Corrigé des exercices
Exercice 1 (homothétie en 3e)
On repère les points sur le quadrillage. Le côté [RO] mesure 2 carreaux et son côté « parallèle » [UI] en mesure 6 ; la hauteur de ROSE est de 2 carreaux et celle de NUIT de 6 carreaux. Les deux figures ont la même orientation : le rapport est positif et vaut \(\dfrac{6}{2}=3\).
Dans cette homothétie, R a pour image U, O a pour image I, S a pour image T et E a pour image N. Le centre est le point d’intersection des droites (RU), (OI), (ST) et (EN) : en les traçant, on constate qu’elles passent toutes par le point L (et pas par M). On vérifie : pour aller de L à R, on avance de 2 carreaux vers la droite et de 1 vers le haut ; pour aller de L à U, de 6 carreaux vers la droite et de 3 vers le haut, soit trois fois plus. Donc LU = 3 LR, avec U sur la demi-droite [LR).
- NUIT est l’image de ROSE par l’homothétie de centre L et de rapport 3.
- Inversement, ROSE est l’image de NUIT par l’homothétie de centre L et de rapport \(\dfrac{1}{3}\) (les longueurs sont divisées par 3).
Exercice 2 :
Dans une homothétie de rapport k (positif), les longueurs sont multipliées par k et les aires par \(k^2\).
- Le périmètre est une longueur : \(8\times 3=24\). Le périmètre du rectangle orange est 24 cm.
- Les aires sont multipliées par \(3^2=9\). L’aire du rectangle rose est donc \(72: 9=8\) : 8 cm².
Exercice 3 (homothétie en 3e)
On compte les carreaux à partir de O.
- a. Le sommet de l’angle droit de \(F_1\) est à 3 carreaux à droite de O, celui de \(F_2\) à 6 carreaux, sur la même ligne. Les côtés de l’angle droit de \(F_1\) mesurent 2 et 1 carreaux, ceux de \(F_2\) mesurent 4 et 2 carreaux. Tous les sommets de \(F_2\) sont deux fois plus loin de O que ceux de \(F_1\), du même côté : oui, c’est une homothétie de centre O et de rapport 2.
- b. \(F_1\) est plus large que haute (2 carreaux sur 1), alors que \(F_2\) est plus haute que large (2 carreaux sur 4) : les deux triangles n’ont pas la même forme, leurs côtés ne sont pas proportionnels. Non, \(F_2\) n’est pas l’image de \(F_1\) par une homothétie.
- c. \(F_1\) a des côtés de 6 et 3 carreaux, \(F_2\) de 2 et 1 carreaux ; le sommet de l’angle droit de \(F_1\) est à 3 carreaux à droite et 3 au-dessus de O, celui de \(F_2\) à 1 carreau à droite et 1 au-dessus. Les distances à O sont divisées par 3, du même côté de O : oui, c’est l’homothétie de centre O et de rapport \(\dfrac{1}{3}\).
Exercice 4 :
- \(B_2\) a la même orientation que \(B_1\), elle est trois fois plus grande (3 carreaux de haut au lieu de 1) et trois fois plus loin de O : homothétie de centre O et de rapport 3.
- \(B_3\) est le reflet de \(B_1\) dans la droite rouge : symétrie axiale d’axe \((d_2)\).
- \(B_4\) est trois fois plus grande, de l’autre côté de O et retournée : homothétie de centre O et de rapport \(-3\).
- \(B_5\) a la même taille, de l’autre côté de O et retournée : symétrie centrale de centre O (c’est aussi l’homothétie de centre O et de rapport \(-1\)).
- \(B_6\) est le reflet de \(B_1\) dans la droite bleue : symétrie axiale d’axe \((d_1)\).
Exercice 5 (homothétie en 3e)
Pour chaque point, on trace la demi-droite issue de O qui passe par ce point, et on place l’image deux fois plus loin de O, du même côté (rapport positif). Sur le quadrillage, en partant de O :
- L est à 1 carreau à droite et 1 en haut, donc L’ est à 2 carreaux à droite et 2 en haut ;
- M est à 2 à droite et 3 en haut, donc M’ est à 4 à droite et 6 en haut ;
- N est à 4 à droite et 3 en haut, donc N’ est à 8 à droite et 6 en haut ;
- P est à 4 à droite sur la ligne de O, donc P’ est à 8 à droite sur cette même ligne.
