Formes quadratiques : exercices de maths en L2 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Matrice d’une forme bilinéaire

Sur \(\mathbb{R}^3\), on considère l’application \(b\) définie, pour \(x = (x_1, x_2, x_3)\) et \(y = (y_1, y_2, y_3)\), par

\[b(x, y) = x_1 y_1 + 2 x_1 y_2 + x_1 y_3 – x_2 y_1 + 3 x_2 y_2 + x_3 y_1 – 2 x_3 y_3.\]

1. Justifier que \(b\) est une forme bilinéaire et écrire sa matrice \(A\) dans la base canonique. La forme \(b\) est-elle symétrique ?
2. Écrire la forme quadratique \(q(x) = b(x, x)\) et sa matrice \(S\) dans la base canonique. Vérifier que \(S = \frac{1}{2}(A + A^{T})\).
3. On pose \(e^{\prime}_1 = (1, 1, 0)\), \(e^{\prime}_2 = (0, 1, 1)\) et \(e^{\prime}_3 = (1, 0, 1)\). Vérifier que c’est une base, puis calculer la matrice de \(q\) dans cette base.

Exercice 2 : Forme polaire et vecteur isotrope

Sur \(\mathbb{R}^3\), soit \(q(x, y, z) = x^2 + 3y^2 – z^2 + 4xy – 2xz + 6yz\).

1. Écrire la matrice \(A\) de \(q\) dans la base canonique, puis sa forme polaire \(b\).
2. Calculer \(q(1, 1, 1)\), puis \(b\big((1, 0, 0), (0, 1, 0)\big)\) de deux façons : avec la matrice, puis avec l’identité de polarisation.
3. Montrer que \(u = (1, -1, 0)\) est un vecteur isotrope non nul. Est-il dans le noyau de \(q\) ?
4. Réduire \(q\) par la méthode de Gauss et en déduire sa signature.

Exercice 3 : Matrices congruentes et semblables

1. Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 1 \\ 1 2 \end{pmatrix}\). Réduire la forme \(q(x, y) = 2x^2 + 2xy + 2y^2\) par la méthode de Gauss. En déduire une matrice inversible \(P\) telle que \(P^{T} A P = I_2\).
2. Montrer que \(I_2\) et \(\mathrm{diag}(1, -1)\) ne sont pas congruentes.
3. Montrer que \(\begin{pmatrix} 0 1 \\ 1 0 \end{pmatrix}\) est congruente à \(\mathrm{diag}(1, -1)\) en exhibant une matrice de passage.
4. Montrer que \(\mathrm{diag}(1, 4)\) est congruente à \(I_2\) sans lui être semblable.

Exercice 4 : Réductions de Gauss avec carrés

1. Réduire \(q_1(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy + 2xz\). Donner son rang et sa signature.
2. Réduire \(q_2(x, y, z) = x^2 + 2y^2 – z^2 + 2xy + 4yz\). Donner son rang et sa signature.
3. Déterminer une base \(q_2\)-orthogonale de \(\mathbb{R}^3\) et la matrice de \(q_2\) dans cette base.

Exercice 5 : Réduction de Gauss sans carré

1. Réduire \(q(x, y, z) = xy + yz + zx\) par la méthode de Gauss. En déduire son rang et sa signature.
2. Vérifier le résultat en calculant les valeurs propres de la matrice de \(q\).
3. Sur \(\mathbb{R}^4\), réduire \(Q(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1 x_2 + x_3 x_4\) et donner sa signature.
4. Trouver un plan de \(\mathbb{R}^4\) formé de vecteurs isotropes pour \(Q\).

Exercice 6 : Rang et signature selon un paramètre

1. Soit \(q(x, y) = a x^2 + 2bxy + c y^2\) avec \(a \neq 0\). Écrire la réduction de Gauss de \(q\) et discuter sa signature selon le signe de \(a\) et celui de \(ac – b^2\).
2. Pour \(\alpha \in \mathbb{R}\), on pose \(q_\alpha(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + \alpha z^2 + 2xy + 2yz\). Réduire \(q_\alpha\) par la méthode de Gauss.
3. Donner le rang et la signature de \(q_\alpha\) selon \(\alpha\). Pour quelles valeurs \(q_\alpha\) est-elle définie positive ?

