Séries à termes positifs : cours de maths en L2 en PDF.

Soit \((u_n)_{n \geq\, 0}\) une suite réelle. On appelle somme partielle d’indice \(n\) le réel \(S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k\). La série de terme général \(u_n\), notée \(\sum u_n\), est la suite \((S_n)\). On dit que la série converge si \((S_n)\) admet une limite finie \(S\). Ce réel s’appelle la somme de la série et se note \(S = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n\). Sinon, la série diverge.

Si \(\sum u_n\) converge, on appelle reste d’indice \(n\) le réel \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k = S – S_n\). Par conséquent, la suite \((R_n)\) tend vers \(0\).

Si la série \(\sum u_n\) converge, alors \(u_n \to 0\). Autrement dit, si \((u_n)\) ne tend pas vers \(0\), la série diverge : on parle de divergence grossière.

Pour \(n \geq\, 1\), on a \(u_n = S_n – S_{n-1}\). Si \(S_n \to S\), alors \(S_{n-1} \to S\) aussi. Donc \(u_n \to S – S = 0\).

La réciproque est fausse. Par exemple, \(\frac{1}{n} \to 0\), mais la série harmonique \(\sum \frac{1}{n}\) diverge. En effet, pour tout \(n \geq\, 1\),
\[H_{2n} – H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \geq\, n \times \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}.\]
Si \((H_n)\) convergeait vers \(H\), on aurait \(H_{2n} – H_n \to 0\), ce qui contredit cette minoration.

Soit \(q \in \mathbb{R}\). La série géométrique \(\sum q^n\) converge si et seulement si \(|q| < 1\). Dans ce cas,
\[\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1 – q} \quad \text{et} \quad R_n = \frac{q^{n+1}}{1 – q}.\]

Pour \(q \neq 1\), on a \(S_n = \frac{1 – q^{n+1}}{1 – q}\). Si \(|q| < 1\), alors \(q^{n+1} \to 0\), d’où la limite. Si \(|q| \geq\, 1\), le terme \(q^n\) ne tend pas vers \(0\), donc la série diverge grossièrement.

Soit \((a_n)\) une suite réelle. La série télescopique \(\sum (a_{n+1} – a_n)\) converge si et seulement si la suite \((a_n)\) converge. Dans ce cas, \(\sum_{n=0}^{+\infty} (a_{n+1} – a_n) = \lim a_n – a_0\).

Pour \(n \geq\, 1\), on a \(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\). Donc \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 – \frac{1}{n+1}\), et \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1\). À l’inverse, \(\sum \ln(1 + \frac{1}{n})\) diverge, car sa somme partielle vaut \(\ln(n+1)\).

Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs. Alors la suite \((S_n)\) est croissante. Par conséquent, la série converge si et seulement si \((S_n)\) est majorée. Dans ce cas, \(\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \sup_n S_n\). Sinon, \(S_n \to +\infty\).

On a \(S_{n+1} – S_n = u_{n+1} \geq\, 0\), donc \((S_n)\) est croissante. D’après le théorème de la limite monotone, une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée, et sa limite est alors sa borne supérieure. Enfin, une suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).

Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites telles que \(0 \leq\, u_n \leq\, v_n\) à partir d’un rang \(n_0\).

• Si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) converge.
• Si \(\sum u_n\) diverge, alors \(\sum v_n\) diverge.

Pour \(n \geq\, n_0\), on a \(\sum_{k=n_0}^{n} u_k \leq\, \sum_{k=n_0}^{n} v_k \leq\, \sum_{k=n_0}^{+\infty} v_k\). Ainsi, les sommes partielles de \(\sum u_n\) sont majorées. Le théorème fondamental donne la convergence. Le second point est la contraposée du premier.

Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites positives.

• Si \(u_n = O(v_n)\) (en particulier si \(u_n = o(v_n)\)) et si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) converge.
• Si \(u_n \sim v_n\), alors les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont de même nature.

Si \(u_n = O(v_n)\), il existe \(M > 0\) et un rang \(n_0\) tels que \(u_n \leq\, M v_n\) pour \(n \geq\, n_0\). Or \(\sum M v_n\) converge, donc la comparaison conclut. Si \(u_n \sim v_n\), alors \(\frac{1}{2} v_n \leq\, u_n \leq\, 2 v_n\) à partir d’un certain rang. On applique alors la comparaison dans les deux sens.

Le critère des équivalents exige un signe constant. Par exemple, \(\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) et \(\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}\) sont équivalents. Pourtant, la première série converge et la seconde diverge (ce résultat relève du chapitre suivant sur les séries alternées).

