Angles orientés, repérage et polaire : corrigé des exercices en 1ère à télécharger en PDF

Exercice :

Exprimer en fonction de sin x et cos x les réels suivants :

Exercice 2 :

Les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles : \(180^\circ\) correspond à \(\pi\) radians. On passe des degrés aux radians en multipliant par \(\dfrac{\pi}{180}\), et des radians aux degrés en multipliant par \(\dfrac{180}{\pi}\).

1. \(30^\circ=30\times \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{6}\) ; \(135^\circ=\dfrac{135\pi}{180}=\dfrac{3\pi}{4}\) ; \(210^\circ=\dfrac{210\pi}{180}=\dfrac{7\pi}{6}\) ; \(300^\circ=\dfrac{300\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{3}\).

2. \(\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{5}{6}\times 180^\circ=150^\circ\) ; \(\dfrac{7\pi}{4}=\dfrac{7}{4}\times 180^\circ=315^\circ\) ; \(\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{180^\circ}{5}=36^\circ\) ; \(\dfrac{11\pi}{12}=11\times 15^\circ=165^\circ\).

3. \(3\text{ rad}=3\times \dfrac{180}{\pi}=\dfrac{540}{\pi}\approx171{,}9^\circ\).

Réponses : \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\), \(\dfrac{7\pi}{6}\), \(\dfrac{5\pi}{3}\) ; \(150^\circ\), \(315^\circ\), \(36^\circ\), \(165^\circ\) ; \(171{,}9^\circ\).

Exercice 3 :

On ajoute ou on retranche un multiple de \(2\pi\) pour obtenir un réel de \(]-\pi\,;\,\pi]\).

a) \(\dfrac{19\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{18\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+6\pi=\dfrac{\pi}{3}+3\times 2\pi\). Mesure principale : \(\dfrac{\pi}{3}\).

b) \(-\dfrac{25\pi}{4}+6\pi=\dfrac{-25\pi+24\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{4}\) (on a ajouté \(3\times 2\pi\)). Mesure principale : \(-\dfrac{\pi}{4}\).

c) \(\dfrac{47\pi}{6}-8\pi=\dfrac{47\pi-48\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{6}\) (on a retranché \(4\times 2\pi\)). Mesure principale : \(-\dfrac{\pi}{6}\).

d) \(\dfrac{2023\pi}{2}-1012\pi=\dfrac{2023\pi-2024\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2}\) (et \(1012\pi=506\times 2\pi\)). Mesure principale : \(-\dfrac{\pi}{2}\).

e) \(-\dfrac{31\pi}{3}+10\pi=\dfrac{-31\pi+30\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}\) (on a ajouté \(5\times 2\pi\)). Mesure principale : \(-\dfrac{\pi}{3}\).

Exercice 4 :

1. Le cercle est gradué en degrés : on convertit ensuite en radians.

• A est sur le rayon de \(30^\circ\) : mesure \(\dfrac{\pi}{6}\).
• B est sur le rayon de \(135^\circ\) : mesure \(\dfrac{3\pi}{4}\).
• C est sur le rayon de \(240^\circ\), soit \(\dfrac{4\pi}{3}\) : sa mesure principale est \(\dfrac{4\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{2\pi}{3}\).
• D est sur le rayon de \(315^\circ\), soit \(\dfrac{7\pi}{4}\) : sa mesure principale est \(\dfrac{7\pi}{4}-2\pi=-\dfrac{\pi}{4}\).

2. Les coordonnées d’un point M du cercle trigonométrique associé à l’angle \(\theta\) sont \((\cos\theta\,;\,\sin\theta)\).

\(A(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\) ; \(B(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{2}}{2})\) ; \(C(-\dfrac{1}{2}\,;\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2})\) ; \(D(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\,-\dfrac{\sqrt{2}}{2})\).

