Intégrales multiples : cours de maths en L2 en PDF.

On note \(R_{ij} = [x_{i-1}, x_i] \times [y_{j-1}, y_j]\) et on choisit un point \(\xi_{ij} \in R_{ij}\) dans chaque pavé. La somme de Riemann associée est \[S = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} f(\xi_{ij})\,(x_i – x_{i-1})(y_j – y_{j-1}).\] Le pas du découpage est la plus grande longueur des côtés des pavés.

Si \(f\) est continue sur \(R\), les sommes de Riemann convergent vers une limite réelle lorsque le pas tend vers \(0\), quel que soit le choix des points \(\xi_{ij}\). Cette limite est l’intégrale double de \(f\) sur \(R\), notée \[\iint_R f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.\]

Pour \(f\) et \(g\) continues sur \(R\) et \(\lambda\) réel :

• linéarité : \(\iint_R (f + \lambda g) = \iint_R f + \lambda \iint_R g\) ;
• positivité : si \(f \geq\, 0\), alors \(\iint_R f \geq\, 0\) ; donc si \(f \leq\, g\), alors \(\iint_R f \leq\, \iint_R g\) ;
• inégalité triangulaire : \(|\iint_R f| \leq\, \iint_R |f| \leq\, \sup_R |f| \cdot (b-a)(d-c)\).

Théorème de Fubini. Si \(f\) est continue sur \(R = [a,b] \times [c,d]\), alors \[\iint_R f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_a^b ( \int_c^d f(x,y)\,\mathrm{d}y ) \mathrm{d}x = \int_c^d ( \int_a^b f(x,y)\,\mathrm{d}x ) \mathrm{d}y.\]

D’abord, la fonction \(F : x \mapsto \int_c^d f(x,y)\,\mathrm{d}y\) est continue sur \([a,b]\) : c’est le théorème de continuité des intégrales à paramètre, puisque \(f\) est continue sur un compact. Prenons ensuite des subdivisions régulières de pas \(h = (b-a)/n\) et \(k = (d-c)/n\), et les points \(\xi_{ij} = (x_i, y_j)\). Pour \(i\) fixé, \(\sum_j f(x_i, y_j)\,k\) est une somme de Riemann de \(y \mapsto f(x_i,y)\). Par uniforme continuité de \(f\), l’écart avec \(F(x_i)\) est majoré par un \(\varepsilon_n\) indépendant de \(i\), qui tend vers \(0\). Donc la somme double diffère de \(\sum_i F(x_i)\,h\) d’au plus \((b-a)\varepsilon_n\). Enfin, \(\sum_i F(x_i)\,h\) tend vers \(\int_a^b F\). Par symétrie des rôles, on obtient aussi l’autre ordre.

Sur \(R = [0,1] \times [0,2]\), on calcule \[\iint_R (x^2 + xy)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_0^1 [ x^2 y + \frac{x y^2}{2} ]_{y=0}^{y=2} \mathrm{d}x = \int_0^1 (2x^2 + 2x)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}.\] Par ailleurs, lorsque \(f(x,y) = g(x)h(y)\), l’intégrale se factorise : \(\iint_R g(x)h(y) = (\int_a^b g)(\int_c^d h)\).

L’hypothèse de continuité sur le rectangle fermé compte. Par exemple, pour \(f(x,y) = \dfrac{x^2 – y^2}{(x^2+y^2)^2}\) sur \(]0,1]^2\), fonction non bornée au voisinage de l’origine, les deux intégrales itérées valent \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(-\dfrac{\pi}{4}\). Elles sont donc différentes.

Un domaine élémentaire de type 1 est une partie de la forme \[D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : a \leq\, x \leq\, b,\ \varphi_1(x) \leq\, y \leq\, \varphi_2(x)\},\] où \(\varphi_1 \leq\, \varphi_2\) sont continues sur \([a,b]\). Un domaine de type 2 s’obtient en échangeant les rôles de \(x\) et \(y\) : \(c \leq\, y \leq\, d\) et \(\psi_1(y) \leq\, x \leq\, \psi_2(y)\).

