Les maths en L2 marquent un net changement de rythme : voici 22 chapitres de cours, d’exercices et de corrigés en PDF, pensés pour les semestres 3 et 4. Chaque fiche part des acquis de première année et les pousse plus loin. Vous y trouverez les définitions, les théorèmes et des exemples traités. Les solutions, elles, montrent la rédaction attendue lors d’un examen universitaire.
Les deux semestres de la deuxième année de licence
Comme en première année, aucun programme national ne détaille les contenus. Les universités s’appuient sur le référentiel de la mention et sur des maquettes proches les unes des autres. Le plan proposé ici suit ces contenus communs. Selon votre faculté, un chapitre peut changer de semestre, mais l’essentiel reste identique.
Le semestre 3 approfondit d’abord l’analyse réelle. La complétude, les séries numériques et les intégrales généralisées occupent les premières semaines. Côté algèbre, la réduction des endomorphismes apparaît : valeurs propres, diagonalisation, trigonalisation. Les premières structures algébriques se construisent à partir de Z/nZ et des groupes. En outre, la topologie de R^n ouvre la voie aux fonctions de plusieurs variables. Enfin, les probabilités discrètes généralisent le cadre fini.
Le semestre 4 est souvent jugé le plus dense du cycle. D’une part, l’analyse fonctionnelle commence avec les suites et séries de fonctions, les séries entières, les séries de Fourier et les intégrales à paramètre. D’autre part, l’algèbre bilinéaire introduit les espaces euclidiens, le théorème spectral et les formes quadratiques. S’y ajoutent les intégrales multiples, la géométrie affine et les variables aléatoires à densité.
Les chapitres ci-dessous sont regroupés par semestre, dans l’ordre le plus fréquent. Pour chacun, le cours précise les notions exigibles et les savoir-faire travaillés en TD. Vous pouvez ainsi préparer une séance ou rattraper un cours manqué sans perdre le fil.
Qu’est-ce qui change en maths en L2 par rapport à la première année ? Les notions deviennent abstraites et s’emboîtent. Une série entière mobilise la convergence uniforme. Le théorème spectral, lui, suppose une algèbre linéaire solide. Dès lors, une lacune de première année se paie vite. Heureusement, chaque chapitre rappelle ses prérequis, ce qui permet de combler un manque avant d’avancer. Les solutions détaillées jouent ici un rôle de filet de sécurité.
Les chapitres, un par un
Arithmétique
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Arithmétique et anneau Z/nZ
relation d'équivalence et ensemble quotient, congruences modulo n, construction de Z/nZ, opérations, éléments inversibles de Z/nZ, Z/pZ est un corps si p est premier
Algèbre et algèbre linéaire
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Valeurs propres et diagonalisation
sous-espaces stables par un endomorphisme, valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres, somme directe des sous-espaces propres, spectre d'une matrice, polynôme caractéristique
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Polynômes d'endomorphismes et trigonalisation
polynômes d'endomorphismes et de matrices, polynômes annulateurs, polynôme minimal, lemme des noyaux, théorème de Cayley-Hamilton
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Groupes, sous-groupes et morphismes
loi de composition interne, groupe, sous-groupes, sous-groupe engendré, morphismes de groupes, noyau et image, ordre d'un élément, groupes monogènes et cycliques
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Produit scalaire et espaces euclidiens
formes bilinéaires symétriques, produit scalaire, norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, théorème de Pythagore, familles et bases orthonormées, procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt
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Isométries, endomorphismes symétriques et théorème spectral
adjoint d'un endomorphisme, isométries vectorielles, groupe orthogonal, matrices orthogonales, classification des isométries du plan et de l'espace, rotations et réflexions
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Formes quadratiques, coniques et quadriques
formes bilinéaires, matrice dans une base, formes quadratiques, forme polaire, matrices congruentes, orthogonalité relative à une forme, cône isotrope, réduction de Gauss
Analyse
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Séries numériques à termes positifs
