Séries de Fourier : exercices de maths en L2 corrigés en PDF.

Dans toute la fiche, \(\mathcal{D}\) désigne l’espace des fonctions \(2\pi\)-périodiques continues par morceaux de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\). Pour \(f \in \mathcal{D}\), on note \(c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)e^{-int}\,dt\), \(a_n(f) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\cos nt\,dt\), \(b_n(f) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin nt\,dt\) et \(S_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)e^{inx}\).

Exercice 1 : Orthogonalité des exponentielles

1. Pour \(n, m \in \mathbb{Z}\), calculez \(\int_{-\pi}^{\pi} e^{int}\,\overline{e^{imt}}\,dt\).
2. En déduire, pour \(n, m \geq\, 1\), les valeurs de \(\int_{-\pi}^{\pi}\cos nt\cos mt\,dt\), \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin nt\sin mt\,dt\) et \(\int_{-\pi}^{\pi}\cos nt\sin mt\,dt\).
3. Soit \(P(x) = 3 + 2\cos x – 4\sin 2x + \cos 5x\). Calculez \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} P(t)^2\,dt\) sans développer le carré.

Exercice 2 : Coefficients d’un polynôme trigonométrique

1. Linéarisez \(\sin^3 x\) et \(\cos^4 x\) à l’aide des formules d’Euler.
2. Donnez tous les coefficients de Fourier exponentiels \(c_n\) de \(f(x) = \sin^3 x\) et de \(g(x) = \cos^4 x\).
3. En déduire \(\int_{-\pi}^{\pi}\cos^4 t\,dt\), puis \(\int_{-\pi}^{\pi}\cos^8 t\,dt\) à l’aide de la formule de Parseval appliquée à \(g\).

Exercice 3 : Parité et liens entre coefficients

Soit \(f \in \mathcal{D}\).

1. Montrez que \(c_0 = \frac{a_0}{2}\) et que, pour \(n \geq\, 1\), \(c_n = \frac{a_n – ib_n}{2}\) et \(c_{-n} = \frac{a_n + ib_n}{2}\).
2. Montrez que si \(f\) est à valeurs réelles, alors \(c_{-n} = \overline{c_n}\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\).
3. Montrez que si \(f\) est paire, alors \(b_n = 0\) et \(a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(t)\cos nt\,dt\). Énoncez et justifiez le résultat analogue pour \(f\) impaire.
4. Soit \(h(x) = f(-x)\) et \(g(x) = f(x + \pi)\). Exprimez \(c_n(h)\) et \(c_n(g)\) en fonction des coefficients de \(f\).
5. On suppose que \(f(x + \pi) = -f(x)\) pour tout réel \(x\). Montrez que \(c_n(f) = 0\) pour tout \(n\) pair.

Exercice 4 : Coefficients d’un signal créneau

Soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique définie par \(f(x) = 1\) sur \(]0, \pi[\), \(f(x) = -1\) sur \(]-\pi, 0[\) et \(f(0) = f(\pi) = 0\). Son graphe est représenté ci-dessous.

1. Justifiez que \(f\) est impaire et de classe \(C^1\) par morceaux.
2. Calculez \(a_n(f)\) et \(b_n(f)\) pour tout \(n\).
3. Écrivez la somme partielle \(S_{2p+1}(f)\) sous forme réelle.
4. Déduisez-en les coefficients exponentiels \(c_n(f)\), pour \(n \in \mathbb{Z}\).

Exercice 5 : Coefficients de la valeur absolue

Soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique telle que \(f(x) = |x|\) pour \(x \in [-\pi, \pi]\).

1. Montrez que \(f\) est paire, continue sur \(\mathbb{R}\) et de classe \(C^1\) par morceaux.
2. Calculez \(a_0(f)\), puis \(a_n(f)\) pour \(n \geq\, 1\). Que valent les \(b_n(f)\) ?
3. Écrivez la série de Fourier de \(f\). Quel théorème du cours assure qu’elle converge normalement vers \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ?

Exercice 6 : Créneau : Dirichlet et Parseval

On reprend le créneau \(f\) de l’exercice 4.

1. Appliquez le théorème de Dirichlet en \(x = \frac{\pi}{2}\) et déduisez-en \(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}\).
2. Que donne le théorème de Dirichlet en \(x = 0\) ? Le résultat est-il cohérent ?
3. À l’aide de la formule de Parseval, calculez \(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}\).
4. En séparant les termes pairs et impairs, déduisez-en \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\).
5. La série de Fourier de \(f\) converge-t-elle uniformément sur \(\mathbb{R}\) ? Justifiez.

