Contrôle de maths 3ème : homothéties : constructions et calculs

Exercice 1 : Images de points sur un quadrillage (4 points)

Calculatrice autorisée.

Reproduis le quadrillage ci-dessous et les points O, A, B, D et E sur ton cahier (un carreau pour un carreau).

1. Construis le point A’, image du point A par l’homothétie de centre O et de rapport 2. (1 point)
2. Construis le point B’, image du point B par l’homothétie de centre O et de rapport \(-2\). (1 point)
3. Le point E est l’image du point D par une homothétie de centre O. Détermine son rapport en expliquant ta démarche. (1 point)
4. Par quelle homothétie le point A’ a-t-il pour image le point A ? Donne son centre et son rapport. (1 point)

Exercice 2 : Agrandir un triangle (4 points)

Sur le quadrillage ci-dessous, l’unité de longueur est le côté d’un carreau et l’unité d’aire est l’aire d’un carreau. Le triangle RST est rectangle en R, avec \(RS = 3\), \(RT = 4\) et \(ST = 5\).

1. Reproduis la figure et construis le triangle R’S’T’, image du triangle RST par l’homothétie de centre K et de rapport 2. (1,5 point)
2. Sans mesurer, donne les longueurs R’S’, R’T’ et S’T’. (1 point)
3. Calcule l’aire du triangle RST et celle du triangle R’S’T’. Par quel nombre l’aire a-t-elle été multipliée ? (1 point)
4. Par quel nombre l’aire du triangle RST serait-elle multipliée avec une homothétie de rapport \(-3\) ? (0,5 point)

Exercice 3 : Retrouver le centre et le rapport (4 points)

Sur le quadrillage ci-dessous, le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une homothétie dont le centre n’est pas dessiné. L’unité de longueur est le côté d’un carreau.

1. Reproduis la figure et construis le centre O de cette homothétie. Explique ta construction. (1 point)
2. Le rapport de cette homothétie est-il positif ou négatif ? Détermine sa valeur. (1,5 point)
3. On a \(BC = 4\). Sans mesurer, calcule B’C’. (0,5 point)
4. Calcule l’aire des triangles ABC et A’B’C’. Vérifie que le quotient des aires est cohérent avec le rapport trouvé. (1 point)

Exercice 4 : Homothétie et configuration de Thalès (4 points)

Sur la figure ci-dessous, les points A, M et B sont alignés, ainsi que les points A, N et C. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles et le triangle AMN est rectangle en M. On donne \(AM = 4\) cm, \(MN = 3\) cm, \(AN = 5\) cm et \(AB = 10\) cm.

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Le triangle ABC est l’image du triangle AMN par une homothétie de centre A. Quel est son rapport ? Justifie. (1 point)
2. Calcule la longueur BC. (1 point)
3. Calcule la longueur AC. (0,5 point)
4. Calcule l’aire du triangle AMN, puis déduis-en l’aire du triangle ABC en utilisant le rapport de l’homothétie. (1,5 point)

Exercice 5 : L’ombre de la figurine (4 points)

Dans une pièce sombre, Yanis pose une petite lampe L sur le sol, à 200 cm d’un mur. Il place une figurine plate [FG], de 8 cm de haut, debout sur le sol à 50 cm de la lampe et parallèle au mur. L’ombre de la figurine sur le mur est le segment [PQ]. On admet que l’ombre [PQ] est l’image de la figurine [FG] par une homothétie de centre L.

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Quel est le rapport de cette homothétie ? Justifie. (1 point)
2. Calcule la hauteur PQ de l’ombre sur le mur. (1 point)
3. Yanis veut une ombre de 40 cm de haut. À quelle distance de la lampe doit-il placer la figurine ? (1 point)
4. La silhouette de la figurine a une aire de \(30\text{ cm}^2\). Quelle est l’aire de son ombre quand la figurine est à 50 cm de la lampe ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : homothéties : constructions et calculs

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Homothéties » en 3ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés homothéties.

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