Exercice 5 :

On se ramène à un angle du premier quadrant grâce aux symétries du cercle trigonométrique.

a) \(\dfrac{5\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{6}\), donc \(\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\cos\dfrac{\pi}{6}\). \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

b) \(\dfrac{7\pi}{4}=2\pi-\dfrac{\pi}{4}\), donc \(\sin\dfrac{7\pi}{4}=-\sin\dfrac{\pi}{4}\). \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

c) Le cosinus est pair et \(\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}\) : \(\cos(-\dfrac{2\pi}{3})=\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\cos\dfrac{\pi}{3}\). \(-\dfrac{1}{2}\).

d) \(\dfrac{11\pi}{6}=2\pi-\dfrac{\pi}{6}\), donc \(\sin\dfrac{11\pi}{6}=-\sin\dfrac{\pi}{6}\). \(-\dfrac{1}{2}\).

e) \(\dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+4\pi\), donc \(\cos\dfrac{13\pi}{3}=\cos\dfrac{\pi}{3}\). \(\dfrac{1}{2}\).

f) \(-\dfrac{5\pi}{4}+2\pi=\dfrac{3\pi}{4}=\pi-\dfrac{\pi}{4}\), donc \(\sin(-\dfrac{5\pi}{4})=\sin\dfrac{3\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}\). \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Exercice 6 :

On utilise les formules des angles associés : \(\sin(\pi-x)=\sin x\), \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), \(\cos(\pi+x)=-\cos x\), \(\sin(\pi+x)=-\sin x\), \(\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)=\sin x\), \(\sin(\dfrac{\pi}{2}+x)=\cos x\).

\(A(x)=\sin x+\sin x=\) \(2\sin x\).

\(B(x)=-\cos x-\cos x=\) \(-2\cos x\).

\(C(x)\) : \(\sin(x+\pi)=-\sin x\) et, le cosinus étant pair, \(\cos(x-\dfrac{\pi}{2})=\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)=\sin x\). Donc \(C(x)=-\sin x+\sin x=\) 0.

\(E(x)=\cos x-\cos x-\cos x=\) \(-\cos x\).

Exercice 7 :

On utilise la relation \(\cos^2x+\sin^2x=1\) et le signe du cosinus ou du sinus selon l’intervalle.

1. \(\cos^2x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\), donc \(\cos x=\pm\dfrac{4}{5}\). Comme \(x\in]\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi[\), le cosinus est négatif : \(\cos x=-\dfrac{4}{5}\).

Alors \(\cos(\pi-x)=-\cos x=\) \(\dfrac{4}{5}\) et \(\sin(x+\dfrac{\pi}{2})=\cos x=\) \(-\dfrac{4}{5}\).

2. \(\sin^2x=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}\), donc \(\sin x=\pm\dfrac{12}{13}\). Comme \(x\in]-\dfrac{\pi}{2}\,;\,0[\), le sinus est négatif : \(\sin x=-\dfrac{12}{13}\).

Alors \(\sin(\pi-x)=\sin x=\) \(-\dfrac{12}{13}\) et \(\cos(x+\dfrac{\pi}{2})=-\sin x=\) \(\dfrac{12}{13}\).

3. \(0{,}6^2+0{,}7^2=0{,}36+0{,}49=0{,}85\neq1\). La relation fondamentale n’est pas vérifiée : un tel réel \(x\) n’existe pas.

Exercice 8 :

a) Les points du cercle trigonométrique d’abscisse \(\dfrac{1}{2}\) sont associés aux angles \(\dfrac{\pi}{3}\) et \(-\dfrac{\pi}{3}\). \(S=\{-\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{\pi}{3}\}\).

b) Les points d’ordonnée \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) correspondent, dans \([0\,;\,2\pi[\), à \(\pi+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}\) et à \(2\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{4}\). \(S=\{\dfrac{5\pi}{4}\,;\,\dfrac{7\pi}{4}\}\).

c) \(\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), et les deux points d’abscisse \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) sont associés à \(\dfrac{5\pi}{6}\) et \(-\dfrac{5\pi}{6}\), à \(2k\pi\) près. \(S=\{\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\,;\,-\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\,;\,k\in\mathbb{Z}\}\).

