Corrigé limites fonctions : limites de fonctions : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
Voici la correction complète des douze exercices de première consacrés au comportement d’une fonction aux bornes de son ensemble de définition. Les six premiers exercices sont rédigés en détail : encadrement d’un sinus, opérations sur les limites, étude du signe du dénominateur lorsqu’il tend vers zéro, méthode du terme de plus haut degré pour un quotient, et repérage des asymptotes horizontales ou verticales.
Les exercices 5 et 6 mêlent le calcul de limites et la dérivée : résolution de \(f^{\prime}(x)=0\), tangente horizontale, équation de tangente et sens de variation d’une fonction homographique. Les exercices 7 à 12 forment une série d’entraînement rapide : leur correction donne directement la valeur de chaque limite, y compris pour les formes indéterminées, afin de contrôler vos propres résultats.
Pour progresser, lisez ce corrigé seulement après avoir tenté chaque calcul de limites proposé dans les énoncés de la fiche d’exercices : comparez alors votre rédaction ligne par ligne et reprenez les étapes qui vous ont posé problème.
Exercice 1 (corrigé limites fonctions)
Déterminer dans chaque cas \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\).
1. \(f(x)=\dfrac{\sin x+1}{2x}\,;\; D=\mathbb{R}^*.\)
Il n’y a pas de forme indéterminée.
En \(+\infty\), le numérateur est majoré par 2 et minoré par 0 (car \(-1 \leq\, \sin x \leq\, 1\)) et le dénominateur tend vers \(+\infty\). Pour \(x \gt 0\), on a donc \(0 \leq\, f(x) \leq\, \dfrac{2}{2x}=\dfrac{1}{x}\), et \(\dfrac{1}{x}\) tend vers 0. Coincé entre 0 et une quantité qui tend vers 0 (théorème des gendarmes), \(f(x)\) tend aussi vers 0 :
\(\lim_{x \to +\infty} f(x)=0\)
2. \(f(x)=2\sqrt{x}-\sin(3x+1)\,;\; D=\mathbb{R}^+.\)
Il n’y a pas de forme indéterminée ici : le sinus est borné entre – 1 et + 1, donc \(f(x) \geq\, 2\sqrt{x}-1\) et \(2\sqrt{x}-1\) tend vers \(+\infty\). Par comparaison :
\(\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\)
Exercice 2 :
Déterminer le domaine de définition D de f puis étudier les limites de f aux bornes de D.
\(f(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{4x+2}}\)
Il faut que \(\dfrac{x-1}{4x+2}\geq\, 0\) et \(4x+2\neq0\)
ce qui revient à \((x-1)(4x+2)\geq\, 0\) et \(x\neq -\dfrac{1}{2}\)
Conclusion : \(D_f=]-\infty;-\dfrac{1}{2}[\cup [1;+\infty[\)
Limites aux bornes de \(D_f\) :
- En \(+\infty\) et en \(-\infty\) : \(\dfrac{x-1}{4x+2}\) est une fonction rationnelle dont la limite est celle du quotient des termes de plus haut degré, soit \(\dfrac{x}{4x}=\dfrac{1}{4}\). Comme \(\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}\), on obtient \(\lim_{x \to +\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty} f(x)=\dfrac{1}{2}\) : la droite d’équation \(y=\dfrac{1}{2}\) est asymptote horizontale à la courbe en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
- En \(-\dfrac{1}{2}\) à gauche : \(x-1\) tend vers \(-\dfrac{3}{2}\) et \(4x+2\) tend vers 0 en restant négatif (car \(x \lt -\dfrac{1}{2}\)), donc \(\dfrac{x-1}{4x+2}\) tend vers \(+\infty\) et \(\lim_{x \to -\frac{1}{2}^-} f(x)=+\infty\) : la droite d’équation \(x=-\dfrac{1}{2}\) est asymptote verticale.
- En 1 : la fonction est définie en 1 et \(f(1)=\sqrt{0}=0\), donc \(\lim_{x \to 1^+} f(x)=0\).
