Séries à termes quelconques : exercices de maths en L2 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Suites de Cauchy et série harmonique

On note \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) pour \(n \geq\, 1\).

1. Montrer que \(H_{2n} – H_n \geq\, \frac{1}{2}\) pour tout \(n \geq\, 1\). En déduire que \((H_n)\) n’est pas de Cauchy, puis qu’elle diverge.
2. On pose \(v_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos k}{k^2}\). Montrer que, pour \(p > n \geq\, 1\), \(|v_p – v_n| \leq\, \frac{1}{n}\). On pourra utiliser \(\frac{1}{k^2} \leq\, \frac{1}{k(k-1)}\) pour \(k \geq\, 2\). Conclure que \((v_n)\) converge.
3. On pose \(w_n = \sqrt{n}\). Vérifier que \(w_{n+1} – w_n \to 0\), puis calculer \(w_{4n} – w_n\). La suite \((w_n)\) est-elle de Cauchy ? Que retenir sur la définition ?

Exercice 2 : Convergence absolue de séries réelles et complexes

Montrer que les séries suivantes sont absolument convergentes.

1. \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{\sin n}{n^{3/2}}\).
2. \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{(-1)^n \ln n}{n^2}\).
3. \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{e^{in}}{n \sqrt{n}}\).
4. \(\sum_{n \geq\, 0} n^2 ( -\dfrac{1}{2} )^n\).
5. \(\sum_{n \geq\, 0} ( \dfrac{1+i}{2} )^n\). Calculer de plus sa somme sous forme algébrique.

Exercice 3 : Critère spécial des séries alternées

Étudier la convergence et la convergence absolue des séries suivantes. On vérifiera soigneusement chaque hypothèse du critère spécial.

1. \(\sum_{n \geq\, 1} (-1)^n \dfrac{n}{n^2 + 1}\).
2. \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\), selon la valeur du réel \(\alpha > 0\).
3. \(\sum_{n \geq\, 1} (-1)^n \dfrac{\ln n}{n}\).

Exercice 4 : Majoration du reste d’une série alternée

1. Soit \(S = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^3}\) et \(S_N\) ses sommes partielles. Déterminer le plus petit entier \(N\) pour lequel le critère spécial garantit \(|S – S_N| \leq\, 10^{-3}\). Préciser le signe de \(S – S_N\) pour cette valeur, puis encadrer \(S\) à l’aide de \(S_N\).
2. On admet que \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}\). Combien de termes le critère spécial demande-t-il pour garantir une erreur au plus \(10^{-2}\) ? Commenter.
3. On admet que \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = e^{-1}\). Déterminer le plus petit \(N\) tel que la majoration du reste garantisse \(| e^{-1} – \sum_{n=0}^{N} \frac{(-1)^n}{n!} | \leq\, 10^{-6}\).

Exercice 5 : Critère de Cauchy et tranches de séries

Soit \(\sum u_n\) une série réelle.

1. On suppose que \(\sum u_n\) converge. Montrer, à l’aide du critère de Cauchy, que \(u_{n+1} + u_{n+2} + \cdots + u_{2n} \to 0\).
2. On suppose de plus que \((u_n)\) est positive et décroissante. Montrer que \(n u_{2n} \to 0\), puis que \(n u_n \to 0\).
3. Montrer que la série \(\sum_{n \geq\, 2} \frac{1}{n \ln n}\) diverge, en la comparant à une intégrale. En déduire que la réciproque du résultat de la question 2 est fausse.
4. Application : sans calcul de sommes partielles, justifier que \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{3n + 2}\) diverge.

Exercice 6 : Une série alternée divergente

Pour \(n \geq\, 2\), on pose \(u_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \dfrac{1}{n}\). La figure ci-dessous représente les premiers termes.

1. Montrer que \(u_n > 0\) si \(n\) est pair et \(u_n < 0\) si \(n\) est impair. La série \(\sum u_n\) est donc alternée.
2. Montrer que \(u_n \to 0\).
3. Déterminer la nature de \(\sum u_n\).
4. Quelle hypothèse du critère spécial n’est pas vérifiée ? Le démontrer en comparant \(|u_{2m+1}|\) et \(|u_{2m+2}|\).

