Suites et séries de fonctions : exercices de maths en L2 corrigés

Sommaire

Ces exercices fonctions L2 portent sur les suites et séries de fonctions. Ils entraînent d’abord à étudier la convergence simple puis la convergence uniforme, en calculant une norme infinie ou en exhibant une suite de points. Ensuite, vous montrez qu’une série converge normalement et vous justifiez la continuité ou la dérivabilité de sa somme.

Plusieurs exercices construisent des contre-exemples : bosses glissantes, limites discontinues, dérivées qui divergent. D’autres utilisent le théorème de Heine, le critère de Cauchy uniforme et le théorème de Weierstrass. Les derniers, de niveau partiel, étudient la fonction zêta et une fonction définie par une série. Les exercices vont du plus simple au plus difficile, et plusieurs figures vous guident. Cherchez chaque question au brouillon avant de lire le corrigé : c’est ainsi que les méthodes s’installent.

Avant de commencer, relisez le cours de maths en L2 sur suites et séries de fonctions.

Exercice 1 : Convergence des puissances sur le segment de 0 à 1

Pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(x \in [0,1]\), on pose \(f_n(x) = x^n\) et \(g_n(x) = x^n(1-x)\).

Déterminez la limite simple \(f\) de \((f_n)\) sur \([0,1]\).
La convergence est-elle uniforme sur \([0,1]\) ? Sur \([0,1[\) ? Justifiez de deux façons différentes.
Soit \(a \in \,]0,1[\). Montrez que \((f_n)\) converge uniformément sur \([0,a]\).
Calculez \(\|g_n\|_\infty\) sur \([0,1]\) et concluez sur la convergence uniforme de \((g_n)\).

Exercice 2 : Une bosse qui se déplace vers l’origine

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(f_n(x) = \dfrac{nx}{1 + n^2x^2}\). La figure ci-dessous représente quelques-unes de ces fonctions sur \([0,3]\).

Montrez que \((f_n)\) converge simplement vers la fonction nulle sur \(\mathbb{R}\).
Calculez \(f_n\!(\frac{1}{n})\), puis \(\|f_n\|_\infty\). La convergence est-elle uniforme sur \(\mathbb{R}\) ?
Soit \(a > 0\). Montrez que la convergence est uniforme sur \([a, +\infty[\).
Calculez \(\int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x\) et sa limite. Commentez.

Exercice 3 : Convergence uniforme sans convergence des dérivées

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(f_n(x) = \dfrac{\sin(nx)}{n}\). Montrez que \((f_n)\) converge uniformément vers \(0\) sur \(\mathbb{R}\).
Étudiez la suite \((f_n^{\prime}(0))\), puis la suite \((f_n^{\prime}(\pi))\). La suite \((f_n^{\prime})\) converge-t-elle simplement sur \(\mathbb{R}\) ?
On pose maintenant \(g_n(x) = \sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}}\). Montrez que \(0 \leq\, g_n(x) – |x| \leq\, \frac{1}{n}\) pour tout réel \(x\).
Qu’en déduisez-vous sur la dérivabilité d’une limite uniforme de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) ?

Exercice 4 : Produit de suites uniformément convergentes

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(f_n(x) = x + \frac{1}{n}\).

Montrez que \((f_n)\) converge uniformément sur \(\mathbb{R}\) vers \(x \mapsto x\).
Montrez que \((f_n^2)\) converge simplement sur \(\mathbb{R}\), mais pas uniformément.
Soit \(A > 0\). Montrez que \((f_n^2)\) converge uniformément sur \([-A, A]\).
Soit \((f_n)\) et \((g_n)\) deux suites de fonctions qui convergent uniformément sur \(I\) vers des fonctions bornées \(f\) et \(g\). Montrez que \((f_n g_n)\) converge uniformément vers \(fg\) sur \(I\).

Exercice 5 : Convergence normale de séries trigonométriques

Montrez que la série \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{\sin(nx)}{n^2}\) converge normalement sur \(\mathbb{R}\). On note \(S\) sa somme. Justifiez que \(S\) est continue, impaire et \(2\pi\)-périodique.
Montrez que \(T(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n^3}\) définit une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\) et que \(T^{\prime} = -S\).
Montrez que \(U(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + x^2}\) est continue sur \(\mathbb{R}\), puis que \(U(x) \to 0\) quand \(x \to +\infty\).

