Limite de fonctions : corrigé des exercices de maths en terminale.

Le corrigé des exercices de maths en terminale sur les limites de fonctions numériques.

Exercice 1 :

1. On a
$\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+x-1}{x-1}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\,x\,=\,+\infty.$

2. On a
$\lim_{x\to+\infty}\frac{x+100}{x^2+x}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{x(1+\frac{100}{x})}{x(x+\frac{1}{x})}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\,=\,0.$

3. On a
$\lim_{x\to+\infty}(\frac{x^3}{x^2+x+1}-x)\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-x^3-x^2-x}{x^2+x+1}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^2}{x^2(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})}\,=\,-1.$

4. On a
$\lim_{x\to+\infty}(\frac{x^3}{2x^2-1}-\frac{x^2}{x+1})\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-x^3+x^2+x}{(2x^2-1)(x+1)}\,=\,0.$

5. On a
$\begin{align*}\,\lim_{x\to+\infty}(\frac{3x^2}{2x+1}-\frac{(2x-1)(3x^2+x+2)}{4x^2})\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2(2x-1)-(3x^2+x+2)(2x-1)}{4x^2(2x+1)}\,\\\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{(3x^2-2x-1)(2x-1)}{4x^2(2x+1)}\,\\\,=\,\frac{3}{8}.\,\end{align*}$

6. On a
$\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+5}}{x-4}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{\frac{x+5}{x^2}}}{1-\frac{4}{x}}\,=\,0.$

7. On a
$\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+x-1}+2x)\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2+x-1)-(2x)^2}{\sqrt{x^2+x-1}-2x}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x^2-x+1}{\sqrt{x^2+x-1}-2x}\,=\,-\sqrt{13}.$

8. On a
$\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+x-1}+x)\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2+x-1)-x^2}{\sqrt{x^2+x-1}-x}\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x-1}+x}\,=\,1.$

9. On a
$\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+3})\,=\,\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+2x-x^2-3}{\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+3}}\,=\,-1.$

Exercice 2 :

Par la règle de composition des limites, on a :
$\lim_{t\to\,0}\,\frac{\sin(nt)}{t}\,=\,n\,\times \,\lim_{t\to\,0}\,\frac{\sin(nt)}{nt}.$

Or, on a $\lim_{t\to\,0}\,\frac{\sin(nt)}{nt}\,=\,\lim_{u\to\,0}\,\frac{\sin\,u}{u}$ avec $u\,=\,nt$ , donc cette limite est égale à 1.

Finalement, on a :
$\lim_{t\to\,0}\,\frac{\sin(nt)}{t}\,=\,n\,\cdot\,\lim_{t\to\,0}\,\frac{\sin(nt)}{nt}\,=\,n\,\cdot\,1\,=\,n.$

Ainsi, la limite cherchée est $n$.

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