Intégrales généralisées : cours de maths en L2 en PDF.

Soient \(a \in \mathbb{R}\), \(b \in \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\) avec \(a < b\), et \(f\) continue par morceaux sur \([a, b[\). On pose \(F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\) pour \(x \in [a, b[\). On dit que l’intégrale généralisée \(\int_a^b f(t)\,dt\) converge si \(F\) admet une limite finie en \(b\). On note alors

\[\int_a^b f(t)\,dt = \lim_{x \to b} \int_a^x f(t)\,dt.\]

Dans le cas contraire, l’intégrale diverge. On définit de même l’intégrale sur \(]a, b]\) par une limite en \(a\).

Soit \(f\) continue par morceaux sur \(]a, b[\) et \(c \in ]a, b[\). L’intégrale \(\int_a^b f\) converge si les deux intégrales \(\int_a^c f\) et \(\int_c^b f\) convergent. On pose alors \(\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\). Cette définition ne dépend pas du choix de \(c\), grâce à la relation de Chasles sur les segments.

Il faut deux limites indépendantes. Par exemple, \(\int_{-x}^{x} t\,dt = 0\) pour tout \(x\), et pourtant \(\int_{-\infty}^{+\infty} t\,dt\) diverge, car \(\int_0^x t\,dt = x^2/2\) tend vers \(+\infty\).

Pour \(x \geq\, 0\), on a \(\int_0^x e^{-t}\,dt = 1 – e^{-x}\), qui tend vers \(1\). Donc \(\int_0^{+\infty} e^{-t}\,dt\) converge et vaut \(1\). En revanche, \(\int_1^x \frac{dt}{t} = \ln x\) tend vers \(+\infty\) : l’intégrale \(\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t}\) diverge. De même, \(\int_x^1 \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2 – 2\sqrt{x}\) tend vers \(2\) quand \(x \to 0^+\), donc \(\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2\).

Soient \(f\) et \(g\) continues par morceaux sur \([a, b[\) et \(\lambda \in \mathbb{C}\).

1. Linéarité : si \(\int_a^b f\) et \(\int_a^b g\) convergent, alors \(\int_a^b (f + \lambda g)\) converge et vaut \(\int_a^b f + \lambda \int_a^b g\).

2. Positivité : si \(f\) est réelle, positive, et si \(\int_a^b f\) converge, alors \(\int_a^b f \geq\, 0\).

3. Reste : si \(\int_a^b f\) converge, alors \(\int_x^b f\) converge pour tout \(x \in [a, b[\) et \(\int_x^b f \to 0\) quand \(x \to b\).

4. Une fonction complexe a une intégrale convergente si et seulement si ses parties réelle et imaginaire en ont une.

Si \(f\) est continue sur \([a, b[\) avec \(b\) fini et admet une limite finie en \(b\), on la prolonge par continuité en \(b\). L’intégrale converge alors vers l’intégrale du prolongement sur le segment \([a, b]\). On parle d’intégrale faussement généralisée. Par exemple, \(\int_0^1 \frac{\sin t}{t}\,dt\) converge, car \(\frac{\sin t}{t} \to 1\) en \(0\).

Critère de Cauchy. Soit \(f\) continue par morceaux sur \([a, b[\). L’intégrale \(\int_a^b f\) converge si et seulement si

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists c \in [a, b[,\ \forall x, y \in [c, b[,\quad | \int_x^y f(t)\,dt | \leq\, \varepsilon.\]

Notons \(F(x) = \int_a^x f\). On a \(\int_x^y f = F(y) – F(x)\). D’abord, si \(F\) a une limite finie \(\ell\) en \(b\), il existe \(c\) tel que \(|F(x) – \ell| \leq\, \varepsilon/2\) pour \(x \geq\, c\). L’inégalité triangulaire donne alors \(|F(y) – F(x)| \leq\, \varepsilon\).