Exercice 6 : Continuité uniforme et théorème de Heine

Montrez que la fonction \(x \mapsto x^2\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).
Montrez que, pour tous \(x, y \geq\, 0\), \(|\sqrt{x} – \sqrt{y}| \leq\, \sqrt{|x – y|}\). En déduire que la racine carrée est uniformément continue sur \([0, +\infty[\), bien qu’elle ne soit pas lipschitzienne.
Montrez que la fonction sinus est uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).
Montrez que \(x \mapsto \sin\!(\frac{1}{x})\) n’est pas uniformément continue sur \(]0,1]\). Pourquoi ce résultat ne contredit-il pas le théorème de Heine ?

Exercice 7 : Limite discontinue de fonctions arctangente

Pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(f_n(x) = \arctan(nx)\). La figure ci-dessous montre ces courbes pour quelques valeurs de \(n\).

Déterminez la limite simple \(f\) de \((f_n)\) sur \(\mathbb{R}\).
Sans calcul de norme, justifiez que la convergence n’est pas uniforme sur \(\mathbb{R}\). Retrouvez ce résultat en calculant \(f_n\!(\frac{1}{n})\).
Soit \(a > 0\). En utilisant l’identité \(\arctan t + \arctan \frac{1}{t} = \frac{\pi}{2}\) pour \(t > 0\), montrez que la convergence est uniforme sur \([a, +\infty[\).

Exercice 8 : Bosse glissante et interversion limite-intégrale

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in [0,1]\), on pose \(f_n(x) = n^2 x (1-x)^n\) et \(g_n(x) = n x (1-x)^n\).

Montrez que \((f_n)\) et \((g_n)\) convergent simplement vers \(0\) sur \([0,1]\).
Calculez \(\int_0^1 x(1-x)^n\,\mathrm{d}x\). En déduire \(\lim \int_0^1 f_n\) et \(\lim \int_0^1 g_n\).
La convergence de \((f_n)\) est-elle uniforme sur \([0,1]\) ?
Calculez \(\|g_n\|_\infty\) et sa limite. La convergence uniforme est-elle nécessaire pour intervertir limite et intégrale ?

Exercice 9 : Limite d’une suite d’intégrales

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1 + x^n}\).

Déterminez la limite simple de \(h_n : x \mapsto \frac{1}{1+x^n}\) sur \([0,1]\). La convergence est-elle uniforme ?
Montrez que \(0 \leq\, 1 – I_n \leq\, \frac{1}{n+1}\). Quelle est la limite de \((I_n)\) ?
À l’aide d’une intégration par parties, montrez que \(1 – I_n = \frac{\ln 2}{n} – \frac{1}{n}\displaystyle\int_0^1 \ln(1 + x^n)\,\mathrm{d}x\).
En déduire que \(I_n = 1 – \frac{\ln 2}{n} + o\!(\frac{1}{n})\).

Exercice 10 : Deux séries de fonctions sur le segment de 0 à 1

Pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(x \in [0,1]\), on pose \(u_n(x) = x^n(1-x)\) et \(v_n(x) = x^n(1-x)^2\).

Calculez les sommes partielles de \(\sum u_n\), puis sa somme \(S\). La série converge-t-elle uniformément sur \([0,1]\) ?
Calculez \(\|u_n\|_\infty\) et donnez-en un équivalent. La série \(\sum u_n\) converge-t-elle normalement ?
Montrez que \(\sum v_n\) converge normalement sur \([0,1]\).
Calculez la somme de \(\sum v_n\) et vérifiez qu’elle est bien continue sur \([0,1]\).

Exercice 11 : Une série alternée de fonctions

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \geq\, 0\), on pose \(u_n(x) = \dfrac{(-1)^n}{n + x}\).

Montrez que \(\sum u_n\) converge simplement sur \([0, +\infty[\) et que son reste vérifie \(|R_n(x)| \leq\, \frac{1}{n+1}\). On note \(S\) sa somme.
Montrez que la convergence est uniforme, mais pas normale, sur \([0, +\infty[\).
Justifiez que \(S\) est continue sur \([0, +\infty[\) et déterminez \(\lim_{x \to +\infty} S(x)\).
Montrez que \(S\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et strictement croissante sur \([0, +\infty[\).
Montrez que \(S(x) + S(x+1) = -\frac{1}{x+1}\) pour tout \(x \geq\, 0\). En déduire un encadrement de \(S(x)\), puis un équivalent de \(S(x)\) quand \(x \to +\infty\).