On relie : L’M’N’P’ est un quadrilatère de même forme que LMNP, aux côtés deux fois plus longs et parallèles à ceux de LMNP.
Exercice 6 :
- Sur la figure, les points O, C et C’ sont alignés et le codage montre que CC’ mesure deux fois OC, donc OC’ = OC + 2 OC = 3 OC, avec C’ du même côté de O que C. Le rapport de l’homothétie est 3.
- Une homothétie conserve les angles. L’angle \(\widehat{BAC}\) est droit, donc son image \(\widehat{B^{\prime}A^{\prime}C^{\prime}}\) aussi : A’B’C’ est un triangle rectangle en A’.
- Dans le triangle ABC rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore : \(BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100\), donc \(BC=\sqrt{100}=10\) cm.
Périmètre : \(6+8+10=24\), soit 24 cm. Aire : \(\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{6\times 8}{2}=24\), soit 24 cm². - Les longueurs sont multipliées par 3 : périmètre de A’B’C’ \(=3\times 24=72\), soit 72 cm.
Les aires sont multipliées par \(3^2=9\) : aire de A’B’C’ \(=9\times 24=216\), soit 216 cm².
Exercice 7 (homothétie en 3e)
a. Les points B, O, C sont alignés, ainsi que B, E, A, et B est un sommet commun aux deux triangles : le centre est B. O a pour image C et E a pour image A, du même côté de B : le rapport est positif, \(k=\dfrac{BC}{BO}=\dfrac{32}{8}=4\). Homothétie de centre B et de rapport 4.
Les longueurs de ABC sont celles de OBE multipliées par 4, donc celles de OBE s’obtiennent en divisant par 4 :
- [OE] a pour image [CA] : \(OE=18: 4=4{,}5\), donc OE = 4,5 cm ;
- [BE] a pour image [BA] : \(BE=20: 4=5\), donc BE = 5 cm.
b. Les points O, B, C sont alignés, ainsi que E, B, A : le centre est B. Cette fois, B est entre O et C (et entre E et A) : l’image est de l’autre côté du centre, le rapport est négatif. \(\dfrac{BC}{BO}=\dfrac{6{,}3}{9}=0{,}7\), d’où l’homothétie de centre B et de rapport \(-0{,}7\).
- [OE] a pour image [CA] : \(OE=7: 0{,}7=10\), donc OE = 10 cm ;
- [BE] a pour image [BA] : \(BE=4{,}2: 0{,}7=6\), donc BE = 6 cm.
Exercice 8 :
a. Avec le logiciel, on place A et B à 2 cm l’un de l’autre, puis on utilise l’outil « polygone régulier » (4 sommets) pour obtenir le carré ABCD.
b. On utilise l’outil « homothétie » avec le centre A et le rapport 3. Une homothétie conserve les angles (les angles droits restent droits) et multiplie toutes les longueurs par 3 (les quatre côtés restent égaux) : AB’C’D’ est un carré de côté \(3\times 2=6\) cm.
c. Même raisonnement avec le rapport \(\dfrac{1}{4}\) : AB »C »D » est un carré de côté \(\dfrac{1}{4}\times 2=0{,}5\) cm.
d. Avec un rapport négatif, l’image est de l’autre côté de A et les longueurs sont multipliées par \(\dfrac{1}{2}\) : A\(B_1C_1D_1\) est un carré de côté \(\dfrac{1}{2}\times 2=1\) cm, placé « en bas à gauche » de A.
e. On constate que B, B’, B » et \(B_1\) sont sur la droite (AB), C, C’, C » et \(C_1\) sur la droite (AC), D, D’, D » et \(D_1\) sur la droite (AD) : un point et son image par une homothétie sont toujours alignés avec le centre A.
Exercice 9 (homothétie en 3e)
a. On trace au compas le cercle de centre O et de rayon 2 cm.
b. Le centre O de l’homothétie est aussi le centre du cercle : son image est O lui-même. L’image du cercle est donc un cercle de centre O, dont le rayon est multiplié par la valeur absolue du rapport (la distance à O, sans le signe).
