Arithmétique et décomposition en facteurs premiers : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF.

Le corrigé des exercices de maths en 3ème sur l’arithmétique et la décomposition en facteurs premiers. Savoir poser une division euclidienne et la notion de diviseur e multiple, rendre une fraction irréductible.

Exercice 1 :

Les trois divisions euclidiennes ci-dessous sont exactes.

Division euclidienne

1.Uniquement 23 est un diviseur de 368 car le reste est nul.

2.Le plus petit multiple de 15 supérieur à 368 est 25×15=375.

3. Le plus grand multiple de 14 inférieur à 368 est 26×14= 364.

Exercice 2 :

Division euclidienne.

Les divisions euclidienne correspondante sont :

  • 475= 16 x 29 +11;
  • 9 957 = 23 x 432 + 21;
  • 456 = 41 x 11 +5;
  • 781 = 27 x 28 + 25;
  • 935 = 17 x 55 + 0

Exercice 3 :

Un centre aéré accueillant 131 enfants organise une journée « Sport Co » avec du basket, du hand-ball, du football et du rugby.

Pour chaque sport, combien peut-on constituer d’équipes?

Combien d’enfants seront sans équipe ?

sport-co

131=32×4+3.

On peut construire 32 équipes et 3 enfants seront sans équipe.

Exercice 4 :

Ecrire la liste des diviseurs des nombres suivants : 16; 20; 36; 90; 59; 33.

Diviseurs de 16 :1,2,4,8,16.

Diviseurs de 20 :1,2,4,5,10,20.

Diviseurs de 59 :1,59.

Exercice 5 :

Compléter le tableau ci-dessous.

Diviseurs et arithmétique.

Exercice 6 :

1.Démontrer que la somme de deux entiers positifs consécutifs et impairs est un multiple de 4.

Soit n=2k+1 (avec k un nombre entier positif) un nombre impair positif alors l’entier positif impair consécutif est n’=2k+3.

n+n’=2k+1+2k+3=4k+4=4(k+1)=4K  avec K=k+1 donc la somme de deux entiers consécutifs et impairs est un multiple de 4.

2.Démontrer qu’un multiple de 8 est également un multiple de 4.

Soit n=8k (avec k un entier positif) un multiple de 8  alors n=4x(2k)=4K avec K=2k donc n est aussi un multiple de 4.

Exercice 7 :

paquet-billes Nori souhaite faire des paquets de billes, en répartissant intégralement ses 90 billes rouges et 150 billes noires.Le contenu de chaque paquet doit être identique.

Combien de paquets pourra-t-il réaliser?

Trouver les différentes possibilités.

Peut-il y avoir 9 paquets? 30 paquets?

Il ne peut pas il y avoir 9 paquets car 150 n’est pas divisible par 9.

Il peut y avoir 30 paquets car 150 et 90 sont divisibles par 30.

Donner la liste des diviseurs de 90 puis de 150.

Diviseurs de 90 :1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90

Diviseurs de 150 :1,2,3,5,6,10,15,25,30,50,75,150

Quelles sont les différentes possibilités pour le nombre de paquets ?

Les possibilités sont 1,2,3,5,6,10,15,30.

Exercice 8 :

Donner la liste de tous les nombres premiers inférieurs à 50.

La liste est 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Exercice 9 :

Utiliser les égalités ci-dessous pour écrire les décompositions en facteurs premiers

des nombres proposés.

a.36=4\times  \,9=2^2\times  \,3^2

b.18375=3\times  \,125\times  \,49=3\times  \,5^3\times  \,7^2

c.3872=32\times  \,121=2^5\times  \,11^2

d.1183=91\times  \,13

e.214375=625\times  \,343=5^4\times  \,7^3

Exercice 10 :

Ecrire la décomposition en facteurs premiers des nombres entiers suivants :

180=2^2\times  \,3^2\times  \,5

63=3^2\times  \,7

1225=5^2\times  \,7^2

3672=2^3\times  \,3^3\times  \,17

416=2^5\times  \,13

24000=2^6\times  \,3\times  \,5^3

Exercice 11 :

Trouver le nombre recherché.

chercher-nombre

Les solutions sont 101; 113; 137 et 149.

Exercice 12 :

Utiliser les décompositions en facteurs premiers pour rendre ces fractions irréductibles.