série numérique, sommes partielles, somme, reste, condition nécessaire de convergence, divergence grossière, série géométrique, séries télescopiques, séries à termes positifs et sommes partielles majorées, théorèmes de comparaison et d'équivalence
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Séries à termes quelconques
suites de Cauchy et complétude de R, critère de Cauchy pour les séries, convergence absolue, séries semi-convergentes, critère spécial des séries alternées, majoration du reste
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Intégrales généralisées
intégrale sur un intervalle non borné ou d'une fonction non bornée, convergence d'une intégrale généralisée, critère de Cauchy, fonctions positives : comparaison et équivalence, intégrales de Riemann
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Suites et séries de fonctions
convergence simple d'une suite de fonctions, convergence uniforme, norme infinie, critère de Cauchy uniforme, continuité de la limite uniforme, intégration et dérivation terme à terme
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Séries entières
lemme d'Abel, rayon de convergence, disque de convergence, règle de d'Alembert pour le rayon, opérations sur les séries entières, convergence normale sur tout compact du disque
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Intégrales dépendant d'un paramètre
continuité d'une intégrale à paramètre sur un segment, dérivation sous le signe intégrale sur un segment, hypothèse de domination, continuité sur un intervalle quelconque, dérivation sous le signe intégrale généralisée
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Séries de Fourier
fonctions périodiques continues par morceaux, polynômes trigonométriques, coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques, produit scalaire et orthogonalité des exponentielles, inégalité de Bessel
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Intégrales multiples et intégrales curvilignes
intégrale double sur un rectangle, sommes de Riemann, théorème de Fubini, intégrale double sur un domaine élémentaire, changement de variables, jacobien, coordonnées polaires, cylindriques et sphériques
Topologie
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Normes et topologie de R^n
normes sur R^n, normes 1, 2 et infini, distance associée, boules et sphères, parties bornées, suites de R^n, convergence, équivalence des normes en dimension finie
Calcul différentiel
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Plusieurs variables : limites et dérivées partielles
fonctions de R^n dans R^p, lignes de niveau, limite et continuité en plusieurs variables, fonctions lipschitziennes, image continue d'un compact, bornes atteintes, dérivées directionnelles
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Différentiabilité, formule de Taylor et extrema
différentiabilité, différentielle, matrice jacobienne, C^1 implique différentiable, inégalité des accroissements finis, dérivées partielles d'ordre 2, théorème de Schwarz
Probabilités
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Espaces probabilisés et conditionnement
univers, événements, tribu (approche élémentaire), probabilité, propriétés, univers dénombrable, continuité croissante et décroissante, probabilité conditionnelle, formule des probabilités totales
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Variables aléatoires discrètes
variable aléatoire discrète, loi, fonction de répartition, lois uniforme, de Bernoulli, binomiale, hypergéométrique, lois géométrique et de Poisson, espérance, théorème de transfert, linéarité, variance, écart type, covariance
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Variables aléatoires à densité
fonction de répartition d'une variable réelle, variable à densité, densité de probabilité, lois uniforme, exponentielle, normale, espérance et variance d'une variable à densité, théorème de transfert
Géométrie
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Géométrie affine
espaces affines, direction, sous-espaces affines, parallélisme, intersection, repères cartésiens, équations d'hyperplans affines, barycentres, coordonnées barycentriques, applications affines, partie linéaire
Organiser son travail sur les fiches de deuxième année
Chaque chapitre s’étudie en trois temps. Lisez d’abord la leçon en repérant les hypothèses de chaque théorème. Puis traitez les exercices dans l’ordre, car la difficulté augmente. Pour finir, confrontez votre travail au corrigé, ligne par ligne. Notez en marge les étapes que vous n’auriez pas trouvées seul.