- rapport 1,5 : rayon \(1{,}5\times 2=3\), cercle de centre O et de rayon 3 cm ;
- rapport 0,75 : rayon \(0{,}75\times 2=1{,}5\), cercle de centre O et de rayon 1,5 cm ;
- rapport \(-2\) : rayon \(2\times 2=4\), cercle de centre O et de rayon 4 cm. Chaque point est envoyé de l’autre côté de O, mais le cercle obtenu est le même qu’avec le rapport 2.
Exercice 10 :
Pour que A’B’C’ soit l’image de ABC par une homothétie de centre O, il faut que chaque point et son image soient alignés avec O, et que les distances à O soient toutes multipliées par le même nombre.
- a. Non. Les côtés de A’B’C’ sont bien parallèles à ceux de ABC, mais les droites (AA’), (BB’) et (CC’) ne passent pas toutes par O : par exemple, O, B et B’ ne sont pas alignés.
- b. Non. O est situé entre A et A’ : le rapport devrait être négatif, et l’image serait alors retournée (pointe vers le bas). Or A’B’C’ a la même orientation que ABC.
- c. Oui. Les points A et A’, B et B’, C et C’ sont alignés avec O, du même côté, et en mesurant on trouve \(\dfrac{OA^{\prime}}{OA}\), \(\dfrac{OB^{\prime}}{OB}\) et \(\dfrac{OC^{\prime}}{OC}\) égaux (environ 0,4 sur la figure) : A’B’C’ est l’image de ABC par une homothétie de centre O et de rapport positif, environ 0,4.
Exercice 11 (homothétie en 3e)
On repère chaque sommet par rapport à O en comptant les carreaux, puis on multiplie ces déplacements par le rapport.
a. Rapport 2 : A est à 5 carreaux à gauche et 1 en haut de O, donc A’ est à 10 à gauche et 2 en haut. B (2 à gauche, 1 en haut) donne B’ (4 à gauche, 2 en haut). C (5 à gauche, 2 en bas) donne C’ (10 à gauche, 4 en bas). A’B’C’ est un triangle rectangle en A’, aux côtés deux fois plus longs que ceux de ABC.
b. Rapport \(-1{,}5\) : on multiplie les distances par 1,5 et on passe de l’autre côté de O. E (3 à droite, 2 en bas) donne E’ (4,5 à gauche, 3 en haut). F (5 à droite, 6 en bas) donne F’ (7,5 à gauche, 9 en haut). G (1 à droite, 6 en bas) donne G’ (1,5 à gauche, 9 en haut). E’F’G’ est un triangle isocèle « à l’envers », 1,5 fois plus grand que EFG.
Exercice 12 :
Le rapport se lit en comparant les longueurs (image divisée par figure de départ), avec un signe moins si l’image est retournée ; le centre est le point commun aux droites qui joignent chaque sommet à son image.
- a. Le rectangle rouge mesure 3 carreaux sur 2, le vert 9 sur 6 : les longueurs sont multipliées par 3, sans retournement. Le côté droit du rectangle rouge est à 2 carreaux à gauche de A, celui du vert à 6 carreaux : \(6: 2=3\). Centre A, rapport 3.
- b. Le triangle rouge a une base de 1 carreau et une hauteur de 2, le vert une base de 2 et une hauteur de 4, et il est retourné. La pointe rouge est à 1 carreau à gauche et 1 en dessous de B, la pointe verte à 2 carreaux à droite et 2 au-dessus. Centre B, rapport \(-2\).
- c. Le rectangle rouge mesure 9 carreaux sur 6, le vert 3 sur 2 : les longueurs sont divisées par 3, sans retournement. Le côté gauche du rouge est à 15 carreaux de A, celui du vert à 5 carreaux : \(5: 15=\dfrac{1}{3}\). Centre A, rapport \(\dfrac{1}{3}\).