Exercice 7 : Valeur absolue et somme des inverses des carrés impairs

On reprend la fonction \(f\) de l’exercice 5.

1. En évaluant la série de Fourier en \(x = 0\), calculez \(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}\).
2. Avec la formule de Parseval, calculez \(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}\), puis \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}\).
3. Montrez que, pour tout \(p \in \mathbb{N}\) et tout réel \(x\), \(|f(x) – S_{2p+1}(f)(x)| \leq\, \frac{2}{\pi(2p+1)}\). On pourra comparer la somme d’une série à une intégrale.
4. Déterminez un entier \(p\) qui garantit une erreur uniforme au plus \(10^{-2}\).

Exercice 8 : Fonction en dents de scie

Soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique définie par \(f(x) = x\) sur \(]-\pi, \pi[\) et \(f(\pi) = 0\).

1. Calculez directement \(c_n(f)\) pour \(n \in \mathbb{Z}\), puis retrouvez \(a_n(f)\) et \(b_n(f)\).
2. Appliquez le théorème de Dirichlet : donnez la somme de la série de Fourier en tout point de \(\mathbb{R}\).
3. Retrouvez la valeur de \(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}\).
4. Appliquez la formule de Parseval et déduisez-en \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\).
5. La série \(\sum |b_n(f)|\) converge-t-elle ? Commentez au regard du cours.

Exercice 9 : Développement de x² et somme des 1/n⁴

Soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique telle que \(f(x) = x^2\) pour \(x \in [-\pi, \pi]\).

1. Calculez les coefficients de Fourier trigonométriques de \(f\).
2. Justifiez que la série de Fourier converge normalement vers \(f\) et écrivez l’égalité obtenue sur \([-\pi, \pi]\).
3. En choisissant deux valeurs de \(x\), calculez \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\) et \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\).
4. Calculez \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}\) par la formule de Parseval.
5. En intégrant terme à terme l’égalité de la question 2 entre \(0\) et \(x\), montrez que pour tout \(x \in [-\pi, \pi]\) : \(x^3 – \pi^2 x = 12\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n\sin nx}{n^3}\).

Exercice 10 : Somme de la série des sin(nx)/n

Soit \(g\) la fonction \(2\pi\)-périodique définie par \(g(x) = \frac{\pi – x}{2}\) pour \(x \in \,]0, 2\pi[\) et \(g(0) = 0\).

1. Montrez que \(g\) est impaire et de classe \(C^1\) par morceaux.
2. Calculez \(b_n(g)\) pour \(n \geq\, 1\).
3. En déduire, pour tout \(x \in \,]0, 2\pi[\), la somme \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin nx}{n}\). Que vaut cette série en \(x = 0\) ?
4. Calculez \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{3}\).
5. Soit \(f\) la dent de scie de l’exercice 8. Vérifiez que \(g(x) = \frac{1}{2}f(\pi – x)\) pour tout réel \(x\) et retrouvez \(b_n(g)\) à partir des coefficients de \(f\).

Exercice 11 : Période quelconque : une parabole de période 2

Soit \(f\) la fonction \(2\)-périodique telle que \(f(x) = 1 – x^2\) pour \(x \in [-1, 1]\), représentée ci-dessous. On pose \(\omega = \pi\), \(a_n(f) = \int_{-1}^{1} f(t)\cos(n\pi t)\,dt\) et \(b_n(f) = \int_{-1}^{1} f(t)\sin(n\pi t)\,dt\).

1. Calculez \(a_0(f)\) et \(a_n(f)\) pour \(n \geq\, 1\). Que valent les \(b_n(f)\) ?
2. Justifiez que, pour tout réel \(x\), \(f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n\cos(n\pi x)\).
3. Déduisez-en \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\) et \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\).
4. La formule de Parseval s’écrit ici \(\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} f(t)^2\,dt = \frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2 + b_n^2)\). Retrouvez \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}\).

Exercice 12 : Valeur absolue du sinus

Soit \(f(x) = |\sin x|\), vue comme une fonction \(2\pi\)-périodique. Son graphe figure ci-dessous.

1. Montrez que \(f\) est paire, continue, de classe \(C^1\) par morceaux et \(\pi\)-périodique.
2. Calculez \(a_n(f)\) pour tout \(n \geq\, 0\). On distinguera \(n\) pair et \(n\) impair.
3. Montrez que, pour tout réel \(x\), \(|\sin x| = \frac{2}{\pi} – \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\cos 2kx}{4k^2 – 1}\).
4. Calculez \(\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{4k^2 – 1}\) de deux façons, puis \(\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{4k^2 – 1}\).
5. Calculez \(\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{(4k^2 – 1)^2}\).