504=2^3\times  \,3^2\times  \,7;13500=2^2\times  \,3^3\times  \,5^3\\4400=2^4\times  \,5^2\times  \,11;11466=2\times  \,3^2\times  \,7^2\times  \,13

Rendre irréductibles les fractions suivantes :  \frac{504}{4400};\frac{504}{11466};\frac{13500}{504}.

\frac{504}{4400}=\frac{63}{550};\frac{504}{11466}=\frac{4}{91};\frac{13500}{504}=\frac{375}{14};

Exercice 13 :

Rendre irréductible les fractions suivantes : \frac{8800}{1638};\frac{64}{4400};\frac{1260}{1638};\frac{1638}{810}.

\frac{8800}{1638}=\frac{4400}{819};\frac{64}{4400}=\frac{4}{275};\frac{1260}{1638}=\frac{10}{13};\frac{1638}{810}=\frac{91}{45};

Exercice 14 :

je possède plus de 400 cd mais moins de 450. Que je les groupe par 2, par 3 , par 4 ou par 5, c’est toujours la même chose: il en reste un tout seul.
Combien Nori a-t-il de cd ?

Nous cherchons un nombre impair et qui se termine par 1.

Il y a 421 cd.

Exercice 15 :

1.    Calculer le PGCD de 110 et de 88.

PGCD( 110 ; 88 ) = 22

2.  Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur.

Il a reçu la consigne suivante :

«  Découper dans ces plaques des carrés, tous identiques, les plus grands possibles,

de façon à ne pas avoir de perte . »

Quelle sera la longueur du côté du carré ?

La longueur du côté du carré sera 22 cm

3. Combien obtiendra-t-on de carrés par plaque ?

110:22=5  et 88:22=4

5×4=20

Il y aura 20 carrés.

Exercice 16 :

1. Calculer le PGCD de 114 400 et 60 775.

PGCD( 114400 ; 60775 ) = 3575

2. > Expliquer comment, sans utiliser la touche « fraction » d’une calculatrice, rendre irréductible la fraction

         en divisant par le pgcd (114 400; 60 775)

3. Donner l’écriture simplifiée de

\frac{60775}{114400}= \frac{60775:3575}{114400:3575}=\frac{17}{32}       .

Exercice 17 :

Soient les nombres  A = \frac{117}{63} et B = –  \frac{8}{7} .

1. Expliquer pourquoi la fraction A n’est pas irréductible.

117 et 63 sont divisibles par 3 donc leur pgcd est différent de 1 donc la fraction est réductible.

2. Simplifier cette fraction pour la rendre irréductible.

PGCD( 117 ; 63 ) = 9

\frac{117}{63}= \frac{117:9}{63:9}=\frac{13}{7}

3. Montrer, en indiquant les étapes de calcul, que A – B est un nombre entier.

A-B=\frac{13}{7}-(-\frac{8}{7})=\frac{13}{7}+\frac{8}{7}=\frac{21}{7}=3

donc A-B est bien un nombre entier.

Exercice 18 :

1. Démontrer que les nombres 65 et 42 sont premiers entre eux.

PGCD( 65 ; 42 ) = 1 donc ces deux entiers sont bien premiers entre eux.

2. Démontrer que  \frac{520}{336} =  \frac{65}{42}.

PGCD( 520 ; 336 ) = 8

\frac{520}{336}=\frac{520:8}{336:8}=\frac{65}{42}

Exercice 19 :

1.   Déterminer le PGCD de 108 et 135.

PGCD( 135 ; 108 ) = 27

2.   Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires.

Il veut faire des paquets de sorte que :

  • tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges ;
  • tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires ;
  • toutes les billes rouges et les billes noires soient utilisées.

a. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ?
Il pourra réaliser au maximum 27 paquets.
b. Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ?
108:27=4 billes rouges

135:27=5 billes noires.

Exercice 20 :

1. Calculer le PGCD de 1 756 et 1 317 (on détaillera les calculs nécessaires).

PGCD( 1756 ; 1317 ) = 439

2. Un fleuriste a reçu 1 756 roses blanches et 1 317 roses rouges.

Il désire réaliser des bouquets identiques

(c’est à dire comprenant un même nombre de roses et la même

répartition entre les roses blanches et les rouges) en utilisant toutes les fleurs.
a.  Quel sera le nombre maximum de bouquets identiques ? Justifier clairement la réponse.

Il pourra créer au maximum 439 bouquets identiques.

b.  Quel sera alors la composition de chaque bouquet ?
1756:439=4 roses blanches.
1317:439=3 roses noires.

Exercices 21 à 43 ...

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