Fubini sur un domaine élémentaire. Si \(D\) est de type 1 et \(f\) continue sur \(D\), alors \[\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_a^b ( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,\mathrm{d}y ) \mathrm{d}x.\] En particulier, l’aire de \(D\) vaut \(\mathcal{A}(D) = \iint_D 1 = \int_a^b (\varphi_2(x) – \varphi_1(x))\,\mathrm{d}x\).

Pour calculer \(\iint_D f\) :

1. dessinez le domaine et repérez les courbes qui le limitent ;
2. choisissez l’ordre d’intégration : à \(x\) fixé, lisez sur le dessin les bornes de \(y\), puis les valeurs extrêmes de \(x\) ;
3. calculez l’intégrale intérieure, puis l’intégrale extérieure.

Si l’intégrale intérieure n’a pas de primitive explicite, échangez l’ordre : le domaine est souvent aussi de type 2.

Soit \(T\) le triangle de sommets \((0,0)\), \((1,0)\) et \((0,1)\). À \(x \in [0,1]\) fixé, \(y\) varie de \(0\) à \(1 – x\). Donc \[\iint_T x\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_0^1 x(1-x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.\] Comme l’aire de \(T\) vaut \(\frac{1}{2}\), l’abscisse moyenne d’un point de \(T\) vaut \(\frac{1}{3}\).

L’intégrale est additive par rapport au domaine : si \(D = D_1 \cup D_2\), où \(D_1\) et \(D_2\) sont élémentaires et ne se rencontrent que sur leur bord, alors \(\iint_D f = \iint_{D_1} f + \iint_{D_2} f\). On découpe ainsi un domaine compliqué en morceaux élémentaires.

Soit \(\Phi : (u,v) \mapsto (x(u,v), y(u,v))\) de classe \(C^1\). Son jacobien est le déterminant \[J_\Phi(u,v) = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}.\] On dit que \(\Phi\) est un \(C^1\)-difféomorphisme d’un ouvert \(U\) sur un ouvert \(V\) si \(\Phi\) est bijective, de classe \(C^1\), et si sa réciproque est aussi de classe \(C^1\).

Formule du changement de variables. Soit \(\Phi\) un \(C^1\)-difféomorphisme de l’intérieur d’un domaine \(\Delta\) sur l’intérieur d’un domaine \(D\), qui envoie \(\Delta\) sur \(D\). Pour \(f\) continue sur \(D\), \[\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \iint_\Delta f(\Phi(u,v))\,|J_\Phi(u,v)|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.\]

Changement affine : on pose \(u = x + y\) et \(v = x – y\), donc \(x = \frac{u+v}{2}\) et \(y = \frac{u-v}{2}\). Le jacobien vaut \(\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) – \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\). Ainsi, \(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\). Le carré \([0,2]^2\) du plan \((u,v)\) correspond au losange de sommets \((0,0)\), \((1,1)\), \((2,0)\), \((1,-1)\), dont l’aire vaut donc \(\frac{1}{2} \times 4 = 2\).

Si \(D\) est l’image par \(\Phi\) d’un domaine \(\Delta\) contenu dans \([0, +\infty[ \times [\alpha, \alpha + 2\pi]\), alors \[\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \iint_\Delta f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.\]

L’application \(\Phi\) n’est pas injective sur la frontière de \(\Delta\) : tous les points \((0,\theta)\) ont la même image. Cependant, le théorème ne demande l’injectivité qu’à l’intérieur. Les parties perdues (un segment, une demi-droite) sont d’aire nulle et ne modifient pas l’intégrale.

Passez en polaires quand le domaine ou la fonction fait intervenir \(x^2 + y^2\). Décrivez alors le domaine par des inégalités sur \(r\) et \(\theta\), sans oublier le facteur \(r\). Par exemple, le disque \(x^2 + y^2 \leq\, 2x\) devient \(r \leq\, 2\cos\theta\) avec \(\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\).

