^2}{2} =-\infty$
3. $\lim_{x \to -\infty} 2+\frac{1}{x}=2$
4. $\lim_{x \to -\infty} -5x^3=+\infty$
5. $\lim_{x \to -\infty} -\sqrt{-x}=-\infty$
6. $\lim_{x \to -\infty} -\frac{2}{-5x^3}=0$

Exercice 9 :
1. $\lim_{x \to 0^-} -\frac{1}{x}=+\infty$

2. $\lim_{x \to {-3}^-} x+3=0+$

3. $\lim_{x \to {2}^-} 2-x^2=-2$

4. $\lim_{x \to {3}^+} \frac{1}{2x-6}=+\infty$

5. $\lim_{x \to {3}^+} \frac{-7}{6-2x}=+\infty$

Exercice 10 :
Déterminer les limites de sommes ou de différences suivantes :

1. $\lim_{x \to +\infty} x^2+3x+5=+\infty$

2. $\lim_{x \to +\infty} 10-3x-x^2=-\infty$

3. $\lim_{x \to +\infty} 3+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}=3$

Exercice 11 :
Déterminer les limites de quotients et racines carrées suivantes :

1. $\lim_{x \to 0^-} \frac{3x^2+6x-5}{x^3} =+\infty$

2. $\lim_{x \to 2^-} \frac{4x^2+2x-1}{x-2}=-\infty$

3. $\lim_{x \to 6^-} 5x+6-\frac{7}{x-6}=+\infty$

4. $\lim_{x \to {-3}^-} \frac{4-x^2}{(x+3)^2}=-\infty$

5. $\lim_{x \to {6}^+} \sqrt{2x-12}=0+$

6. $\lim_{x \to {3}^-} \sqrt{\frac{1}{3-x}}=+\infty$

7. Elle n’existe pas.

Exercice 12 :
Préciser la limite des formes indéterminées suivantes :

1. $\lim_{x \to +\infty} x^2-3x+5=+\infty$

2. $\lim_{x \to +\infty} 1-x^2+x^3 =+\infty$

3. $\lim_{x \to -\infty} x^2+5x-1 =+\infty$

4. $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+5x-9}{5x^2-1}=\frac{3}{5}$

5. $\lim_{x \to -\infty} \frac{8x^6-9}{5x^4-3}=+\infty$

6. $\lim_{x \to +\infty} x-\sqrt{x}=+\infty$

7. $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+2}-\sqrt{x}=0$

8. $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{3-x}-\sqrt{4-x}=0$

Voir Corrigés 11 à 12...

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