- d. La base du triangle rouge mesure 7,5 carreaux, celle du vert 3 carreaux, sans retournement : \(\dfrac{3}{7{,}5}=0{,}4\). Le sommet de droite du triangle vert est à 1 carreau à gauche et 1 en dessous de A, celui du rouge à 2,5 carreaux à gauche et 2,5 en dessous : \(1: 2{,}5=0{,}4\). Centre A, rapport \(0{,}4=\dfrac{2}{5}\).
Exercice 13 (homothétie en 3e)
Méthode : pour chaque sommet M, on trace la droite (OM) et on place M’ tel que OM’ = |k| × OM, du même côté que M si k est positif, de l’autre côté de O si k est négatif. On relie ensuite les images.
- a. Rapport 2 : chaque sommet image est sur la demi-droite [OM), deux fois plus loin de O. On obtient un triangle pointe en bas, deux fois plus grand.
- b. Rapport \(-2\) : chaque image est de l’autre côté de O, à une distance double. Le parallélogramme image est deux fois plus grand, à droite de O, et ses côtés sont parallèles à ceux de départ.
- c. Rapport \(-\dfrac{1}{3}\) : chaque image est de l’autre côté de O, trois fois plus près. On obtient un petit triangle retourné (pointe en haut), trois fois plus petit.
Exercice 14 :
a. Appelons \(\Omega\) le centre du cercle. L’image d’un cercle est un cercle : on construit l’image \(\Omega^{\prime}\) du centre, sur la demi-droite \([O\Omega)\) avec \(O\Omega^{\prime}=1{,}2\times O\Omega\), puis on trace le cercle de centre \(\Omega^{\prime}\) et de rayon 1,2 fois celui du cercle de départ.
b. La figure est formée d’un triangle rectangle isocèle et d’un demi-cercle construit sur son hypoténuse. On construit les images des trois sommets du triangle : chaque image est de l’autre côté de O, à 1,5 fois la distance. Le milieu de l’hypoténuse a pour image le milieu de l’hypoténuse image : c’est le centre du nouveau demi-cercle, de rayon multiplié par 1,5. L’image est la même figure, 1,5 fois plus grande et retournée, en haut à gauche de O.
Exercice 15 (homothétie en 3e)
a. On trace un segment [AB] et un point I hors de la droite (AB). On trace la droite (IA) et on place A’ de l’autre côté de I tel que IA’ = 2 IA ; de même, on place B’ sur la droite (IB), de l’autre côté de I, tel que IB’ = 2 IB.
b. Les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles.
Justification : les points A, I, A’ sont alignés, ainsi que B, I, B’, dans le même ordre, et \(\dfrac{IA^{\prime}}{IA}=\dfrac{IB^{\prime}}{IB}=2\). D’après la réciproque du théorème de Thalès, (AB) et (A’B’) sont parallèles. C’est une propriété générale : une homothétie transforme une droite en une droite parallèle. De plus, A’B’ = 2 AB.
Exercice 16 :
On vérifie deux conditions : chaque point et son image doivent être alignés avec O, et les rapports \(\dfrac{OA^{\prime}}{OA}\), \(\dfrac{OB^{\prime}}{OB}\), \(\dfrac{OC^{\prime}}{OC}\) doivent être égaux ; si O est entre un point et son image, le rapport est négatif et la figure image est retournée.
- a. Non : A, A’ et O sont alignés, mais B’ n’est pas sur la droite (OB). Le triangle A’B’C’ a la bonne forme, mais il n’est pas à la bonne place.
- b. Non : O est entre A et A’, ce qui imposerait un rapport négatif et un triangle image retourné ; or A’B’C’ a la pointe vers le haut, comme ABC.
- c. Oui : les trois droites (AA’), (BB’), (CC’) passent par O, les images sont du même côté que les points de départ et les distances à O sont toutes multipliées par le même nombre. C’est une homothétie de centre O et de rapport positif (environ 0,4 d’après les mesures sur la figure).