Exercice 9 :

1. \(\cos a=\cos b\) équivaut à \(a=b+2k\pi\) ou \(a=-b+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)).

Ici, on obtient : \(2x=x+\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\), soit \(x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\), ou bien \(2x=-x-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\), soit \(3x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) et \(x=-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2k\pi}{3}\).

Dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) : la première famille ne donne que \(\dfrac{\pi}{3}\) (\(k=0\)). La seconde donne \(-\dfrac{\pi}{9}\) (\(k=0\)), \(-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{9}\) (\(k=1\)) et \(-\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{7\pi}{9}\) (\(k=-1\)) ; \(k=2\) donne \(\dfrac{11\pi}{9}>\pi\) et \(k=-2\) donne \(-\dfrac{13\pi}{9}<-\pi\).

\(S=\{-\dfrac{7\pi}{9}\,;\,-\dfrac{\pi}{9}\,;\,\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{5\pi}{9}\}\).

2. \(\sin(2x)=\sin\dfrac{\pi}{6}\) équivaut à \(2x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(2x=\pi-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\), soit \(x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi\) ou \(x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi\).

Dans \([0\,;\,\pi]\), seul \(k=0\) convient (pour \(k=1\), \(\dfrac{13\pi}{12}\) et \(\dfrac{17\pi}{12}\) dépassent \(\pi\)). \(S=\{\dfrac{\pi}{12}\,;\,\dfrac{5\pi}{12}\}\).

Exercice 10 :

a) \(\cos x\) est l’abscisse du point associé à \(x\) sur le cercle trigonométrique. On cherche les points d’abscisse supérieure ou égale à \(\dfrac{1}{2}\) : c’est l’arc de \(-\dfrac{\pi}{3}\) à \(\dfrac{\pi}{3}\). \(S=[-\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{\pi}{3}]\).

b) \(\sin x\) est l’ordonnée du point. Les points d’ordonnée \(-\dfrac{1}{2}\) correspondent à \(-\dfrac{\pi}{6}\) et \(-\dfrac{5\pi}{6}\), et on veut une ordonnée strictement inférieure : c’est l’arc ouvert qui passe par \(-\dfrac{\pi}{2}\). \(S=]-\dfrac{5\pi}{6}\,;\,-\dfrac{\pi}{6}[\).

c) \(2\sin x-\sqrt{3}>0\) équivaut à \(\sin x>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Sur \([0\,;\,2\pi]\), \(\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) pour \(x=\dfrac{\pi}{3}\) et \(x=\dfrac{2\pi}{3}\), et le sinus est plus grand entre ces deux valeurs (il vaut 1 en \(\dfrac{\pi}{2}\)). \(S=]\dfrac{\pi}{3}\,;\,\dfrac{2\pi}{3}[\).

Exercice 11 :

Un point de coordonnées polaires \([r\,;\,\theta]\) a pour coordonnées cartésiennes \((r\cos\theta\,;\,r\sin\theta)\).

\(A\) : \(x=2\cos\dfrac{\pi}{3}=2\times \dfrac{1}{2}=1\) et \(y=2\sin\dfrac{\pi}{3}=2\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\). \(A(1\,;\,\sqrt{3})\).

\(B\) : \(x=4\cos\dfrac{3\pi}{4}=4\times (-\dfrac{\sqrt{2}}{2})=-2\sqrt{2}\) et \(y=4\sin\dfrac{3\pi}{4}=2\sqrt{2}\). \(B(-2\sqrt{2}\,;\,2\sqrt{2})\).

\(C\) : \(x=3\cos(-\dfrac{\pi}{2})=0\) et \(y=3\sin(-\dfrac{\pi}{2})=-3\). \(C(0\,;\,-3)\).

\(D\) : \(x=\sqrt{2}\cos\dfrac{5\pi}{4}=\sqrt{2}\times (-\dfrac{\sqrt{2}}{2})=-1\) et \(y=\sqrt{2}\sin\dfrac{5\pi}{4}=-1\). \(D(-1\,;\,-1)\).