Exercice 7 : Cône isotrope

1. Déterminer le cône isotrope de \(q(x, y) = x^2 – 4xy + 3y^2\) sur \(\mathbb{R}^2\). Est-ce un sous-espace vectoriel ? Préciser le signe de \(q\) dans chaque région du plan.
2. Déterminer le noyau de \(q\). Comparer avec le cône isotrope.
3. Soit \(q\) une forme quadratique définie sur \(\mathbb{R}^n\), c’est-à-dire telle que \(C(q) = \{0\}\). Montrer que \(q\) est positive ou négative. On pourra raisonner par l’absurde avec \(u, v\) tels que \(q(u) > 0 > q(v)\) et étudier \(t \mapsto q((1 – t)u + tv)\).

Exercice 8 : Orthogonal d’un sous-espace

Sur \(\mathbb{R}^3\), soit \(q(x, y, z) = x^2 + y^2 – z^2\), de forme polaire \(b\).

1. Soit \(F = \mathrm{Vect}(u)\) avec \(u = (1, 0, 1)\). Déterminer \(F^{\perp}\). A-t-on \(\mathbb{R}^3 = F \oplus F^{\perp}\) ?
2. Soit \(G = \mathrm{Vect}(w)\) avec \(w = (0, 0, 1)\). Déterminer \(G^{\perp}\) et montrer que \(\mathbb{R}^3 = G \oplus G^{\perp}\).
3. Vérifier sur ces deux exemples que \(\dim F^{\perp} = 3 – \dim F\).
4. Soit maintenant \(q^{\prime}(x, y, z) = x^2 – y^2\). Déterminer \(\ker q^{\prime}\), puis l’orthogonal de \(H = \mathrm{Vect}\big((0, 0, 1)\big)\) pour \(q^{\prime}\). Que devient la formule sur les dimensions ?

Exercice 9 : Classes de congruence

1. Les matrices \(\begin{pmatrix} 1 2 \\ 2 1 \end{pmatrix}\) et \(\mathrm{diag}(1, -1)\) sont-elles congruentes ? Même question pour \(\begin{pmatrix} 2 1 \\ 1 2 \end{pmatrix}\) et \(\mathrm{diag}(1, -1)\).
2. Montrer que \(J = \begin{pmatrix} 0 1 1 \\ 1 0 1 \\ 1 1 0 \end{pmatrix}\) est congruente à \(\mathrm{diag}(1, -1, -1)\).
3. Combien y a-t-il de classes de congruence dans l’ensemble des matrices symétriques réelles de taille \(3\) ? Et de taille \(n\) ?

Exercice 10 : Une forme quadratique sur les polynômes

Sur \(E = \mathbb{R}_2[X]\), on pose \(q(P) = P(0)\, P(1)\).

1. Montrer que \(q\) est une forme quadratique et donner sa forme polaire.
2. Écrire la matrice de \(q\) dans la base \((1, X, X^2)\).
3. Déterminer le rang, la signature et le noyau de \(q\). Interpréter le noyau.
4. Décrire le cône isotrope de \(q\).

Exercice 11 : La forme trace sur les matrices

Sur \(E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), avec \(n \geq\, 2\), on pose \(q(M) = \mathrm{tr}(M^2)\).

1. Montrer que \(q\) est une forme quadratique de forme polaire \(b(M, N) = \mathrm{tr}(MN)\).
2. Pour \(S\) symétrique, montrer que \(q(S) = \sum_{i, j} s_{ij}^2\). Pour \(A\) antisymétrique, montrer que \(q(A) = -\sum_{i, j} a_{ij}^2\).
3. Montrer que les sous-espaces \(\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\) et \(\mathcal{A}_n(\mathbb{R})\) sont \(q\)-orthogonaux.
4. En déduire la signature et le rang de \(q\).
5. Déterminer de même le rang et la signature de \(q^{\prime}(M) = (\mathrm{tr}\, M)^2\).

Exercice 12 : Réduction en base orthonormée

Sur \(\mathbb{R}^3\) euclidien usuel, soit \(q(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2yz + 2zx\).

1. Écrire la matrice \(A\) de \(q\) et déterminer ses valeurs propres.
2. Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres, puis l’expression de \(q\) dans cette base.
3. En déduire la signature de \(q\), puis le maximum et le minimum de \(q\) sur la sphère unité.
4. Réduire aussi \(q\) par la méthode de Gauss et comparer les coefficients obtenus.