Pour déterminer la nature d’une série à termes positifs :

1. vérifiez d’abord que \(u_n \to 0\), sinon la série diverge grossièrement ;
2. cherchez un équivalent simple de \(u_n\) grâce aux équivalents usuels et aux développements limités ;
3. comparez cet équivalent à une série de référence : géométrique ou de Riemann ;
4. concluez en citant le théorème de comparaison utilisé et en vérifiant la positivité.

Considérons \(u_n = 1 – \cos(\frac{1}{n})\), qui est positif. D’abord, \(1 – \cos x \sim \frac{x^2}{2}\) quand \(x \to 0\). Donc \(u_n \sim \frac{1}{2n^2}\). Ensuite, la série \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge (voir la partie III). Par conséquent, \(\sum u_n\) converge.

Considérons \(u_n = \mathrm{e}^{-\sqrt{n}}\). Ici, aucun équivalent simple n’est utile. En revanche, par croissances comparées, \(n^2 \mathrm{e}^{-\sqrt{n}} = t^4 \mathrm{e}^{-t}\) avec \(t = \sqrt{n} \to +\infty\), donc ce produit tend vers \(0\). Autrement dit, \(u_n = o(\frac{1}{n^2})\). Comme \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge, la série \(\sum \mathrm{e}^{-\sqrt{n}}\) converge aussi. Retenez ce réflexe : multipliez \(u_n\) par \(n^{\alpha}\) et regardez la limite.

Soit \((u_n)\) une suite positive et soit \(\alpha \in \mathbb{R}\).

• S’il existe \(\alpha > 1\) tel que \(n^{\alpha} u_n \to 0\), alors \(\sum u_n\) converge.
• Si \(n u_n\) tend vers une limite \(\ell \in\, ]0, +\infty]\), alors \(\sum u_n\) diverge.

Soit \(f\) une fonction continue, positive et décroissante sur \([n_0, +\infty[\). Pour tout entier \(k \geq\, n_0 + 1\),
\[\int_{k}^{k+1} f(t)\,\mathrm{d}t \leq\, f(k) \leq\, \int_{k-1}^{k} f(t)\,\mathrm{d}t.\]

Pour \(t \in [k, k+1]\), la décroissance donne \(f(t) \leq\, f(k)\). On intègre sur un intervalle de longueur \(1\) : \(\int_k^{k+1} f \leq\, f(k)\). De même, pour \(t \in [k-1, k]\), on a \(f(k) \leq\, f(t)\), d’où la seconde inégalité.

Soit \(f\) continue, positive et décroissante sur \([n_0, +\infty[\). Alors la série \(\sum f(n)\) converge si et seulement si la suite \((\int_{n_0}^{n} f(t)\,\mathrm{d}t)_n\) est majorée, c’est-à-dire si et seulement si l’intégrale \(\int_{n_0}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t\) converge.

Posons \(F(n) = \int_{n_0}^{n} f\), suite croissante puisque \(f \geq\, 0\). En sommant le lemme de \(k = n_0 + 1\) à \(n\), on obtient
\[\int_{n_0+1}^{n+1} f(t)\,\mathrm{d}t \leq\, \sum_{k=n_0+1}^{n} f(k) \leq\, F(n).\]
Si \((F(n))\) est majorée, les sommes partielles le sont aussi : la série converge. Réciproquement, si la série converge, la minoration montre que \(F(n+1) – F(n_0 + 1)\) est majorée, donc \((F(n))\) aussi.

Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). La série de Riemann \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{n^{\alpha}}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\).

Si \(\alpha \leq\, 0\), le terme général ne tend pas vers \(0\) : la divergence est grossière. Si \(\alpha > 0\), la fonction \(t \mapsto t^{-\alpha}\) est continue, positive et décroissante sur \([1, +\infty[\). Pour \(\alpha \neq 1\), on a \(\int_1^n t^{-\alpha}\,\mathrm{d}t = \frac{n^{1-\alpha} – 1}{1 – \alpha}\). Cette quantité est bornée si \(\alpha > 1\) et tend vers \(+\infty\) si \(\alpha < 1\). Enfin, pour \(\alpha = 1\), on a \(\int_1^n \frac{\mathrm{d}t}{t} = \ln n \to +\infty\). Le théorème précédent conclut.

La valeur \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\) sera établie avec les séries de Fourier. Pour l’instant, seule la convergence compte. De même, les séries de Bertrand \(\sum \frac{1}{n^{\alpha} (\ln n)^{\beta}}\) s’étudient avec les mêmes outils (voir les exercices).