Exercice 7 : Terme alterné perturbé, discussion selon le paramètre

Soit \(\alpha > 0\). Pour \(n \geq\, 2\), on pose \(u_n = \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha} + (-1)^n}\).

1. Justifier que \(u_n\) est bien défini et que \(u_n \sim \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\).
2. Calculer exactement \(w_n = u_n – \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\). Donner son signe et un équivalent simple.
3. Déterminer, selon \(\alpha\), la nature de \(\sum u_n\) : absolument convergente, semi-convergente ou divergente.
4. Pourquoi l’équivalent de la question 1 ne suffisait-il pas à conclure ?

Exercice 8 : Logarithme d’un terme alterné

Soit \(\alpha > 0\). Pour \(n \geq\, 2\), on pose \(u_n = \ln( 1 + \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}} )\).

1. Justifier que \(u_n\) est bien défini.
2. Rappeler l’équivalent de \(\ln(1+x) – x\) quand \(x \to 0\). En déduire un équivalent de \(w_n = u_n – \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\).
3. Déterminer la nature de \(\sum u_n\) selon \(\alpha\).
4. On prend \(\alpha = 1\). Calculer \(u_{2k} + u_{2k+1}\) pour \(k \geq\, 1\). En déduire la somme \(\sum_{n=2}^{+\infty} \ln( 1 + \frac{(-1)^n}{n} )\).

Exercice 9 : Démonstration du critère d’Abel

Soit \((a_n)_{n \geq\, 1}\) une suite réelle décroissante de limite nulle et \((b_n)_{n \geq\, 1}\) une suite complexe. On pose \(B_0 = 0\), \(B_n = b_1 + \cdots + b_n\), et on suppose qu’il existe \(M\) tel que \(|B_n| \leq\, M\) pour tout \(n\).

1. Établir la formule \(\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = a_n B_n + \sum_{k=1}^{n-1} (a_k – a_{k+1}) B_k\).
2. En déduire que \(\sum a_n b_n\) converge.
3. Montrer que, pour \(p > n \geq\, 1\), \(| \sum_{k=n+1}^{p} a_k b_k | \leq\, 2M a_{n+1}\). Que peut-on dire du reste ?
4. Soit \(\theta \in \mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}\). Montrer que \(| \sum_{k=1}^{n} e^{ik\theta} | \leq\, \frac{1}{|\sin(\theta/2)|}\). En déduire la convergence de \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{\cos(n\theta)}{n}\) et de \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{\sin(n\theta)}{n}\).

Exercice 10 : Semi-convergence d’une série trigonométrique

On utilise les résultats de l’exercice 9.

1. Montrer que \(|\sin n| \geq\, \sin^2 n\) pour tout entier \(n\), puis linéariser \(\sin^2 n\).
2. En déduire que \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{\sin^2 n}{n}\) diverge, puis que \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{|\sin n|}{n}\) diverge.
3. Conclure que \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{\sin n}{n}\) est semi-convergente.
4. Plus généralement, déterminer selon \(\alpha > 0\) la nature de \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{\sin n}{n^{\alpha}}\).

Exercice 11 : Séries de Bertrand

Pour \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) et \(n \geq\, 2\), on pose \(u_n = \dfrac{1}{n^{\alpha} (\ln n)^{\beta}}\).

1. On suppose \(\alpha > 1\). Montrer que \(\sum u_n\) converge, en comparant à \(1/n^{\gamma}\) pour un \(\gamma\) bien choisi.
2. On suppose \(\alpha < 1\). Montrer que \(\sum u_n\) diverge.
3. On suppose \(\alpha = 1\). Étudier la nature de \(\sum u_n\) selon \(\beta\), à l’aide d’une comparaison série-intégrale lorsque \(\beta > 0\).
4. Applications. Déterminer la nature de \(\sum_{n \geq\, 2} \frac{(-1)^n}{n \ln n}\) (convergence et convergence absolue), de \(\sum_{n \geq\, 2} \frac{1}{\sqrt{n} \ln n}\) et de \(\sum_{n \geq\, 2} \frac{(\ln n)^{10}}{n^{1{,}01}}\).

Exercice 12 : Racine n-ième de n et séries associées

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(a_n = n^{1/n} – 1\).