Sur le disque \(D_R\) de centre \(O\) et de rayon \(R\), \[\iint_{D_R} e^{-(x^2+y^2)}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi} \!\! \int_0^R e^{-r^2}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = 2\pi [ -\frac{e^{-r^2}}{2} ]_0^R = \pi(1 – e^{-R^2}).\] Ce calcul, sans primitive en cartésiennes, mène à l’intégrale de Gauss \(\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,\mathrm{d}t = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\).

Soit \(V = \{(x,y,z) : (x,y) \in D,\ g_1(x,y) \leq\, z \leq\, g_2(x,y)\}\), où \(D\) est un domaine élémentaire du plan et \(g_1 \leq\, g_2\) sont continues. Pour \(f\) continue sur \(V\) :

• intégration par piles : \(\iiint_V f = \iint_D ( \int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,\mathrm{d}z ) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\) ;
• intégration par tranches : si \(V\) est compris entre les plans \(z = e\) et \(z = g\), et si \(V_z\) désigne sa section à la hauteur \(z\), alors \(\iiint_V f = \int_e^g ( \iint_{V_z} f(x,y,z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y ) \mathrm{d}z\).

Le volume d’un domaine \(V\) de \(\mathbb{R}^3\) est \(\mathrm{Vol}(V) = \iiint_V 1\). Si \(f \geq\, 0\) est continue sur \(D\), le volume du solide \(\{(x,y) \in D,\ 0 \leq\, z \leq\, f(x,y)\}\) vaut \(\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\). Le centre de gravité d’un solide homogène a pour coordonnées les moyennes \(\,\overline{x} = \frac{1}{\mathrm{Vol}(V)} \iiint_V x\), et de même pour \(\,\overline{y}\) et \(\,\overline{z}\).

Par tranches, le volume d’un cône de hauteur \(h\) et de base un disque de rayon \(R\) se calcule vite. À la hauteur \(z \in [0,h]\), mesurée depuis la base, la section est un disque de rayon \(R(1 – \frac{z}{h})\). Donc \[\mathrm{Vol} = \int_0^h \pi R^2 (1 – \frac{z}{h})^2 \mathrm{d}z = \pi R^2 \cdot \frac{h}{3} = \frac{\pi R^2 h}{3}.\]

Les coordonnées sphériques \(x = r\sin\varphi\cos\theta\), \(y = r\sin\varphi\sin\theta\), \(z = r\cos\varphi\), avec \(r \geq\, 0\), \(\varphi \in [0,\pi]\) et \(\theta \in [0, 2\pi]\), ont pour jacobien \(r^2 \sin\varphi\). Ainsi, \[\iiint_V f\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = \iiint_\Delta f(r\sin\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta, r\cos\varphi)\,r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta.\]

Le volume de la boule de rayon \(R\) vaut \[\int_0^{2\pi} \!\! \int_0^\pi \!\! \int_0^R r^2 \sin\varphi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^3}{3} = \frac{4}{3}\pi R^3.\] On retrouve la formule connue depuis le collège, cette fois démontrée.

Un arc paramétré de classe \(C^1\) est une application \(\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^2\), \(t \mapsto (x(t), y(t))\), de classe \(C^1\). Il est fermé si \(\gamma(a) = \gamma(b)\). On l’appelle aussi chemin. Plus généralement, un arc est de classe \(C^1\) par morceaux s’il est continu et \(C^1\) sur chaque intervalle d’une subdivision de \([a,b]\).

La longueur de l’arc \(\gamma\) de classe \(C^1\) est \[L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma^{\prime}(t)\|\,\mathrm{d}t = \int_a^b \sqrt{x^{\prime}(t)^2 + y^{\prime}(t)^2}\,\mathrm{d}t.\] Pour le graphe de \(g\) de classe \(C^1\) sur \([a,b]\), on obtient \(L = \int_a^b \sqrt{1 + g^{\prime}(x)^2}\,\mathrm{d}x\).