Réciproquement, supposons la condition vérifiée. Soit \((x_n)\) une suite de \([a, b[\) qui tend vers \(b\). Alors \((F(x_n))\) est une suite de Cauchy, donc elle converge, car \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{C}\) sont complets. Ensuite, la limite \(\ell\) ne dépend pas de la suite : en effet, si deux suites donnaient deux limites, la suite entrelacée serait de Cauchy mais divergente. Enfin, la caractérisation séquentielle des limites montre que \(F(x) \to \ell\) quand \(x \to b\).

Pour \(n \geq\, 2\), plaçons en chaque entier \(n\) un triangle de hauteur \(1\) et de base \(2/n^2\), et posons \(f = 0\) ailleurs. La fonction \(f\) est continue et positive. L’aire du \(n\)-ième triangle vaut \(1/n^2\). Donc \(\int_0^x f \leq\, \sum_{n \geq\, 2} 1/n^2\) pour tout \(x\), et l’intégrale converge. Pourtant, \(f(n) = 1\) pour tout \(n \geq\, 2\) : la fonction \(f\) ne tend pas vers \(0\).

En revanche, si \(f\) admet une limite \(\ell\) en \(+\infty\) et si \(\int_a^{+\infty} f\) converge, alors \(\ell = 0\). En effet, si \(\ell > 0\) par exemple, on a \(f \geq\, \ell/2\) au voisinage de \(+\infty\), et l’intégrale diverge. Nous verrons aussi que la conclusion \(f \to 0\) vaut pour une fonction positive décroissante.

Soit \(f\) continue par morceaux, positive et décroissante sur \([1, +\infty[\). Pour tout entier \(k \geq\, 2\), on a

\[f(k) \leq\, \int_{k-1}^{k} f(t)\,dt \leq\, f(k-1).\]

Par conséquent, la série \(\sum f(n)\) et l’intégrale \(\int_1^{+\infty} f\) sont de même nature.

Sur \([k-1, k]\), la décroissance donne \(f(k) \leq\, f(t) \leq\, f(k-1)\). On intègre sur ce segment de longueur \(1\). En sommant pour \(k\) de \(2\) à \(n\), il vient \(S_n – f(1) \leq\, \int_1^n f \leq\, S_{n-1}\). De plus, \(x \mapsto \int_1^x f\) est croissante, car \(f \geq\, 0\). Ainsi, la suite \((S_n)\) est majorée si et seulement si l’intégrale partielle est majorée, ce qui conclut.

Soit \(f\) continue par morceaux et positive sur \([a, b[\). Alors \(\int_a^b f\) converge si et seulement si la fonction \(x \mapsto \int_a^x f\) est majorée sur \([a, b[\). Sinon, \(\int_a^x f \to +\infty\).

Comparaison. Soient \(f\) et \(g\) continues par morceaux sur \([a, b[\) avec \(0 \leq\, f \leq\, g\) au voisinage de \(b\).

1. Si \(\int_a^b g\) converge, alors \(\int_a^b f\) converge.

2. Si \(\int_a^b f\) diverge, alors \(\int_a^b g\) diverge.

De plus, si \(f = O(g)\) en \(b\), avec \(g \geq\, 0\), la conclusion 1 reste vraie. Enfin, si \(f \sim g\) en \(b\) et si \(g\) est de signe constant au voisinage de \(b\), les deux intégrales sont de même nature.

Soit \(c\) tel que \(0 \leq\, f \leq\, g\) sur \([c, b[\). Pour \(x \geq\, c\), on a \(\int_c^x f \leq\, \int_c^x g \leq\, \int_c^b g\) dans le cas 1. L’intégrale partielle de \(f\) est donc majorée. Le cas 2 est la contraposée. Si \(f = O(g)\), on a \(|f| \leq\, M g\) près de \(b\), et l’on se ramène au cas 1. Enfin, si \(f \sim g\) avec \(g > 0\), on a \(\frac{1}{2} g \leq\, f \leq\, 2g\) près de \(b\), d’où le résultat dans les deux sens.

Le critère d’équivalence exige une fonction de signe constant. Sans cette hypothèse, il est faux, comme le montre l’exemple classique \(\frac{\sin t}{\sqrt{t}}\) et \(\frac{\sin t}{\sqrt{t}} + \frac{\sin^2 t}{t}\) traité en exercice.

Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\).

1. \(\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\).