Exercice 13 : Inégalité de Bessel et coefficients impossibles

1. Écrivez l’inégalité de Bessel à l’aide des coefficients \(a_n\) et \(b_n\) d’une fonction \(f \in \mathcal{D}\) à valeurs réelles.
2. Montrez qu’il n’existe aucune fonction \(f \in \mathcal{D}\) telle que \(b_n(f) = \frac{1}{\sqrt{n}}\) pour tout \(n \geq\, 1\).
3. Même question avec \(b_n(f) = \frac{1}{\ln(n+1)}\).
4. Soit \(f \in \mathcal{D}\). Montrez que \(\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\sin^2(nt)\,dt \to \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,dt\) quand \(n \to +\infty\).
5. Soit \(f\) continue et de classe \(C^1\) par morceaux, \(2\pi\)-périodique. Montrez que \(n\,c_n(f) \to 0\) quand \(|n| \to +\infty\).

Exercice 14 : Meilleure approximation en moyenne quadratique

Pour \((a, b) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(I(a, b) = \int_{-\pi}^{\pi}\big(t – a\sin t – b\sin 2t\big)^2\,dt\).

1. Interprétez \(I(a, b)\) comme le carré d’une distance à un sous-espace, pour une forme que l’on précisera.
2. Déterminez le couple \((a, b)\) qui minimise \(I\), ainsi que la valeur du minimum.
3. Plus généralement, pour \(N \geq\, 1\), calculez \(m_N = \min_P \int_{-\pi}^{\pi}\big(t – P(t)\big)^2\,dt\), où \(P\) parcourt les polynômes trigonométriques réels de degré au plus \(N\).
4. Montrez que \(m_N \to 0\) et retrouvez ainsi une somme classique.

Exercice 15 : Noyau de Dirichlet

Pour \(N \in \mathbb{N}\), on pose \(D_N(t) = \sum_{k=-N}^{N} e^{ikt}\).

1. Montrez que \(D_N(t) = \frac{\sin((N + \frac{1}{2})t)}{\sin(t/2)}\) pour \(t \notin 2\pi\mathbb{Z}\), et que \(D_N(0) = 2N + 1\).
2. Calculez \(\int_{-\pi}^{\pi} D_N(t)\,dt\) et \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_N(t)^2\,dt\).
3. Montrez que pour \(f \in \mathcal{D}\) et \(x \in \mathbb{R}\), \(S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x – u)D_N(u)\,du\).
4. Montrez que \(\int_0^{\pi}|D_N(t)|\,dt \geq\, \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k}\). Qu’en déduisez-vous quand \(N \to +\infty\) ?

Exercice 16 : Une fraction rationnelle en cosinus

Soit \(f(x) = \frac{1}{5 – 4\cos x}\), définie et \(2\pi\)-périodique sur \(\mathbb{R}\).

1. Montrez que, pour tout réel \(x\), \(\sum_{n=-\infty}^{+\infty} 2^{-|n|}e^{inx} = \frac{3}{5 – 4\cos x}\), la série convergeant normalement.
2. Déduisez-en \(c_n(f)\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\).
3. Calculez \(\int_0^{2\pi}\frac{\cos nx}{5 – 4\cos x}\,dx\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
4. Calculez \(\int_0^{2\pi}\frac{dx}{(5 – 4\cos x)^2}\) grâce à la formule de Parseval.

Exercice 17 : Équation différentielle périodique sans résonance

Soit \(f\) la fonction de l’exercice 9 (\(x^2\) périodisée). On cherche les fonctions \(y\) de classe \(C^2\), \(2\pi\)-périodiques, telles que \(y^{\prime\prime} + 2y = f\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Soit \(y\) une telle solution. Montrez que \(c_n(y^{\prime\prime}) = -n^2c_n(y)\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\).
2. Déterminez les coefficients de Fourier de \(y\) et montrez qu’il existe au plus une solution.
3. Montrez que la série obtenue définit une fonction de classe \(C^2\) solution du problème.
4. Retrouvez l’unicité en montrant qu’aucune solution non nulle de \(y^{\prime\prime} + 2y = 0\) n’est \(2\pi\)-périodique.

Exercice 18 : Équation différentielle et résonance

Soit \(f(x) = |\sin x|\), dont les coefficients ont été calculés à l’exercice 12. Pour \(\lambda \in \mathbb{R}\), on considère l’équation \((E_\lambda) : y^{\prime\prime} + \lambda y = f\).