La longueur ne dépend pas du paramétrage. Si \(\theta : [c,d] \to [a,b]\) est une bijection de classe \(C^1\), alors \(L(\gamma \circ \theta) = L(\gamma)\).

Supposons \(\theta\) croissante ; le cas décroissant est analogue. Par la règle de dérivation composée, \(\|(\gamma \circ \theta)^{\prime}(s)\| = \|\gamma^{\prime}(\theta(s))\|\,\theta^{\prime}(s)\). Le changement de variable \(t = \theta(s)\) donne alors \(\int_c^d \|\gamma^{\prime}(\theta(s))\|\,\theta^{\prime}(s)\,\mathrm{d}s = \int_a^b \|\gamma^{\prime}(t)\|\,\mathrm{d}t\).

Le cercle \(\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)\), \(t \in [0, 2\pi]\), vérifie \(\|\gamma^{\prime}(t)\| = R\). Sa longueur vaut donc \(2\pi R\). De même, pour l’arche de cycloïde \(\gamma(t) = (t – \sin t, 1 – \cos t)\), on trouve \(\|\gamma^{\prime}(t)\| = 2\sin\frac{t}{2}\) sur \([0, 2\pi]\), d’où une longueur égale à \(8\).

Une forme différentielle de degré 1 sur \(U\) s’écrit \(\omega = P(x,y)\,\mathrm{d}x + Q(x,y)\,\mathrm{d}y\), où \(P\) et \(Q\) sont continues sur \(U\). Si \(\gamma : [a,b] \to U\) est un arc \(C^1\) par morceaux, l’intégrale curviligne de \(\omega\) le long de \(\gamma\) est \[\int_\gamma \omega = \int_a^b \Big( P(x(t),y(t))\,x^{\prime}(t) + Q(x(t),y(t))\,y^{\prime}(t) \Big)\,\mathrm{d}t.\]

Soit \(\omega = y\,\mathrm{d}x – x\,\mathrm{d}y\) et \(\gamma(t) = (t, t^2)\) pour \(t \in [0,1]\). Alors \[\int_\gamma \omega = \int_0^1 ( t^2 \cdot 1 – t \cdot 2t ) \mathrm{d}t = \int_0^1 (-t^2)\,\mathrm{d}t = -\frac{1}{3}.\] Le long du segment \(t \mapsto (t,t)\), qui a les mêmes extrémités, on trouve \(0\). L’intégrale dépend donc du chemin.

La forme \(\omega\) est exacte sur \(U\) s’il existe \(F\) de classe \(C^1\) sur \(U\) telle que \(\omega = \mathrm{d}F\), c’est-à-dire \(P = \dfrac{\partial F}{\partial x}\) et \(Q = \dfrac{\partial F}{\partial y}\). On dit que \(F\) est un potentiel de \(\omega\). Si \(P\) et \(Q\) sont de classe \(C^1\), la forme est fermée lorsque \(\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}\) sur \(U\).

Si \(\omega = \mathrm{d}F\) est exacte et si \(\gamma\) joint \(A = \gamma(a)\) à \(B = \gamma(b)\), alors \(\int_\gamma \omega = F(B) – F(A)\). En particulier, l’intégrale d’une forme exacte le long d’un chemin fermé est nulle. De plus, une forme exacte de classe \(C^1\) est fermée.

La fonction \(t \mapsto F(\gamma(t))\) est \(C^1\) par morceaux. Par la règle de la chaîne, sa dérivée vaut \(\partial_x F\,x^{\prime} + \partial_y F\,y^{\prime} = P\,x^{\prime} + Q\,y^{\prime}\). Ainsi, l’intégrale curviligne est l’intégrale d’une dérivée : elle vaut \(F(\gamma(b)) – F(\gamma(a))\). Enfin, si \(F\) est de classe \(C^2\), le théorème de Schwarz donne \(\partial_y P = \partial_y \partial_x F = \partial_x \partial_y F = \partial_x Q\).