Exercice 13 : Nature de six coniques

Le plan est muni d’un repère orthonormé. Déterminer le genre, puis la nature exacte, de chacune des coniques suivantes.

1. \(x^2 + xy + y^2 = 3\).
2. \(x^2 + 4xy + y^2 = 1\).
3. \(x^2 – 2xy + y^2 + x + y = 0\).
4. \(x^2 + y^2 + 2x – 4y + 5 = 0\).
5. \(x^2 – y^2 + 2x + 1 = 0\).
6. \(x^2 + 2y^2 + 1 = 0\).

Exercice 14 : Réduction d’une ellipse

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la conique \(\mathcal{C}\) d’équation \(5x^2 – 6xy + 5y^2 = 8\).

1. Écrire la matrice de la partie quadratique et la diagonaliser dans une base orthonormée directe.
2. Écrire l’équation réduite de \(\mathcal{C}\) et donner sa nature.
3. Donner les longueurs des demi-axes, les sommets et les foyers de \(\mathcal{C}\) dans le repère initial.
4. Calculer l’aire du domaine limité par \(\mathcal{C}\), sachant que l’ellipse de demi-axes \(\alpha, \beta\) limite une aire \(\pi \alpha \beta\).

Exercice 15 : Réduction d’une parabole

Dans un repère orthonormé, soit \(\mathcal{P}\) la conique d’équation \(x^2 – 2xy + y^2 – 8x – 8y = 0\).

1. Déterminer le genre de \(\mathcal{P}\).
2. À l’aide de la base orthonormée \(u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)\), \(u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1, 1)\), écrire l’équation réduite de \(\mathcal{P}\).
3. Donner le sommet, l’axe, le paramètre, le foyer et la directrice de \(\mathcal{P}\) dans le repère initial.
4. Vérifier directement que tout point de \(\mathcal{P}\) est à égale distance du foyer et de la directrice.

Exercice 16 : Une hyperbole équilatère

Dans un repère orthonormé, soit \(\mathcal{H}\) la conique d’équation \(xy + x – y = 3\).

1. Montrer que l’équation s’écrit \((x – 1)(y + 1) = 2\). En déduire le centre \(\Omega\) de \(\mathcal{H}\) et ses asymptotes.
2. Par une rotation d’angle \(\frac{\pi}{4}\) autour de \(\Omega\), écrire l’équation réduite de \(\mathcal{H}\).
3. Donner les sommets, les foyers et l’excentricité \(e = c/a\) de \(\mathcal{H}\) dans le repère initial.

Exercice 17 : Une famille de coniques

Pour \(\lambda \in \mathbb{R}\), on note \(\mathcal{C}_\lambda\) la courbe d’équation \(x^2 + 2\lambda xy + y^2 = 1\) dans un repère orthonormé.

1. Déterminer les valeurs propres et des vecteurs propres de la matrice de la partie quadratique.
2. Discuter la nature de \(\mathcal{C}_\lambda\) selon \(\lambda\).
3. Pour \(|\lambda| < 1\), donner les demi-axes de \(\mathcal{C}_\lambda\). Pour quelle valeur est-ce un cercle ?
4. Pour \(|\lambda| > 1\), donner les asymptotes de \(\mathcal{C}_\lambda\) dans les coordonnées réduites.

Exercice 18 : Reconnaître des quadriques

On considère les cinq surfaces de l’espace d’équations

(1) \(x^2 + 4y^2 + z^2 = 4\) ; (2) \(x^2 – y^2 – z^2 = 1\) ; (3) \(y^2 + z^2 = x\) ; (4) \(x^2 + y^2 – z^2 = 1\) ; (5) \(x^2 + y^2 = 4\).

Les surfaces sont dessinées ci-dessous, dans le désordre, sous les lettres A à E.

1. Donner le nom de chaque surface et l’associer à sa figure.
2. Pour les surfaces (2) et (4), décrire les sections par les plans \(x = k\) et \(z = k\), selon \(k\).
3. Pour chacune des cinq surfaces, donner la signature de la forme quadratique formée par les termes de degré \(2\).