Ces valeurs sont cohérentes avec la figure : A est dans le premier quadrant, B dans le deuxième, C sur l’axe des ordonnées en dessous de O et D dans le troisième quadrant.

Exercice 12 :

On calcule \(r=\sqrt{x^2+y^2}\), puis on cherche \(\theta\) tel que \(\cos\theta=\dfrac{x}{r}\) et \(\sin\theta=\dfrac{y}{r}\).

\(A\) : \(r=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\), \(\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), donc \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\). \(A[\sqrt{2}\,;\,\dfrac{\pi}{4}]\).

\(B\) : \(r=\sqrt{3+1}=2\), \(\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\theta=\dfrac{1}{2}\), donc \(\theta=\dfrac{5\pi}{6}\). \(B[2\,;\,\dfrac{5\pi}{6}]\).

\(C\) : \(r=\sqrt{4+12}=4\), \(\cos\theta=-\dfrac{1}{2}\) et \(\sin\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\theta=-\dfrac{2\pi}{3}\). \(C[4\,;\,-\dfrac{2\pi}{3}]\).

\(D\) : \(r=5\), \(\cos\theta=0\) et \(\sin\theta=-1\), donc \(\theta=-\dfrac{\pi}{2}\). \(D[5\,;\,-\dfrac{\pi}{2}]\).

\(E\) : \(r=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}\), \(\cos\theta=\dfrac{3}{3\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), donc \(\theta=-\dfrac{\pi}{4}\). \(E[3\sqrt{2}\,;\,-\dfrac{\pi}{4}]\).

Exercice 13 :

Un triangle ou un carré direct est parcouru dans le sens trigonométrique.

a) ABE est équilatéral direct : \((\vec{AB},\vec{AE})=\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]\). Mesure principale : \(\dfrac{\pi}{3}\).

b) ABCD est un carré direct, donc \((\vec{AB},\vec{AD})=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\). Par la relation de Chasles :

\((\vec{AB},\vec{AD})=(\vec{AB},\vec{AE})+(\vec{AE},\vec{AD})\), donc \((\vec{AE},\vec{AD})=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}\). Mesure principale : \(\dfrac{\pi}{6}\).

c) Dans le carré, \((\vec{BC},\vec{BA})=\dfrac{\pi}{2}\) (le sens est direct : C, B, A), donc \((\vec{BA},\vec{BC})=-\dfrac{\pi}{2}\). Dans le triangle équilatéral direct ABE, \((\vec{BE},\vec{BA})=\dfrac{\pi}{3}\). Par Chasles :

\((\vec{BE},\vec{BC})=(\vec{BE},\vec{BA})+(\vec{BA},\vec{BC})=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{6}\). Mesure principale : \(-\dfrac{\pi}{6}\).

d) Le triangle ADE est isocèle en A (\(AD=1=AE\)) et son angle en A mesure \(\dfrac{\pi}{6}\) d’après b). Ses angles à la base valent donc \(\dfrac{1}{2}(\pi-\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{5\pi}{12}\). Dans le triangle DAE, parcouru dans l’ordre D, A, E, on tourne vers la gauche (sens direct), donc \((\vec{DA},\vec{DE})\) est positif. Mesure principale : \(\dfrac{5\pi}{12}\).

Vérification en coordonnées avec \(A(0\,;0)\), \(D(0\,;1)\), \(E(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2})\) : \(\vec{DA}(0\,;-1)\) a pour angle \(-\dfrac{\pi}{2}\) et \(\vec{DE}(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1)\) a pour angle \(-\dfrac{\pi}{12}\) (sa tangente vaut \(\sqrt{3}-2=-\tan15^\circ\)). La différence est bien \(-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{12}\).