Exercice 3 (corrigé limites fonctions)
Déterminer la limite en \(+\infty\) et \(-\infty\) de :
\(g(x)=\dfrac{3x^3+2x^2+1}{2x^4+3x^2-5}\)
C’est une fonction rationnelle donc sa limite en l’infini est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
\(\lim_{x \to +\infty} g(x)=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3}{2x^4}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3}{2x}=0\)
et de même :
\(\lim_{x \to -\infty} g(x)=\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3x^3}{2x^4}=\lim_{x \to -\infty} \dfrac{3}{2x}=0\)
Exercice 4 :
1. La fonction n’est définie que pour \(x \gt 0\) (à cause de \(\sqrt{x}\) et de \(\dfrac{1}{x^2}\)). Quand \(x\) tend vers 0, \(\dfrac{1}{x^2}\) tend vers \(+\infty\) et \(\sqrt{x}\) tend vers 0, donc \(\lim_{x \to 0} (\dfrac{1}{x^2}-\sqrt{x})=+\infty\).
2. En \(+\infty\), \(\dfrac{1}{x^2}\) tend vers 0 et \(\sqrt{x}\) tend vers \(+\infty\), donc \(\lim_{x \to +\infty} (\dfrac{1}{x^2}-\sqrt{x})=-\infty\).
3. En \(+\infty\), \(x-2\) tend vers \(+\infty\) donc \(\dfrac{1}{x-2}\) tend vers 0, et \(\lim_{x \to +\infty} (\dfrac{1}{x-2}-1)=-1\).
Exercice 5 :
1. La fonction \(f(x) = x^3 – 3x\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et sa dérivée est :
\(f^{\prime}(x)\,=\,3x^2\,-\,3\,=\,3(x^2\,-\,1)\)
On résout l’équation \(f^{\prime}(x) = 0\) :
\(3(x^2 – 1) = 0\)
\(\Leftrightarrow x^2 – 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(x+1) = 0\)
Ainsi, les solutions de l’équation \(f^{\prime}(x) = 0\) sont \(x = -1\) et \(x = 1\).
2. Pour qu’une tangente à la courbe \(C_f\) soit horizontale, il faut que sa pente (c’est-à-dire la valeur de sa dérivée) soit nulle. Ainsi, les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec les tangentes horizontales sont les solutions de l’équation \(f^{\prime}(x) = 0\), c’est-à-dire les points de coordonnées \((x, f(x))\) où \(x = -1\) ou \(x = 1\). Comme \(f(-1)=-1+3=2\) et \(f(1)=1-3=-2\), ces points sont donc \(A(-1\,;2)\) et \(B(1\,;-2)\).
3. Les points d’intersection entre \(C_f\) et l’axe des abscisses sont les solutions de l’équation \(f(x) = 0\). On a :
\(f(x) = x^3 – 3x = x(x^2 – 3)\)
Ainsi, les solutions de l’équation \(f(x) = 0\) sont \(x = 0\), \(x = \sqrt{3}\) et \(x = -\sqrt{3}\). Les coordonnées de ces points sont donc \(P(\sqrt{3}\,;0)\), \(Q(0\,;0)\) et \(R(-\sqrt{3}\,;0)\).
4. On veut l’équation de la tangente à \(C_f\) en \(P(\sqrt{3}\,;0)\). La pente de cette tangente est donnée par la dérivée de \(f\) en \(x = \sqrt{3}\), c’est-à-dire :
\(f^{\prime}(\sqrt{3}) = 3(\sqrt{3})^2 – 3 = 6\)
Ainsi, l’équation de la tangente en \(P\) est de la forme \(y = 6x + b\). Comme la tangente passe par le point \(P(\sqrt{3}\,;0)\), on a :
\(0 = 6\sqrt{3} + b\)
\(\Leftrightarrow b = -6\sqrt{3}\)
L’équation de la tangente en \(P\) est donc :
\(y = 6x – 6\sqrt{3}\)
Exercice 6 :
1. Limite en \(+\infty\) : le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers \(+\infty\), c’est une forme indéterminée \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On la lève en factorisant par \(x\) :
\(\lim_{x\to +\infty}f(x) = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{2x-5}{x-2} = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{2 – \frac{5}{x}}{1 – \frac{2}{x}} = 2\)
car \(\dfrac{5}{x}\) et \(\dfrac{2}{x}\) tendent vers 0. La droite d’équation \(y=2\) est asymptote horizontale à la courbe en \(+\infty\).
Limite en \(2\) à droite : ce n’est pas une forme indéterminée. Le numérateur \(2x-5\) tend vers \(2\times 2-5=-1\) et le dénominateur \(x-2\) tend vers 0 en restant positif (car \(x \gt 2\)). Un quotient d’un nombre négatif par un nombre positif très proche de 0 est négatif et très grand en valeur absolue :
\(\lim_{x\to 2^+}f(x) = -\infty\)
La droite d’équation \(x=2\) est asymptote verticale à la courbe.