Pour encadrer \(S_n = \sum_{k=1}^{n} f(k)\) avec \(f\) décroissante :

1. écrivez le lemme d’encadrement pour un indice \(k\) quelconque ;
2. sommez-le en choisissant bien les bornes, et utilisez la relation de Chasles ;
3. calculez les intégrales obtenues ;
4. si les deux bornes sont équivalentes, déduisez-en un équivalent de \(S_n\).

Pour un reste \(R_n = \sum_{k \geq\, n+1} f(k)\) d’une série convergente, on somme de \(n+1\) à \(N\), puis on fait tendre \(N\) vers \(+\infty\).

Avec \(f(t) = \frac{1}{t}\), on somme de \(k = 1\) à \(n\) l’inégalité \(\int_k^{k+1} \frac{\mathrm{d}t}{t} \leq\, \frac{1}{k}\). On obtient \(\ln(n+1) \leq\, H_n\). De même, en sommant \(\frac{1}{k} \leq\, \int_{k-1}^{k} \frac{\mathrm{d}t}{t}\) de \(k = 2\) à \(n\), on obtient \(H_n \leq\, 1 + \ln n\). Ainsi,
\[\ln(n+1) \leq\, H_n \leq\, 1 + \ln n, \quad \text{donc} \quad H_n \sim \ln n.\]

Soit \((u_n)\) une suite de réels strictement positifs telle que \(\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell \in [0, +\infty]\).

• Si \(\ell < 1\), la série \(\sum u_n\) converge.
• Si \(\ell > 1\), la série \(\sum u_n\) diverge grossièrement.
• Si \(\ell = 1\), on ne peut pas conclure.

Supposons \(\ell < 1\) et posons \(q = \frac{1 + \ell}{2}\), de sorte que \(\ell < q < 1\). Il existe un rang \(n_0\) tel que \(u_{n+1} \leq\, q\,u_n\) pour \(n \geq\, n_0\). Par récurrence, \(u_n \leq\, u_{n_0} q^{n – n_0}\) pour \(n \geq\, n_0\). Or la série géométrique \(\sum q^n\) converge, donc \(\sum u_n\) converge par comparaison.

Supposons \(\ell > 1\). À partir d’un rang \(n_0\), on a \(u_{n+1} \geq\, u_n\). Ainsi, la suite \((u_n)\) est croissante à partir de \(n_0\) et reste supérieure à \(u_{n_0} > 0\). Elle ne tend donc pas vers \(0\).

Enfin, pour \(\ell = 1\), les séries \(\sum \frac{1}{n}\) et \(\sum \frac{1}{n^2}\) donnent toutes deux un rapport tendant vers \(1\). Pourtant, la première diverge et la seconde converge.

Pour \(u_n = \frac{n^2}{2^n}\), on a \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{n})^2 \to \frac{1}{2}\). La série converge. Plus précisément, pour \(n \geq\, 5\), ce rapport vaut au plus \(\frac{18}{25} < \frac{3}{4}\). Donc \(u_n \leq\, u_5 (\frac{3}{4})^{n-5}\).

Soit \((u_n)\) une suite strictement positive. On suppose qu’il existe \(q \in\, ]0, 1[\) et un rang \(n_0\) tels que \(u_{k+1} \leq\, q\,u_k\) pour tout \(k \geq\, n_0\). Alors, pour tout \(n \geq\, n_0\),
\[0 \leq\, R_n \leq\, \frac{u_{n+1}}{1 – q}.\]

Pour \(k \geq\, n+1\), une récurrence immédiate donne \(u_k \leq\, u_{n+1} q^{k-n-1}\). En sommant de \(k = n+1\) à \(N\), on obtient \(\sum_{k=n+1}^{N} u_k \leq\, u_{n+1} \sum_{j=0}^{N-n-1} q^j \leq\, \frac{u_{n+1}}{1 – q}\). Il reste à faire tendre \(N\) vers \(+\infty\).

Soit \((u_n)\) une suite positive telle que \(\sqrt[n]{u_n} \to \ell \in [0, +\infty]\). Si \(\ell < 1\), la série \(\sum u_n\) converge. Si \(\ell > 1\), elle diverge grossièrement. Si \(\ell = 1\), on ne peut pas conclure.

Si \(\ell < 1\), on choisit \(q \in\, ]\ell, 1[\). À partir d’un certain rang, \(\sqrt[n]{u_n} \leq\, q\), c’est-à-dire \(u_n \leq\, q^n\). La série converge donc par comparaison à une série géométrique. Si \(\ell > 1\), on a \(u_n \geq\, 1\) à partir d’un certain rang, d’où la divergence grossière.