Exercice 17 (homothétie en 3e)
Les figures sont les mêmes qu’à l’exercice 11 ; on compte les carreaux depuis O.
a. Rapport 2, on double les déplacements en restant du même côté de O :
- A (5 à gauche, 1 en haut) \(\to\) A’ (10 à gauche, 2 en haut) ;
- B (2 à gauche, 1 en haut) \(\to\) B’ (4 à gauche, 2 en haut) ;
- C (5 à gauche, 2 en bas) \(\to\) C’ (10 à gauche, 4 en bas).
b. Rapport \(-1{,}5\), on multiplie les déplacements par 1,5 et on change leur sens :
- E (3 à droite, 2 en bas) \(\to\) E’ (4,5 à gauche, 3 en haut) ;
- F (5 à droite, 6 en bas) \(\to\) F’ (7,5 à gauche, 9 en haut) ;
- G (1 à droite, 6 en bas) \(\to\) G’ (1,5 à gauche, 9 en haut).
A’B’C’ est deux fois plus grand que ABC ; E’F’G’ est 1,5 fois plus grand que EFG et retourné (voir la figure de l’exercice 11).
Exercice 18 :
Ce sont les mêmes figures qu’à l’exercice 12.
- a. Rectangle rouge 3 × 2 carreaux, vert 9 × 6, même orientation ; A est à 2 carreaux du côté droit du rouge et à 6 carreaux de celui du vert. Centre A, rapport 3.
- b. Triangle rouge de base 1 et de hauteur 2, triangle vert de base 2 et de hauteur 4, retourné ; les pointes sont de part et d’autre de B, à des distances 1 et 2 (en diagonale). Centre B, rapport \(-2\).
- c. Rectangle rouge 9 × 6, vert 3 × 2, même orientation ; A est à 15 carreaux du côté gauche du rouge et à 5 carreaux de celui du vert. Centre A, rapport \(\dfrac{1}{3}\).
- d. Bases de 7,5 carreaux (rouge) et 3 carreaux (vert), même orientation : \(\dfrac{3}{7{,}5}=0{,}4\). Les droites joignant les sommets correspondants se coupent en A. Centre A, rapport \(0{,}4\).
Exercice 19 (homothétie en 3e)
Même travail qu’à l’exercice 13. Pour chaque sommet M de la figure, on trace la droite (OM) et on mesure OM ; on place l’image M’ sur cette droite à la distance |k| × OM, du côté de M si k est positif, de l’autre côté de O si k est négatif.
- a. Rapport 2 : triangle pointe en bas, deux fois plus grand, tous ses sommets sur les demi-droites [OM) à distance double.
- b. Rapport \(-2\) : parallélogramme deux fois plus grand, situé de l’autre côté de O, ses côtés parallèles à ceux de départ.
- c. Rapport \(-\dfrac{1}{3}\) : on divise chaque distance OM par 3 et on se place de l’autre côté de O ; on obtient un triangle trois fois plus petit, pointe en haut.
Exercice 20 :
a. L’image du cercle est un cercle. Son centre est l’image du centre \(\Omega\) du cercle : on le place sur la demi-droite \([O\Omega)\) à la distance \(1{,}2\times O\Omega\). Son rayon est \(1{,}2\) fois le rayon de départ (on mesure le rayon et on le multiplie par 1,2). On trace le cercle obtenu, un peu plus grand et un peu plus loin de O.
b. On construit les images des trois sommets du triangle rectangle (de l’autre côté de O, à 1,5 fois la distance), puis l’image du milieu de l’hypoténuse, qui est le centre du demi-cercle image ; son rayon vaut 1,5 fois le rayon de départ. La figure image est retournée et 1,5 fois plus grande.
Exercice 21 :
a. Construction : on choisit I en dehors de la droite (AB). A’ est sur la droite (AI), de l’autre côté de I, avec IA’ = 2 × IA ; B’ est sur la droite (BI), de l’autre côté de I, avec IB’ = 2 × IB. On trace [A’B’] (voir la figure de l’exercice 15).
b. Dans les triangles IAB et IA’B’, les points A, I, A’ d’une part et B, I, B’ d’autre part sont alignés dans le même ordre, et \(\dfrac{IA^{\prime}}{IA}=2\) et \(\dfrac{IB^{\prime}}{IB}=2\) sont égaux. Par la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles, et de plus \(A^{\prime}B^{\prime}=2\times AB\).