Théorème de Poincaré. Sur un ouvert étoilé (par exemple convexe, comme \(\mathbb{R}^2\), un disque ou un demi-plan), toute forme fermée de classe \(C^1\) est exacte.

Pour trouver un potentiel de \(\omega = P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y\) :

1. vérifiez que \(\partial_y P = \partial_x Q\) et que l’ouvert est étoilé ;
2. intégrez \(P\) par rapport à \(x\) : \(F(x,y) = \int P\,\mathrm{d}x + c(y)\) ;
3. dérivez par rapport à \(y\) et identifiez avec \(Q\) pour trouver \(c^{\prime}(y)\), puis \(c\).

Par exemple, \(\omega = (2xy + 3)\,\mathrm{d}x + (x^2 + 4y)\,\mathrm{d}y\) admet le potentiel \(F = x^2 y + 3x + 2y^2\).

Sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\), qui n’est pas étoilé, la forme \(\omega = \dfrac{-y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y}{x^2 + y^2}\) est fermée. Pourtant, son intégrale sur le cercle unité parcouru une fois vaut \(2\pi\). Elle n’est donc pas exacte.

Formule de Green-Riemann. Soit \(D\) un domaine compact du plan dont le bord \(\partial D\) est une courbe fermée \(C^1\) par morceaux, orientée dans le sens direct. Si \(P\) et \(Q\) sont de classe \(C^1\) sur un ouvert contenant \(D\), alors \[\oint_{\partial D} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_D ( \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} ) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.\]

Nous la faisons pour un domaine \(D = \{a \leq\, x \leq\, b,\ \varphi_1(x) \leq\, y \leq\, \varphi_2(x)\}\) de type 1, et pour le terme en \(P\). Par Fubini, \[\iint_D \frac{\partial P}{\partial y} = \int_a^b \Big( P(x, \varphi_2(x)) – P(x, \varphi_1(x)) \Big)\,\mathrm{d}x.\] Le bord se compose de quatre morceaux. Sur les deux segments verticaux, \(x\) est constant, donc \(\mathrm{d}x = 0\). Le graphe du bas, \(t \mapsto (t, \varphi_1(t))\), est parcouru de \(a\) vers \(b\) ; il donne \(\int_a^b P(t, \varphi_1(t))\,\mathrm{d}t\). Celui du haut est parcouru de \(b\) vers \(a\) ; il donne \(-\int_a^b P(t, \varphi_2(t))\,\mathrm{d}t\). Donc \(\oint_{\partial D} P\,\mathrm{d}x = -\iint_D \partial_y P\). De même, si \(D\) est aussi de type 2, on obtient \(\oint_{\partial D} Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \partial_x Q\). On additionne pour conclure. Le cas général s’obtient en découpant \(D\) en morceaux élémentaires : les bords intérieurs sont parcourus deux fois en sens opposés et se compensent.

L’aire d’un tel domaine s’exprime par une intégrale curviligne : \[\mathcal{A}(D) = \oint_{\partial D} x\,\mathrm{d}y = -\oint_{\partial D} y\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \oint_{\partial D} (x\,\mathrm{d}y – y\,\mathrm{d}x).\]

L’ellipse \(t \mapsto (a\cos t, b\sin t)\), \(t \in [0, 2\pi]\), est parcourue dans le sens direct. Ainsi, \[\mathcal{A} = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} ( a\cos t \cdot b\cos t + b\sin t \cdot a\sin t ) \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \cdot 2\pi ab = \pi ab.\]

Pour appliquer la formule de Green-Riemann, vérifiez trois points : \(P\) et \(Q\) sont \(C^1\) sur tout le domaine, y compris à l’intérieur ; le bord est bien fermé ; il est orienté dans le sens direct. Si une singularité se trouve dans \(D\), entourez-la d’un petit cercle et appliquez la formule au domaine troué.