2. On calcule la dérivée de \(f\) en utilisant la formule du quotient \((\dfrac{u}{v})^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\) avec \(u(x)=2x-5\) et \(v(x)=x-2\) :
\(f^{\prime}(x) = \dfrac{2(x-2) – (2x-5)\times 1}{(x-2)^2} = \dfrac{2x-4-2x+5}{(x-2)^2} = \dfrac{1}{(x-2)^2}\)
Le numérateur vaut 1 et le dénominateur est un carré non nul, donc \(f^{\prime}(x) \gt 0\) pour tout \(x \neq 2\) : la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;2[\) et sur \(]2;+\infty[\).
Exercice 7 :
Déterminer les limites suivantes :
1. \(\lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{x} =0\)
2. \(\lim_{x \to +\infty} -\frac{x^2}{2}=-\infty\)
3. \(\lim_{x \to +\infty} 2+\frac{1}{x}=2\)
4. \(\lim_{x \to +\infty} -5x^3=-\infty\)
Exercice 8 :
1. \(\lim_{x \to -\infty} -\frac{1}{x}=0\)
2. \(\lim_{x \to -\infty} -\frac{x^2}{2} =-\infty\)
3. \(\lim_{x \to -\infty} 2+\frac{1}{x}=2\)
4. \(\lim_{x \to -\infty} -5x^3=+\infty\)
5. \(\lim_{x \to -\infty} -\sqrt{-x}=-\infty\)
6. \(\lim_{x \to -\infty} -\frac{2}{-5x^3}=0\)
Exercice 9 :
1. \(\lim_{x \to 0^-} -\frac{1}{x}=+\infty\)
2. \(\lim_{x \to {-3}^-} x+3=0^-\) (pour \(x \lt -3\), on a \(x+3 \lt 0\))
3. \(\lim_{x \to {2}^-} 2-x^2=-2\)
4. \(\lim_{x \to {3}^+} \frac{1}{2x-6}=+\infty\)
5. \(\lim_{x \to {3}^+} \frac{-7}{6-2x}=+\infty\)
Exercice 10 :
Déterminer les limites de sommes ou de différences suivantes :
1. \(\lim_{x \to +\infty} x^2+3x+5=+\infty\)
2. \(\lim_{x \to +\infty} 10-3x-x^2=-\infty\)
3. \(\lim_{x \to +\infty} 3+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}=3\)
Exercice 11 :
Déterminer les limites de quotients et racines carrées suivantes :
1. \(\lim_{x \to 0^-} \frac{3x^2+6x-5}{x^3} =+\infty\)
2. \(\lim_{x \to 2^-} \frac{4x^2+2x-1}{x-2}=-\infty\)
3. \(\lim_{x \to 6^-} 5x+6-\frac{7}{x-6}=+\infty\)
4. \(\lim_{x \to {-3}^-} \frac{4-x^2}{(x+3)^2}=-\infty\)
5. \(\lim_{x \to {6}^+} \sqrt{2x-12}=0^+\)
6. \(\lim_{x \to {3}^-} \sqrt{\frac{1}{3-x}}=+\infty\)
7. Elle n’existe pas : \(\sqrt{3-x}\) n’est définie que pour \(x \leq\, 3\), donc la fonction n’est pas définie à droite de 3.
Exercice 12 :
Préciser la limite des formes indéterminées suivantes :
1. \(\lim_{x \to +\infty} x^2-3x+5=+\infty\)
2. \(\lim_{x \to +\infty} 1-x^2+x^3 =+\infty\)
3. \(\lim_{x \to -\infty} x^2+5x-1 =+\infty\)
4. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+5x-9}{5x^2-1}=\frac{3}{5}\)
5. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{8x^6-9}{5x^4-3}=+\infty\)
6. \(\lim_{x \to +\infty} x-\sqrt{x}=+\infty\)
7. \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+2}-\sqrt{x}=0\)
8. \(\lim_{x \to -\infty} \sqrt{3-x}-\sqrt{4-x}=0\)
Bien travailler avec corrigé limites fonctions
Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.
Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, pour aller plus loin, l’article Fonction (mathématiques) de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec angles orientés, repérage et polaire : corrigé des exercices en 1ère en PDF.
