Troisième — chapitre 10 sur 11
Homothéties, agrandissements et réductions
Une homothétie agrandit ou réduit une figure depuis un centre ; les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$.
Définition — homothétie
L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ ($k\ne 0$) transforme un point $M$ en $M'$ tel que $M'$ est sur la droite $(OM)$ et $OM' = |k|\times OM$ ; $M'$ est du même côté que $M$ si $k>0$, de l'autre côté si $k<0$.
Propriétés
- Elle conserve l'alignement, le parallélisme, les angles.
- Les longueurs sont multipliées par $|k|$ : si $|k|>1$ c'est un agrandissement, si $|k|<1$ une réduction.
- L'image d'une droite est une droite parallèle.
Théorème — aires et volumes
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ : les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^2$, les volumes par $k^3$.
Exemple
On réduit une pyramide de volume $270\ \text{cm}^3$ avec un rapport $\dfrac13$ : le volume devient $270\times\dfrac{1}{27} = 10\ \text{cm}^3$.
Questions fréquentes sur ce chapitre
Qu'est-ce qu'une homothétie ?
Une transformation de centre $O$ et de rapport $k$ qui envoie $M$ sur $M'$ tel que $OM' = |k|\times OM$, sur la droite $(OM)$ ; du même côté si $k>0$, de l'autre côté si $k<0$.
Comment évoluent les aires dans un agrandissement de rapport k ?
Les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$.
Quel est le lien entre homothétie et théorème de Thalès ?
Dans la configuration de Thalès, le triangle $AMN$ est l'image de $ABC$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac{AM}{AB}$.
Une homothétie conserve-t-elle les angles ?
Oui : elle conserve les angles, l'alignement et le parallélisme, mais pas les longueurs (sauf si $k = \pm1$).