Exercice 14 :

a) Chasles : \((\vec{u},\vec{w})=(\vec{u},\vec{v})+(\vec{v},\vec{w})=\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{6}\,[2\pi]\). Comme \(\dfrac{7\pi}{6}-2\pi=-\dfrac{5\pi}{6}\), la mesure principale est \(-\dfrac{5\pi}{6}\).

b) \((\vec{w},\vec{u})=-(\vec{u},\vec{w})=\dfrac{5\pi}{6}\,[2\pi]\). Mesure principale : \(\dfrac{5\pi}{6}\).

c) Changer \(\vec{u}\) en \(-\vec{u}\) ajoute \(\pi\) : \((-\vec{u},\vec{v})=(\vec{u},\vec{v})+\pi=\dfrac{5\pi}{6}+\pi=\dfrac{11\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{6}\,[2\pi]\). Mesure principale : \(-\dfrac{\pi}{6}\).

d) De même, \((\vec{u},-\vec{w})=(\vec{u},\vec{w})+\pi=\dfrac{7\pi}{6}+\pi=\dfrac{13\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}\,[2\pi]\). Mesure principale : \(\dfrac{\pi}{6}\).

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si une mesure de leur angle orienté est un multiple de \(\pi\). Ici \((\vec{u},\vec{w})=\dfrac{7\pi}{6}\,[2\pi]\), qui n’est pas un multiple de \(\pi\) : \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas colinéaires.

Exercice 15 :

On réduit chaque mesure modulo \(2\pi\). Une mesure égale à 0 donne des vecteurs colinéaires de même sens, une mesure égale à \(\pi\) des vecteurs colinéaires de sens contraires, et une mesure égale à \(\dfrac{\pi}{2}\) ou \(-\dfrac{\pi}{2}\) des vecteurs orthogonaux.

a) \(4\pi=2\times 2\pi\equiv0\,[2\pi]\) : colinéaires de même sens.

b) \(-5\pi+6\pi=\pi\) : colinéaires de sens contraires.

c) \(\dfrac{9\pi}{2}-4\pi=\dfrac{\pi}{2}\) : orthogonaux.

d) \(-\dfrac{7\pi}{2}+4\pi=\dfrac{\pi}{2}\) : orthogonaux.

e) \(\dfrac{2023\pi}{3}-674\pi=\dfrac{2023\pi-2022\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}\) (et \(674\pi=337\times 2\pi\)) : \(\dfrac{\pi}{3}\) n’est ni un multiple de \(\pi\) ni égal à \(\pm\dfrac{\pi}{2}\) : aucun de ces cas.

Exercice 16 :

1. Prenons pour origine la direction du 12, et mesurons les angles dans le sens direct. À 4 h 20, on a \(t=4+\dfrac{1}{3}=\dfrac{13}{3}\) h.

L’aiguille des heures a tourné de \(-\dfrac{\pi}{6}\times \dfrac{13}{3}=-\dfrac{13\pi}{18}\). L’aiguille des minutes a tourné de \(-2\pi\times \dfrac{20}{60}=-\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{12\pi}{18}\).

L’angle de l’aiguille des heures vers celle des minutes vaut donc \(-\dfrac{12\pi}{18}-(-\dfrac{13\pi}{18})=\dfrac{\pi}{18}\) : \(\dfrac{\pi}{18}\) radian, soit \(10^\circ\). C’est cohérent avec la figure : l’aiguille des minutes est pointée sur le 4 et l’aiguille des heures est un peu plus loin, dans le sens des aiguilles d’une montre.

2. À l’instant \(t\) (en heures après midi), les mesures sont \(-2\pi t\) pour les minutes et \(-\dfrac{\pi t}{6}\) pour les heures. Les aiguilles sont superposées lorsque ces deux mesures diffèrent d’un multiple de \(2\pi\) :

\(-2\pi t+\dfrac{\pi t}{6}=-\dfrac{11\pi t}{6}=-2k\pi\), soit \(t=\dfrac{12k}{11}\) avec \(k\in\mathbb{N}\).

Pour \(k=0\), c’est midi lui-même. La première fois après midi correspond à \(k=1\) : \(t=\dfrac{12}{11}\) h \(=1\) h \(+\dfrac{1}{11}\) h. Or \(\dfrac{1}{11}\) h \(=\dfrac{60}{11}\) min \(\approx5{,}4545\) min, soit 5 min et \(0{,}4545\times 60\approx27\) s.