Exercice 22 :
Appelons A’, B’, D’, C’ les sommets du petit quadrilatère qui correspondent à A, B, D, C (D étant le quatrième sommet, non nommé, du grand quadrilatère, en bas à droite).
a. Une homothétie conserve les angles : on code avec le même symbole \(\widehat{A}\) et \(\widehat{A^{\prime}}\), \(\widehat{B}\) et \(\widehat{B^{\prime}}\), \(\widehat{C}\) et \(\widehat{C^{\prime}}\), \(\widehat{D}\) et \(\widehat{D^{\prime}}\) : quatre paires d’angles de même mesure.
b. Une homothétie multiplie toutes les longueurs par le même nombre k. Si AB = AC, alors \(A^{\prime}B^{\prime}=k\times AB=k\times AC=A^{\prime}C^{\prime}\) : on code A’B’ = A’C’.
c. Un segment et son image sont parallèles : on peut par exemple repasser en rouge [AC] et [A’C’] (ou [AB] et [A’B’], ou [BD] et [B’D’], ou [DC] et [D’C’]).
Exercice 23 :
Une homothétie de rapport \(\dfrac{5}{4}\) multiplie les longueurs par \(\dfrac{5}{4}\) : \(A^{\prime}B^{\prime}=\dfrac{5}{4}\times 6=\dfrac{30}{4}=7{,}5\), donc A’B’ = 7,5 cm.
Une homothétie conserve les angles : \(\widehat{A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}=\widehat{ABC}=60^{\circ}\).
Exercice 24 :
a. Les sommets se correspondent ainsi : R a pour image O, U a pour image K, L a pour image F et P a pour image M (les angles droits sont en R et P d’un côté, en O et M de l’autre). Un point, son image et le centre sont alignés : on trace les droites (RO) et (UK) ; leur point d’intersection est le centre I. Les droites (PM) et (LF) passent aussi par I, ce qui permet de contrôler la construction. Comme le rapport 0,5 est positif, O est le milieu de [IR], K le milieu de [IU], etc.
b. Une homothétie conserve le parallélisme et les angles. Dans RULP, (RU) et (PL) sont parallèles, donc leurs images (OK) et (MF) sont parallèles ; les angles droits en R et P donnent des angles droits en O et M. OKFM est donc un trapèze rectangle, dont les côtés mesurent la moitié de ceux de RULP.
Exercice 25 :
Le rapport 0,5 est positif : un segment et son image sont parallèles, de même sens, et l’image est deux fois plus courte.
- Méthode 1 (avec le centre). Le centre O est sur la droite (FF’), et F’ est le milieu de [OF] puisque OF’ = 0,5 × OF. On place donc O sur la demi-droite [FF’) tel que F’O = FF’. Puis I’ est le milieu de [OI] et M’ le milieu de [OM].
- Méthode 2 (sans le centre). On trace par F’ la parallèle à (FI) et la parallèle à (FM). On place I’ sur la première, avec F’I’ = FI ÷ 2, dans le même sens que de F vers I ; puis M’ sur la seconde, avec F’M’ = FM ÷ 2, dans le même sens que de F vers M.
Le triangle F’I’M’ obtenu a ses côtés parallèles à ceux de FIM et deux fois plus courts.
Exercice 26 :
a. Les longueurs sont multipliées par 5 : le côté de EFGH mesure \(5\times 3=15\), soit 15 cm. Son aire vaut \(15\times 15=225\), soit 225 cm².
b. L’aire de ABCD est \(3\times 3=9\) cm², donc :
\[\dfrac{\text{Aire } EFGH}{\text{Aire } ABCD}=\dfrac{225}{9}=25=(5)^2\]
Le rapport des aires est le carré du rapport de l’homothétie.
Exercice 27 :
Dans une homothétie de rapport k, les aires sont multipliées par \(k^2\) (un nombre au carré est toujours positif, même si k est négatif).
- a. \(0{,}8^2=0{,}64\) et \(24\times 0{,}64=15{,}36\) : 15,36 cm².
- b. \((-4)^2=16\) et \(24\times 16=384\) : 384 cm².
- c. \((\dfrac{1}{7})^2=\dfrac{1}{49}\) et \(24\times \dfrac{1}{49}=\dfrac{24}{49}\) : \(\dfrac{24}{49}\) cm², soit environ 0,49 cm².