2. \(\int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha < 1\).

Pour \(\alpha \neq 1\), on a \(\int_1^x t^{-\alpha}\,dt = \frac{x^{1-\alpha} – 1}{1 – \alpha}\). Quand \(x \to +\infty\), la limite est finie si et seulement si \(1 – \alpha < 0\). De même, \(\int_x^1 t^{-\alpha}\,dt = \frac{1 – x^{1-\alpha}}{1 – \alpha}\) a une limite finie en \(0\) si et seulement si \(1 – \alpha > 0\). Enfin, pour \(\alpha = 1\), la primitive \(\ln t\) tend vers \(+\infty\) en \(+\infty\) et vers \(-\infty\) en \(0\) : les deux intégrales divergent.

Plus généralement, pour \(b\) fini, \(\int_a^b \frac{dt}{(b – t)^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha < 1\). Il suffit de poser \(u = b – t\). Par ailleurs, \(\int_0^{+\infty} e^{-\lambda t}\,dt = \frac{1}{\lambda}\) pour \(\lambda > 0\), autre référence fréquente.

Soient \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\). L’intégrale de Bertrand \(\int_e^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha (\ln t)^\beta}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\), ou \(\alpha = 1\) et \(\beta > 1\).

Si \(\alpha > 1\), choisissons \(\gamma\) avec \(1 < \gamma < \alpha\). Alors \(t^\gamma \cdot \frac{1}{t^\alpha (\ln t)^\beta} = \frac{1}{t^{\alpha – \gamma} (\ln t)^\beta} \to 0\), par croissances comparées. Donc l’intégrande est un \(o(1/t^\gamma)\), et l’intégrale converge. Si \(\alpha < 1\), on prend \(\alpha < \gamma < 1\) : cette fois \(t^\gamma\) fois l’intégrande tend vers \(+\infty\). L’intégrande dépasse donc \(1/t^\gamma\) près de \(+\infty\), et l’intégrale diverge.

Enfin, si \(\alpha = 1\), on pose \(u = \ln t\) : on obtient \(\int_e^x \frac{dt}{t (\ln t)^\beta} = \int_1^{\ln x} \frac{du}{u^\beta}\). On conclut avec les intégrales de Riemann.

Pour déterminer la nature d’une intégrale généralisée :

1. Repérer les bornes impropres, et couper l’intervalle s’il y en a deux.

2. En chaque borne, chercher un équivalent simple de l’intégrande, ou un développement asymptotique.

3. Si l’intégrande est de signe constant, comparer à une intégrale de Riemann ou de Bertrand.

4. Sinon, étudier d’abord la convergence absolue, puis, si elle échoue, chercher une semi-convergence par intégration par parties.

Étudions \(\int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{1 + t^2}\,dt\). En \(0\), l’intégrande est équivalent à \(\ln t\), de signe constant. Or \(\sqrt{t}\,|\ln t| \to 0\), donc \(|\ln t| = o(t^{-1/2})\) : l’intégrale converge en \(0\). En \(+\infty\), on a \(t^{3/2} \cdot \frac{\ln t}{1 + t^2} \to 0\), donc l’intégrande est un \(o(t^{-3/2})\) : convergence. Ainsi, l’intégrale converge. Le changement de variable \(u = 1/t\) montre d’ailleurs qu’elle est nulle.

On dit que \(\int_a^b f\) est absolument convergente si \(\int_a^b |f|\) converge. On dit alors que \(f\) est intégrable sur l’intervalle, et l’on note \(f \in L^1(I)\).

Une intégrale absolument convergente est convergente, et \(| \int_a^b f | \leq\, \int_a^b |f|\).

Pour \(x \leq\, y\) dans \([a, b[\), on a \(| \int_x^y f | \leq\, \int_x^y |f|\). Or \(\int_a^b |f|\) vérifie le critère de Cauchy. Donc le membre de droite est inférieur à \(\varepsilon\) dès que \(x\) et \(y\) sont assez proches de \(b\). Ainsi, \(\int_a^b f\) vérifie aussi le critère de Cauchy. L’inégalité s’obtient en passant à la limite dans l’inégalité sur les segments.