Pour \(u_n = (\frac{n}{2n+1})^n\), on a \(\sqrt[n]{u_n} = \frac{n}{2n+1} \to \frac{1}{2} < 1\). La série converge.

Ces deux règles ne sont jamais indispensables : elles ne font que comparer à une série géométrique. Par conséquent, elles échouent dès que le terme général décroît comme une puissance de \(n\). Dans ce cas, préférez un équivalent et les séries de Riemann.

Soit \((v_n)\) une suite positive telle que \(\sum v_n\) converge. On note \(R_n(v) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} v_k\).

• Si \((u_n)\) est positive et \(u_n = o(v_n)\), alors \(\sum u_n\) converge et \(R_n(u) = o(R_n(v))\). Le même énoncé vaut avec \(O\).
• Si \(u_n \sim v_n\), alors \(\sum u_n\) converge et \(R_n(u) \sim R_n(v)\).

Traitons le cas des équivalents. D’abord, \(u_n\) est positif à partir d’un certain rang, donc \(\sum u_n\) converge par le critère des équivalents. Soit \(\varepsilon > 0\). Il existe \(N\) tel que \(|u_k – v_k| \leq\, \varepsilon v_k\) pour \(k \geq\, N\). Pour \(n \geq\, N\) et \(m > n\), l’inégalité triangulaire donne
\[|\sum_{k=n+1}^{m} u_k – \sum_{k=n+1}^{m} v_k| \leq\, \varepsilon \sum_{k=n+1}^{m} v_k.\]
On fait tendre \(m\) vers \(+\infty\) : \(|R_n(u) – R_n(v)| \leq\, \varepsilon R_n(v)\). Autrement dit, \(R_n(u) – R_n(v) = o(R_n(v))\). Le cas \(o\) se traite de la même façon avec \(0 \leq\, u_k \leq\, \varepsilon v_k\).

Soit \((v_n)\) une suite positive telle que \(\sum v_n\) diverge. On note \(S_n(v) = \sum_{k=0}^{n} v_k\), qui tend vers \(+\infty\).

• Si \((u_n)\) est réelle et \(u_n = o(v_n)\), alors \(S_n(u) = o(S_n(v))\). Le même énoncé vaut avec \(O\).
• Si \(u_n \sim v_n\), alors \(\sum u_n\) diverge et \(S_n(u) \sim S_n(v)\).

Soit \(\varepsilon > 0\). Il existe \(N\) tel que \(|u_k| \leq\, \varepsilon v_k\) pour \(k \geq\, N\). Pour \(n \geq\, N\), on a donc
\[|S_n(u)| \leq\, |S_{N-1}(u)| + \varepsilon \sum_{k=N}^{n} v_k \leq\, |S_{N-1}(u)| + \varepsilon S_n(v).\]
Or \(S_n(v) \to +\infty\) et \(|S_{N-1}(u)|\) est une constante. Ainsi, il existe \(N^{\prime}\) tel que \(|S_{N-1}(u)| \leq\, \varepsilon S_n(v)\) pour \(n \geq\, N^{\prime}\). Pour \(n \geq\, \max(N, N^{\prime})\), on obtient \(|S_n(u)| \leq\, 2\varepsilon S_n(v)\). Enfin, si \(u_n \sim v_n\), on applique ce résultat à \(u_n – v_n = o(v_n)\).

Pour obtenir un équivalent d’une somme partielle divergente ou d’un reste :

1. trouvez un équivalent simple \(v_n\) positif du terme général ;
2. calculez ou encadrez la somme partielle (ou le reste) de \(\sum v_n\), souvent par comparaison série-intégrale ou par télescopage ;
3. appliquez le théorème de sommation adapté, en vérifiant d’abord la nature de \(\sum v_n\).

Cherchons un équivalent du reste \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}\). D’abord, \(\frac{1}{k^2} \sim \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} – \frac{1}{k}\) pour \(k \geq\, 2\). Ensuite, par télescopage, \(\sum_{k=n+1}^{+\infty} (\frac{1}{k-1} – \frac{1}{k}) = \frac{1}{n}\). Par conséquent, le théorème de sommation des équivalents donne \(R_n \sim \frac{1}{n}\).

Pour la somme partielle \(T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k – 1}\), on a \(\frac{1}{2k-1} \sim \frac{1}{2k}\), terme positif d’une série divergente. Donc \(T_n \sim \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2k} = \frac{H_n}{2} \sim \frac{\ln n}{2}\).