1. Montrer que \(a_n \geq\, 0\) et que \(a_n \sim \dfrac{\ln n}{n}\).
2. Déterminer la nature de \(\sum a_n\) et celle de \(\sum a_n^2\).
3. Étudier les variations de \(x \mapsto \frac{\ln x}{x}\) sur \([1, +\infty[\). En déduire que \((a_n)_{n \geq\, 3}\) est décroissante.
4. Déterminer la nature de \(\sum (-1)^n a_n\). Est-elle absolument convergente ?

Exercice 13 : Natures variées par développement asymptotique

Déterminer la nature des séries suivantes, et préciser si elles sont absolument convergentes.

1. \(\sum_{n \geq\, 1} (-1)^n \sin( \dfrac{1}{n} )\).
2. \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{\cos(\pi n^2)}{n}\).
3. \(\sum_{n \geq\, 1} \sin( \pi \sqrt{n^2 + 1} )\). On donnera un développement de \(\sqrt{n^2 + 1}\) à la précision \(O(1/n^3)\).
4. \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{(-1)^n + i}{n}\).

Exercice 14 : Produits de Cauchy absolument convergents

1. Soit \(z \in \mathbb{C}\) avec \(|z| < 1\). Calculer le produit de Cauchy de \(\sum z^n\) par elle-même. En déduire que \(\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) z^n = \dfrac{1}{(1-z)^2}\), puis calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{n+1}{2^n}\).
2. Pour \(z \in \mathbb{C}\), on pose \(E(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}\). Justifier que cette série converge absolument, puis montrer que \(E(a) E(b) = E(a+b)\) pour tous \(a, b \in \mathbb{C}\).
3. En déduire que \(E(z) \neq 0\) et que \(E(-z) = 1/E(z)\) pour tout \(z \in \mathbb{C}\).

Exercice 15 : Un produit de Cauchy divergent

Pour \(n \geq\, 0\), on pose \(a_n = b_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\), et on note \(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\).

1. Montrer que \(\sum a_n\) converge. Converge-t-elle absolument ?
2. Montrer que \(c_n = (-1)^n \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\).
3. Montrer que \(\sqrt{(k+1)(n-k+1)} \leq\, \frac{n+2}{2}\) pour \(0 \leq\, k \leq\, n\). En déduire que \(|c_n| \geq\, \frac{2(n+1)}{n+2}\).
4. Conclure sur la nature du produit de Cauchy. Quelle hypothèse du théorème du cours manque-t-il ?

Exercice 16 : Sommation par paquets

On admet que \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)\), où \(\gamma\) est une constante réelle.

1. Montrer que la série \(\sum_{n \geq\, 0} (-1)^n\) diverge, alors que la série des paquets \((1 – 1) + (1 – 1) + \cdots\) converge.
2. Soit \(\sum u_n\) une série telle que \(u_n \to 0\), et \(p \geq\, 1\) un entier. On note \(S_n = u_1 + \cdots + u_n\). Montrer que si \((S_{pN})_N\) converge vers \(S\), alors \((S_n)\) converge vers \(S\).
3. On définit \(u_n = \frac{1}{n}\) si \(n\) n’est pas multiple de \(3\), et \(u_n = -\frac{2}{n}\) si \(n\) est multiple de \(3\). Calculer \(S_{3N}\) à l’aide de \(H_{3N}\) et \(H_N\).
4. En déduire que \(\sum_{n \geq\, 1} u_n\) converge et calculer sa somme.

Exercice 17 : Série logarithmique complexe

Pour \(z \in \mathbb{C}\), on étudie la série \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{z^n}{n}\). La figure ci-dessous situe les différents cas dans le plan complexe.

1. Montrer que la série converge absolument si \(|z| < 1\).
2. Montrer qu’elle diverge grossièrement si \(|z| > 1\).
3. Étudier le cas \(z = 1\).
4. Soit \(z = e^{i\theta}\) avec \(\theta \in \mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}\). Montrer que la série converge, mais pas absolument.
5. Dans le cas de la question 4, majorer le module du reste \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{z^k}{k}\). Comparer, pour \(z = -1\), avec la majoration donnée par le critère spécial.