Pour \(t \geq\, 1\), on a \(| \frac{\cos t}{t^2} | \leq\, \frac{1}{t^2}\). Par comparaison avec une intégrale de Riemann, \(\int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t^2}\,dt\) est absolument convergente, donc convergente.

Règle d’Abel. Soient \(f\) de classe \(C^1\), positive et décroissante sur \([a, +\infty[\), avec \(\lim_{+\infty} f = 0\), et \(g\) continue sur \([a, +\infty[\). On suppose que \(G(x) = \int_a^x g\) est bornée par une constante \(M\). Alors \(\int_a^{+\infty} f(t) g(t)\,dt\) converge.

Une intégration par parties sur \([a, x]\) donne

\[\int_a^x f g = f(x) G(x) – \int_a^x f^{\prime}(t) G(t)\,dt.\]

D’abord, \(|f(x) G(x)| \leq\, M f(x) \to 0\). Ensuite, \(|f^{\prime} G| \leq\, -M f^{\prime}\), car \(f^{\prime} \leq\, 0\). Or \(\int_a^x (-f^{\prime}) = f(a) – f(x) \leq\, f(a)\) : l’intégrale de \(-f^{\prime}\) converge. Par comparaison, \(\int_a^{+\infty} f^{\prime} G\) converge absolument. Par conséquent, \(\int_a^x fg\) admet une limite finie.

L’intégrale de Dirichlet \(\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt\) est semi-convergente. D’abord, elle est faussement impropre en \(0\). Ensuite, sur \([1, +\infty[\), on applique la règle d’Abel avec \(f(t) = 1/t\) et \(g = \sin\), car \(| \int_1^x \sin t\,dt | \leq\, 2\). En revanche, sur \([k\pi, (k+1)\pi]\), on a \(t \leq\, (k+1)\pi\), donc

\[\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin t|}{t}\,dt \geq\, \frac{1}{(k+1)\pi} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin t|\,dt = \frac{2}{(k+1)\pi}.\]

En sommant, on minore \(\int_0^{n\pi} \frac{|\sin t|}{t}\,dt\) par une somme partielle de la série harmonique. Ainsi, l’intégrale n’est pas absolument convergente.

Pour étudier une intégrale semi-convergente du type \(\int_a^{+\infty} f(t) \sin t\,dt\) ou \(\int_a^{+\infty} f(t) e^{it}\,dt\), avec \(f\) décroissante vers \(0\) :

1. Intégrer par parties en dérivant \(f\) et en primitivant la partie oscillante.

2. Vérifier que le terme tout intégré a une limite, puis que la nouvelle intégrale converge absolument.

3. Pour la non-convergence absolue, minorer \(|\sin t|\) par \(\sin^2 t = \frac{1 – \cos 2t}{2}\), ou découper en intervalles de longueur \(\pi\).

Intégration par parties. Soient \(u\) et \(v\) de classe \(C^1\) sur \(]a, b[\). On suppose que le produit \(uv\) admet des limites finies en \(a\) et en \(b\). Alors \(\int_a^b u^{\prime} v\) et \(\int_a^b u v^{\prime}\) sont de même nature et, en cas de convergence,

\[\int_a^b u^{\prime}(t) v(t)\,dt = \Big[ u v \Big]_a^b – \int_a^b u(t) v^{\prime}(t)\,dt,\]

où \(\big[ uv \big]_a^b = \lim_b uv – \lim_a uv\).

Sur un segment \([x, y] \subset ]a, b[\), la formule usuelle s’écrit \(\int_x^y u^{\prime} v = u(y)v(y) – u(x)v(x) – \int_x^y u v^{\prime}\). Le terme tout intégré a une limite finie quand \(x \to a\) et \(y \to b\). Par conséquent, l’une des intégrales a une limite si et seulement si l’autre en a une.