Exercice 28 :
On utilise : aire de l’image = aire de la figure \(\times k^2\). Pour trouver le rapport, on calcule le quotient des aires puis on cherche le nombre positif dont le carré donne ce quotient (le rapport opposé convient aussi).
| Aire de la figure | Rapport d’homothétie | Aire de l’image |
|---|---|---|
| 3 cm² | 3 | 27 cm² (\(3\times 9\)) |
| 15 m² | 0,4 | 2,4 m² (\(15\times 0{,}16\)) |
| 9 mm² (\(225: 25\)) | 5 | 225 mm² |
| \(\dfrac{31}{9}\) cm², environ 3,44 cm² (\(1{,}24: 0{,}36\)) | 0,6 | 1,24 cm² |
| 2,5 cm² | 2 ou \(-2\) (\(10: 2{,}5=4=2^2\)) | 10 cm² |
| 2 dm² | 1,2 ou \(-1{,}2\) (\(2{,}88: 2=1{,}44=1{,}2^2\)) | 2,88 dm² |
| 9,3 dm² | 10 ou \(-10\) (\(930: 9{,}3=100=10^2\)) | 9,3 m² |
Pour la dernière ligne, il faut d’abord convertir dans la même unité : 9,3 m² = 930 dm².
Exercice 29 :
a. O est sur [BC] et E sur [BA] : le centre est le sommet commun B, et les images sont du même côté que les points de départ. Rapport : \(\dfrac{BC}{BO}=\dfrac{32}{8}=4\), donc homothétie de centre B et de rapport 4. On divise les longueurs de ABC par 4 : \(OE=\dfrac{CA}{4}=\dfrac{18}{4}=4{,}5\) et \(BE=\dfrac{BA}{4}=\dfrac{20}{4}=5\). OE = 4,5 cm et BE = 5 cm.
b. Les droites (OC) et (EA) se coupent en B, qui est le centre ; B est entre O et C, donc le rapport est négatif. \(\dfrac{BC}{BO}=\dfrac{6{,}3}{9}=0{,}7\), d’où l’homothétie de centre B et de rapport \(-0{,}7\). On divise les longueurs de ABC par 0,7 : \(OE=\dfrac{CA}{0{,}7}=\dfrac{7}{0{,}7}=10\) et \(BE=\dfrac{BA}{0{,}7}=\dfrac{4{,}2}{0{,}7}=6\). OE = 10 cm et BE = 6 cm.
Exercice 30 :
a. On construit ABCD avec l’outil « polygone régulier » (côté [AB] de 2 cm, 4 sommets).
b. Une homothétie conserve les angles droits et multiplie toutes les longueurs par le même nombre, donc l’image d’un carré est un carré. AB’C’D’ est un carré de côté \(3\times 2=6\) cm.
c. AB »C »D » est un carré de côté \(\dfrac{1}{4}\times 2=0{,}5\) cm.
d. Le rapport est négatif : le carré image est de l’autre côté de A. A\(B_1C_1D_1\) est un carré de côté \(\dfrac{1}{2}\times 2=1\) cm.
e. Chaque point et toutes ses images sont alignés avec A : B, B’, B », \(B_1\) sur (AB) ; C, C’, C », \(C_1\) sur (AC) ; D, D’, D », \(D_1\) sur (AD). Le centre, un point et son image sont toujours alignés.
Exercice 31 :
a. On trace au compas le cercle \(\varphi\) de centre O et de rayon 2 cm.
b. Le centre de l’homothétie est O, qui est aussi le centre de \(\varphi\) : les cercles images ont tous pour centre O. Leurs rayons valent :
- rapport 1,5 : \(1{,}5\times 2=3\), donc cercle de centre O et de rayon 3 cm ;
- rapport 0,75 : \(0{,}75\times 2=1{,}5\), donc cercle de centre O et de rayon 1,5 cm ;
- rapport \(-2\) : \(2\times 2=4\), donc cercle de centre O et de rayon 4 cm (chaque point passe de l’autre côté de O, mais le cercle obtenu est le même qu’avec le rapport 2).
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