Les aiguilles se superposent pour la première fois après midi à environ 13 h 05 min 27 s. Elles se superposent 11 fois en 12 heures (pour \(k=0,\dots,10\)).

Exercice 17 :

1. \(A\) : \(x=4\cos\dfrac{\pi}{6}=2\sqrt{3}\) et \(y=4\sin\dfrac{\pi}{6}=2\). \(B\) : \(x=4\cos\dfrac{2\pi}{3}=-2\) et \(y=4\sin\dfrac{2\pi}{3}=2\sqrt{3}\). \(A(2\sqrt{3}\,;\,2)\) et \(B(-2\,;\,2\sqrt{3})\).

2. \((\vec{OA},\vec{OB})=\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{4\pi-\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}\). On a de plus \(OA=OB=4\). Le triangle OAB est rectangle isocèle en O.

3. D’après le théorème de Pythagore, \(AB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\). Vérification en coordonnées : \(AB^2=(2\sqrt{3}+2)^2+(2-2\sqrt{3})^2=(12+8\sqrt{3}+4)+(4-8\sqrt{3}+12)=32\). L’aire vaut \(\dfrac{OA\times OB}{2}=\dfrac{4\times 4}{2}\). \(AB=4\sqrt{2}\) et aire \(=8\).

4. \(I(\dfrac{2\sqrt{3}-2}{2}\,;\,\dfrac{2+2\sqrt{3}}{2})=(\sqrt{3}-1\,;\,\sqrt{3}+1)\).

Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l’angle droit vaut la moitié de l’hypoténuse : \(OI=\dfrac{AB}{2}=2\sqrt{2}\). On le retrouve par le calcul : \(OI^2=(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{3}+1)^2=(4-2\sqrt{3})+(4+2\sqrt{3})=8\).

Le triangle étant isocèle en O, la droite (OI) est aussi bissectrice de l’angle \(\widehat{AOB}\), donc \(\theta=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{12}\). On vérifie que \(\cos\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{x_I}{OI}\). \(I[2\sqrt{2}\,;\,\dfrac{5\pi}{12}]\).

Exercice 18 :

1. \(x=6\cos\dfrac{\pi}{4}=3\sqrt{2}\) et \(y=6\sin\dfrac{\pi}{4}=3\sqrt{2}\). \(M(3\sqrt{2}\,;\,3\sqrt{2})\).

2. Une rotation de centre O conserve la distance à O et ajoute son angle à l’angle polaire. Les trois images sont donc à la distance 6 de O.

\(M_1[6\,;\,\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}]=[6\,;\,\dfrac{3\pi}{4}]\), d’où \(M_1(6\cos\dfrac{3\pi}{4}\,;\,6\sin\dfrac{3\pi}{4})\). \(M_1(-3\sqrt{2}\,;\,3\sqrt{2})\).

\(M_2[6\,;\,\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}]=[6\,;\,-\dfrac{\pi}{12}]\). Or \(\cos\dfrac{\pi}{12}=\cos(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\). \(M_2(\dfrac{3(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2}\,;\,-\dfrac{3(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2})\), soit environ \((5{,}80\,;\,-1{,}55)\).

\(M_3[6\,;\,\dfrac{\pi}{4}+\pi]=[6\,;\,\dfrac{5\pi}{4}]\). \(M_3(-3\sqrt{2}\,;\,-3\sqrt{2})\), symétrique de M par rapport à O.

Exercice 19 :

On se place dans le repère orthonormé direct \((O\,;\,\vec{OA},\vec{j})\) où \(OA=1\). Les sommets sont sur le cercle unité, tous les \(\dfrac{\pi}{3}\) : \(A(1\,;0)\), \(B(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2})\), \(C(-\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2})\), \(D(-1\,;0)\), \(E(-\dfrac{1}{2}\,;-\dfrac{\sqrt{3}}{2})\), \(F(\dfrac{1}{2}\,;-\dfrac{\sqrt{3}}{2})\).

a) C est associé à l’angle \(\dfrac{2\pi}{3}\). \((\vec{OA},\vec{OC})=\dfrac{2\pi}{3}\).

b) E est associé à \(\dfrac{4\pi}{3}\), et \(\dfrac{4\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{2\pi}{3}\). \((\vec{OA},\vec{OE})=-\dfrac{2\pi}{3}\).