Calculons \(I_n = \int_0^{+\infty} t^n e^{-t}\,dt\). L’intégrale converge, car \(t^{n+2} e^{-t} \to 0\) donne \(t^n e^{-t} = o(1/t^2)\). Posons \(u(t) = -e^{-t}\) et \(v(t) = t^{n+1}\). Le produit \(-t^{n+1} e^{-t}\) tend vers \(0\) en \(0\) et en \(+\infty\). Ainsi, \(I_{n+1} = (n+1) I_n\). Comme \(I_0 = 1\), on obtient \(I_n = n!\).

Changement de variable. Soit \(\varphi : ]\alpha, \beta[ \to ]a, b[\) une bijection de classe \(C^1\), strictement croissante, et \(f\) continue sur \(]a, b[\). Alors \(\int_a^b f(t)\,dt\) et \(\int_\alpha^\beta f(\varphi(u)) \varphi^{\prime}(u)\,du\) sont de même nature et égales en cas de convergence. Si \(\varphi\) est décroissante, on échange les bornes.

Pour \(\int_0^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{t}(1 + t)}\), on pose \(t = u^2\), avec \(u \in ]0, +\infty[\). Alors \(dt = 2u\,du\) et l’intégrale devient \(\int_0^{+\infty} \frac{2\,du}{1 + u^2} = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi\). De plus, le changement de variable prouve la convergence en même temps que le calcul.

Pour justifier une intégration par parties sur un intervalle ouvert :

1. Vérifier que les deux fonctions sont \(C^1\) sur l’intervalle ouvert.

2. Calculer les limites du terme tout intégré aux deux bornes, et vérifier qu’elles sont finies.

3. Conclure que les deux intégrales ont même nature. Il suffit alors de montrer la convergence de l’une d’elles.

À défaut, travailler sur un segment \([x, y]\), puis passer à la limite.

Soient \(f\) et \(g\) continues par morceaux sur \([a, b[\), avec \(g \geq\, 0\).

1. Cas convergent. Si \(\int_a^b g\) converge et \(f = o(g)\) en \(b\), alors \(\int_x^b f = o( \int_x^b g )\) quand \(x \to b\). Idem avec \(O\). Si \(f \sim g\), alors \(\int_x^b f \sim \int_x^b g\).

2. Cas divergent. Si \(\int_a^b g\) diverge et \(f = o(g)\) en \(b\), alors \(\int_a^x f = o( \int_a^x g )\) quand \(x \to b\). Idem avec \(O\). Si \(f \sim g\), alors \(\int_a^x f \sim \int_a^x g\).

Traitons le cas convergent avec \(o\). Soit \(\varepsilon > 0\). Il existe \(c\) tel que \(|f| \leq\, \varepsilon g\) sur \([c, b[\). Donc \(\int_x^b f\) converge et, pour \(x \geq\, c\), \(| \int_x^b f | \leq\, \varepsilon \int_x^b g\). C’est la définition de \(\int_x^b f = o( \int_x^b g )\).

Dans le cas divergent, on écrit \(| \int_a^x f | \leq\, | \int_a^c f | + \varepsilon \int_c^x g\). Or \(\int_a^x g \to +\infty\), donc la constante \(| \int_a^c f |\) est inférieure à \(\varepsilon \int_a^x g\) pour \(x\) proche de \(b\). Ainsi, \(| \int_a^x f | \leq\, 2\varepsilon \int_a^x g\). Enfin, le cas \(\sim\) s’obtient en appliquant le cas \(o\) à \(f – g\).

Cherchons un équivalent de \(R(x) = \int_x^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + 1}\). On a \(\frac{1}{t^2+1} \sim \frac{1}{t^2}\), fonction positive d’intégrale convergente. Donc \(R(x) \sim \int_x^{+\infty} \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{x}\). On le vérifie directement : \(R(x) = \frac{\pi}{2} – \arctan x = \arctan \frac{1}{x} \sim \frac{1}{x}\).

Ce théorème se combine souvent avec une intégration par parties. Par exemple, pour \(\int_x^{+\infty} e^{-t^2}\,dt\), une intégration par parties fait apparaître \(\frac{e^{-x^2}}{2x}\), plus un reste négligeable. Ainsi, \(\int_x^{+\infty} e^{-t^2}\,dt \sim \frac{e^{-x^2}}{2x}\). Le détail figure dans les exercices.