1. Montrez que \((E_4)\) n’admet aucune solution \(2\pi\)-périodique.
2. Montrez que toutes les solutions de \((E_9)\) sont \(2\pi\)-périodiques et donnez-les sous forme de séries.
3. Déterminez l’ensemble des réels \(\lambda\) pour lesquels \((E_\lambda)\) admet au moins une solution \(2\pi\)-périodique.

Exercice 19 : Exponentielle et somme des 1/(n² + a²)

Soit \(a > 0\) et \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique telle que \(f(x) = e^{ax}\) pour \(x \in [-\pi, \pi[\).

1. Montrez que \(c_n(f) = \frac{(-1)^n\operatorname{sh}(a\pi)}{\pi(a – in)}\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\).
2. Appliquez le théorème de Dirichlet en \(x = \pi\) et déduisez-en \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2 + a^2} = \frac{\pi\operatorname{coth}(a\pi)}{2a} – \frac{1}{2a^2}\).
3. Vérifiez que la formule de Parseval redonne le même résultat.
4. En faisant tendre \(a\) vers \(0\), retrouvez \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\). Justifiez le passage à la limite.

Exercice 20 : Convergence normale pour une fonction C¹ par morceaux

Soit \(f\) une fonction \(2\pi\)-périodique, continue et de classe \(C^1\) par morceaux. On note \(\|g\|_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|g|^2\).

1. Démontrez que \(c_n(f^{\prime}) = in\,c_n(f)\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\).
2. Montrez que \(\sum_{n \neq 0}|c_n(f)| \leq\, \frac{\pi}{\sqrt{3}}\|f^{\prime}\|_2\).
3. Montrez que, pour tout \(N \geq\, 1\), \(\sup_{x \in \mathbb{R}}|f(x) – S_N(f)(x)| \leq\, \sqrt{\frac{2}{N}}\,\|f^{\prime}\|_2\).
4. Appliquez ce résultat à la fonction de l’exercice 5 et comparez avec la majoration de l’exercice 7.
5. Expliquez pourquoi l’hypothèse de continuité ne peut pas être supprimée.

Exercice 21 : Inégalité de Wirtinger

1. Soit \(f\) une fonction \(2\pi\)-périodique à valeurs réelles, continue et de classe \(C^1\) par morceaux, telle que \(\int_0^{2\pi} f(t)\,dt = 0\). Montrez que \(\int_0^{2\pi} f(t)^2\,dt \leq\, \int_0^{2\pi} f^{\prime}(t)^2\,dt\).
2. Déterminez les fonctions de la question 1 pour lesquelles l’égalité a lieu.
3. Soit \(g\) de classe \(C^1\) sur \([0, \pi]\), à valeurs réelles, avec \(g(0) = g(\pi) = 0\). En prolongeant \(g\) convenablement, montrez que \(\int_0^{\pi} g(t)^2\,dt \leq\, \int_0^{\pi} g^{\prime}(t)^2\,dt\).
4. Vérifiez cette dernière inégalité pour \(g(t) = t(\pi – t)\).

Exercice 22 : Problème : valeurs de ζ(6) et d’une série alternée

Soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique et impaire telle que \(f(x) = x(\pi – x)\) pour \(x \in [0, \pi]\). Son graphe est tracé ci-dessous.

1. Justifiez que \(f\) est bien définie, continue sur \(\mathbb{R}\) et de classe \(C^1\) par morceaux.
2. Montrez que \(b_n(f) = \frac{8}{\pi n^3}\) si \(n\) est impair et \(b_n(f) = 0\) si \(n\) est pair.
3. Justifiez l’égalité \(f(x) = \frac{8}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\sin((2k+1)x)}{(2k+1)^3}\) pour tout réel \(x\), avec convergence normale.
4. Calculez \(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}\).
5. Calculez \(\int_0^{\pi} t^2(\pi – t)^2\,dt\), puis \(\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^6}\).
6. Déduisez-en \(\zeta(6) = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^6}\).
7. Montrez que \(\sup_{x \in \mathbb{R}}|f(x) – \frac{8}{\pi}\sin x| \leq\, \frac{14}{27\pi}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L2

• Le cours : séries de Fourier, cours de maths en L2
• À maîtriser avant : Suites et séries de fonctions, Produit scalaire et espaces euclidiens
• Chapitre précédent : Isométries, endomorphismes symétriques et théorème spectral
• Chapitre suivant : Formes quadratiques, coniques et quadriques
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L2 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L2 et la licence de maths de L1 à L3