Exercice 18 : Suite contractante et série télescopique

On définit \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\), où \(f(x) = 1 + \frac{1}{2} \sin x\).

1. Montrer que \(|f(x) – f(y)| \leq\, \frac{1}{2} |x – y|\) pour tous réels \(x, y\).
2. En déduire que \(|u_{n+1} – u_n| \leq\, \frac{1}{2^n}\) pour tout \(n \geq\, 0\).
3. Montrer que la série \(\sum (u_{n+1} – u_n)\) converge absolument. En déduire que \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\).
4. Montrer que \(\ell\) est l’unique solution de l’équation \(x = 1 + \frac{1}{2} \sin x\).
5. Établir que \(|u_n – \ell| \leq\, \frac{1}{2^{n-1}}\) pour tout \(n \geq\, 0\). Quel rang suffit pour une valeur approchée de \(\ell\) à \(10^{-3}\) près ?

Exercice 19 : Un produit de Cauchy de séries semi-convergentes

Pour \(n \geq\, 0\), on pose \(a_n = \dfrac{(-1)^n}{n+1}\), et on note \(\sum c_n\) le produit de Cauchy de \(\sum a_n\) par elle-même. On note \(H_m = \sum_{j=1}^{m} \frac{1}{j}\).

1. Justifier que \(\sum a_n\) est semi-convergente.
2. Vérifier que \(\dfrac{1}{(k+1)(n-k+1)} = \dfrac{1}{n+2} ( \dfrac{1}{k+1} + \dfrac{1}{n-k+1} )\). En déduire que \(c_n = (-1)^n \dfrac{2 H_{n+1}}{n+2}\).
3. Montrer que \(d_n = \dfrac{H_{n+1}}{n+2}\) est décroissante et tend vers \(0\).
4. En déduire que \(\sum c_n\) converge. Est-elle absolument convergente ? Comparer avec l’exercice 15.

Exercice 20 : Problème, série harmonique alternée et réarrangements

On note \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) et \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\) pour \(n \geq\, 1\).

Partie A : la constante d’Euler. On pose \(u_n = H_n – \ln n\) et \(v_n = u_n – \frac{1}{n}\). La figure ci-dessous représente ces deux suites.

1. Montrer que \(\frac{1}{n+1} \leq\, \ln( 1 + \frac{1}{n} ) \leq\, \frac{1}{n}\) pour \(n \geq\, 1\).
2. En déduire que \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes. On note \(\gamma\) leur limite commune, de sorte que \(H_n = \ln n + \gamma + o(1)\).

Partie B : la somme de la série.

1. Montrer que \(S_{2N} = H_{2N} – H_N\) pour \(N \geq\, 1\).
2. En déduire que \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\) converge et que sa somme vaut \(\ln 2\).
3. Montrer que \(|\ln 2 – S_n| \leq\, \frac{1}{n+1}\) et que \(\ln 2 – S_n\) a le signe de \((-1)^n\).

Partie C : deux réarrangements. On somme les mêmes termes dans un autre ordre.

1. Dans la série \(T\), on prend un terme positif puis deux termes négatifs : \(1 – \frac{1}{2} – \frac{1}{4} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6} – \frac{1}{8} + \frac{1}{5} – \cdots\). Montrer que la somme des \(3N\) premiers termes vaut \(\frac{1}{2} (H_{2N} – H_N)\). En déduire que \(T\) converge et que sa somme vaut \(\frac{1}{2} \ln 2\).
2. Dans la série \(U\), on prend deux termes positifs puis un terme négatif : \(1 + \frac{1}{3} – \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} – \frac{1}{4} + \cdots\). Exprimer la somme des \(3N\) premiers termes à l’aide de \(H_{4N}\), \(H_{2N}\) et \(H_N\). En déduire que \(U\) converge et que sa somme vaut \(\frac{3}{2} \ln 2\).
3. Que montrent ces résultats ? Pourquoi un tel phénomène est-il impossible pour une série absolument convergente ?

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L2

• Le cours : séries à termes quelconques, cours de maths en L2
• À maîtriser avant : Séries numériques à termes positifs
• Chapitre précédent : Séries numériques à termes positifs
• Chapitre suivant : Intégrales généralisées
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L2 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L2 et la licence de maths de L1 à L3