Exercice 19 : Un ellipsoïde de révolution

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère la quadrique \(\mathcal{Q}\) d’équation

\[7x^2 + 7y^2 + 10z^2 – 2xy – 4xz + 4yz = 12.\]

1. Écrire la matrice \(A\) de la partie quadratique. Vérifier que \((-1, 1, 2)\) est vecteur propre de \(A\).
2. Déterminer les valeurs propres de \(A\) et une base orthonormée directe de vecteurs propres.
3. Écrire l’équation réduite de \(\mathcal{Q}\) et donner sa nature. Préciser son axe de révolution.

Exercice 20 : Deux quadriques non centrées

1. Réduire l’équation \(x^2 + 2y^2 – z^2 – 2x + 8y + 2z + 7 = 0\). Donner la nature de la surface et son centre.
2. On considère la surface \(\Sigma\) d’équation \(z = xy\), représentée ci-dessous. À l’aide du changement de base orthonormée \(u = \frac{x + y}{\sqrt{2}}\), \(v = \frac{-x + y}{\sqrt{2}}\), réduire son équation et donner sa nature.
3. Montrer que, pour tout réel \(a\), la droite \(\{x = a,\ z = ay\}\) est contenue dans \(\Sigma\).

Exercice 21 : Critère de positivité

Pour \(a \in \mathbb{R}\), on pose \(q_a(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + 2a(xy + yz + zx)\).

1. Calculer \(q_a(1, 1, 1)\) et \(q_a(1, -1, 0)\). En déduire que \(q_a\) n’est pas définie positive si \(a \leq\, -\frac{1}{2}\) ou \(a \geq\, 1\).
2. On suppose \(-\frac{1}{2} < a < 1\). Réduire \(q_a\) par la méthode de Gauss et montrer que \(q_a\) est définie positive.
3. Retrouver ce résultat à l’aide des valeurs propres de la matrice de \(q_a\).

Exercice 22 : Problème : une famille de quadriques

On garde les notations de l’exercice précédent et l’on étudie, dans un repère orthonormé de l’espace, la quadrique \(\mathcal{Q}_a\) d’équation \(q_a(x, y, z) = 1\).

1. Soit \(A_a\) la matrice de \(q_a\). Montrer que \(A_a = (1 – a) I_3 + a J\), où \(J\) est la matrice dont tous les coefficients valent \(1\).
2. Déterminer les valeurs propres de \(J\), puis celles de \(A_a\), avec des espaces propres.
3. Construire une base orthonormée directe \((u_1, u_2, u_3)\) de vecteurs propres, avec \(u_1\) colinéaire à \((1, 1, 1)\), et écrire l’équation de \(\mathcal{Q}_a\) dans cette base.
4. Discuter la nature de \(\mathcal{Q}_a\) selon \(a\). Justifier que toutes ces surfaces admettent la droite \(\mathbb{R}(1, 1, 1)\) comme axe de révolution.
5. Pour \(-\frac{1}{2} < a < 1\), donner les demi-axes de l’ellipsoïde. Pour quelle valeur de \(a\) est-ce une sphère ?
6. Pour \(a = 2\), déterminer les points de \(\mathcal{Q}_a\) les plus proches de l’origine.

Exercice 23 : Signature et sous-espaces positifs

Soit \(q\) une forme quadratique de signature \((s, t)\) sur un espace \(E\) de dimension \(n\).

1. Montrer qu’il existe un sous-espace de dimension \(s\) sur lequel la restriction de \(q\) est définie positive.
2. Montrer que tout sous-espace \(F\) sur lequel \(q\) est définie positive vérifie \(\dim F \leq\, s\). En déduire que \(s\) est la plus grande dimension d’un tel sous-espace.
3. Application : pour \(Q(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1 x_2 + x_3 x_4\) sur \(\mathbb{R}^4\), trouver un plan sur lequel \(Q\) est définie positive. Montrer qu’aucun sous-espace de dimension \(3\) ne convient.
4. Montrer que tout sous-espace de dimension \(n – s + 1\) contient un vecteur \(x\) tel que \(q(x) > 0\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L2

• Le cours : formes quadratiques, cours de maths en L2
• À maîtriser avant : Isométries, endomorphismes symétriques et théorème spectral
• Chapitre précédent : Séries de Fourier
• Chapitre suivant : Intégrales multiples et intégrales curvilignes
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L2 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L2 et la licence de maths de L1 à L3