Un conseil utile à ce stade : construisez un répertoire de contre-exemples. Une suite de fonctions qui converge simplement sans converger uniformément, une matrice non diagonalisable, une intégrale semi-convergente : ces cas limites éclairent les théorèmes. Ils servent à tester un énoncé avant de l’appliquer. De même, tenez une liste des critères de convergence et de leurs conditions d’usage. Cette liste deviendra votre aide-mémoire le plus précieux.
Travaillez enfin les calculs types jusqu’à l’automatisme : rayon de convergence, coefficients de Fourier, jacobien d’un changement de variables. Ces calculs reviennent dans presque tous les sujets. Les maîtriser libère du temps pour les questions de réflexion.
Réussir les examens de deuxième année
Les examens terminaux comptent souvent davantage qu’en L1. Prévoyez donc des révisions espacées : un chapitre revu trois fois sur un mois vaut mieux qu’une nuit blanche. Refaites les exercices ratés sans aide, puis chronométrez-vous sur les annales fournies par votre université. Si possible, révisez à deux et interrogez-vous mutuellement sur les énoncés du cours.
À l’écrit, la justification des interversions fait la différence : limite et intégrale, somme et dérivée. Citez le théorème utilisé et vérifiez chaque hypothèse. Par ailleurs, un calcul juste mais mal présenté perd des points. Autrement dit, soignez la présentation autant que le fond. Gardez enfin dix minutes pour relire votre copie, en particulier les signes et les bornes.
En cas de difficulté persistante, n’attendez pas les examens. Les enseignants tiennent des permanences, et le tutorat étudiant existe dans la plupart des universités. Demander de l’aide tôt reste la meilleure stratégie. Surtout, gardez en tête que les maths en L2 se construisent dans la durée. Chaque semaine régulière compte davantage que les derniers jours de révision.
Passerelles avec la prépa et orientation
Le contenu de L2 recoupe fortement celui de la MP, en particulier la réduction, les séries entières et l’algèbre euclidienne. Des étudiants de classe préparatoire rejoignent d’ailleurs l’université à ce stade. Les leçons de maths spé proposées ici apportent un complément exigeant si vous visez un parcours renforcé.
La fin de l’année est aussi un moment d’orientation. Vous pouvez poursuivre en L3 de mathématiques fondamentales, choisir un parcours appliqué ou enseignement, ou encore rejoindre une école d’ingénieurs sur dossier. Certains magistères recrutent également après la deuxième année. Quel que soit votre choix, un bon niveau en maths en L2 pèse lourd dans les dossiers de candidature. Une réflexion précoce sur votre projet vous permettra de choisir vos options de L3 en connaissance de cause.
Questions fréquentes
La deuxième année de licence est-elle plus difficile que la première ?
Pour beaucoup d’étudiants, oui, surtout au semestre 4. Les notions deviennent plus abstraites et s’appuient les unes sur les autres. Une L1 bien assimilée rend toutefois la transition tout à fait gérable.
Quels chapitres de première année faut-il maîtriser avant d'entrer en L2 ?
Les suites, les développements limités et l’intégrale de Riemann sont essentiels pour l’analyse. L’algèbre linéaire, avec les bases et les matrices, prépare la réduction. Revoyez-les pendant l’été si vous avez un doute.
Peut-on intégrer une école d'ingénieurs après une L2 ?
Oui, de nombreuses écoles proposent des admissions parallèles sur titre. La sélection repose sur le dossier, parfois complété par un entretien ou des épreuves écrites. Les résultats en mathématiques y jouent un rôle central.
Comment réviser efficacement les séries de fonctions ?
Commencez par bien distinguer convergence simple, uniforme et normale. Apprenez les théorèmes de continuité et de dérivation terme à terme avec leurs hypothèses. Entraînez-vous ensuite sur des exemples variés, avec les solutions détaillées.
Un étudiant de prépa peut-il rejoindre la licence en cours de route ?
Oui, les crédits ECTS de prépa permettent une équivalence. Après une première année de MPSI, l’entrée se fait souvent en L2. Après la MP, elle se fait généralement en L3.