Pour les questions suivantes, on repère la direction de chaque vecteur :

\(\vec{AB}(-\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2})\) est un vecteur unitaire de direction \(\dfrac{2\pi}{3}\). \(\vec{AC}(-\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2})=\sqrt{3}(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{1}{2})\) a la direction \(\dfrac{5\pi}{6}\). \(\vec{AD}(-2\,;0)\) a la direction \(\pi\). \(\vec{DE}(\dfrac{1}{2}\,;-\dfrac{\sqrt{3}}{2})\) a la direction \(-\dfrac{\pi}{3}\). \(\vec{CD}(-\dfrac{1}{2}\,;-\dfrac{\sqrt{3}}{2})\) a la direction \(-\dfrac{2\pi}{3}\).

c) \((\vec{AB},\vec{AC})=\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}\). \(\dfrac{\pi}{6}\).

d) \((\vec{AB},\vec{AD})=\pi-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}\). \(\dfrac{\pi}{3}\).

e) \((\vec{AB},\vec{DE})=-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}=-\pi\equiv\pi\,[2\pi]\) : les vecteurs sont opposés. \(\pi\).

f) \((\vec{AB},\vec{CD})=-\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{4\pi}{3}\equiv\dfrac{2\pi}{3}\,[2\pi]\). \(\dfrac{2\pi}{3}\).

Exercice 20 :

1. La roue tourne de \(2\pi\) radians en 12 minutes, soit de \(\dfrac{\pi}{6}\) radian par minute. À l’instant \(t\), la nacelle est repérée, par rapport au centre, par l’angle \(-\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi t}{6}\) (au départ, elle est en bas, à l’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\)).

Sa hauteur est celle du centre plus l’ordonnée relative : \(h(t)=22+20\sin(\dfrac{\pi t}{6}-\dfrac{\pi}{2})\). Or \(\sin(\theta-\dfrac{\pi}{2})=-\cos\theta\), donc \(h(t)=22-20\cos(\dfrac{\pi t}{6})\).

2. \(h(0)=22-20=2\) ; \(h(2)=22-20\cos\dfrac{\pi}{3}=22-10=12\) ; \(h(3)=22-20\cos\dfrac{\pi}{2}=22\) ; \(h(4)=22-20\cos\dfrac{2\pi}{3}=22+10=32\) ; \(h(6)=22-20\cos\pi=42\). Hauteurs en mètres : 2, 12, 22, 32 et 42.

3. \(h(t)=12\) équivaut à \(\cos(\dfrac{\pi t}{6})=\dfrac{1}{2}\). Pour \(t\in[0\,;\,12]\), l’angle \(\dfrac{\pi t}{6}\) décrit \([0\,;\,2\pi]\), et les solutions sont \(\dfrac{\pi}{3}\) et \(\dfrac{5\pi}{3}\). Donc \(t=2\) ou \(t=10\). La nacelle est à 12 m du sol à 2 minutes et à 10 minutes.

4. \(h(t)\geq\,32\) équivaut à \(-20\cos(\dfrac{\pi t}{6})\geq\,10\), soit \(\cos(\dfrac{\pi t}{6})\leq\,-\dfrac{1}{2}\). Sur \([0\,;\,2\pi]\), cela donne \(\dfrac{\pi t}{6}\in[\dfrac{2\pi}{3}\,;\,\dfrac{4\pi}{3}]\), soit \(t\in[4\,;\,8]\). La nacelle est à plus de 32 m pendant 4 minutes par tour.

Angles orientés première : méthode de travail

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Angle orienté sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec suites : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.