Exercice 12 : Critère de Cauchy uniforme et prolongement au bord

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues sur \([0,1]\) qui converge uniformément sur \([0,1[\). Montrez, à l’aide du critère de Cauchy uniforme, que la suite \((f_n(1))\) converge et que \((f_n)\) converge uniformément sur \([0,1]\).
En déduire que la série \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{x^n}{n}\) ne converge pas uniformément sur \([0,1[\).
Retrouvez ce résultat directement : minorez \(\sup_{x \in [0,1[} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{x^k}{k}\) et concluez avec le critère de Cauchy uniforme.
Montrez en revanche que \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{x^n}{n^2}\) converge normalement sur \([-1,1]\).

Exercice 13 : Fonctions en escalier et sommes de Riemann

Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\). Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in [0,1]\), on pose \(f_n(x) = f\!(\frac{\lfloor nx \rfloor}{n})\). La figure ci-dessous représente \(f_6\) pour \(f(x) = \frac{1}{1+x}\).

Montrez que \(| x – \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} | \leq\, \frac{1}{n}\) pour tout \(x \in [0,1]\).
À l’aide du théorème de Heine, montrez que \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \([0,1]\).
Calculez \(\int_0^1 f_n\) et en déduire que \(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!(\frac{k}{n}) \to \int_0^1 f\).
Application : déterminez \(\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n+k}\).

Exercice 14 : La fonction zêta de Riemann

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on considère la série \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{n^x}\).

Déterminez l’ensemble \(D\) des réels \(x\) pour lesquels la série converge. On note \(\zeta(x)\) sa somme.
Montrez que la série converge normalement sur \([a, +\infty[\) pour tout \(a > 1\). En déduire que \(\zeta\) est continue sur \(D\).
Montrez que \(\zeta\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(D\), et qu’elle y est strictement décroissante.
Déterminez \(\lim_{x \to +\infty} \zeta(x)\).
Montrez que \(\zeta(x) \geq\, \frac{1}{x-1}\) pour \(x > 1\). En déduire que la convergence n’est pas uniforme sur \(]1,2]\).

Exercice 15 : Somme d’une série par dérivation terme à terme

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x > 0\), on pose \(u_n(x) = \dfrac{e^{-nx}}{n}\).

Montrez que \(\sum u_n\) converge normalement sur \([a, +\infty[\) pour tout \(a > 0\).
Montrez que la somme \(S\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(]0, +\infty[\) et calculez \(S^{\prime}(x)\) sous forme simple.
Déterminez \(\lim_{x \to +\infty} S(x)\).
En déduire que \(S(x) = -\ln\!(1 – e^{-x})\) pour tout \(x > 0\), puis calculez \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\,2^n}\).

Exercice 16 : Série de l’arctangente et valeur de π/4

Soit \(x \in [0,1[\). En intégrant terme à terme une série géométrique sur \([0,x]\), montrez que \(\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}\).
On pose \(v_n(x) = \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}\) pour \(x \in [0,1]\). Montrez que \(\sum v_n\) converge uniformément sur \([0,1]\).
En déduire que \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}\).
La série \(\sum v_n\) converge-t-elle normalement sur \([0,1]\) ?

Exercice 17 : Moments nuls et théorème de Weierstrass

Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\), à valeurs réelles.

On suppose que \(\int_0^1 f(x)\,x^n\,\mathrm{d}x = 0\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Montrez que \(\int_0^1 f P = 0\) pour tout polynôme \(P\).
Soit \((P_k)\) une suite de polynômes qui converge uniformément vers \(f\) sur \([0,1]\). Montrez que \(\int_0^1 f P_k \to \int_0^1 f^2\).
En déduire que \(f\) est la fonction nulle.
Montrez que pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un polynôme \(P\) tel que \(P(0) = f(0)\) et \(\|f – P\|_\infty \leq\, \varepsilon\) sur \([0,1]\).

Exercice 18 : Limite uniforme de polynômes sur la droite réelle

Montrez qu’une fonction polynomiale bornée sur \(\mathbb{R}\) est constante.
Soit \((P_n)\) une suite de fonctions polynomiales qui converge uniformément sur \(\mathbb{R}\) vers une fonction \(f\). Montrez qu’il existe un rang \(N\) tel que \(P_n – P_N\) soit constante pour tout \(n \geq\, N\).
En déduire que \(f\) est une fonction polynomiale.
Montrez que les polynômes \(Q_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\) convergent uniformément vers \(\exp\) sur \([0,1]\), avec \(\|\exp – Q_n\|_\infty \leq\, \frac{e}{(n+1)!}\).
La fonction exponentielle est-elle limite uniforme de polynômes sur \(\mathbb{R}\) ?

Exercice 19 : Approximation explicite de la valeur absolue par des polynômes

On définit une suite de fonctions polynomiales sur \([0,1]\) par \(P_0 = 0\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :

\[P_{n+1}(t) = P_n(t) + \frac{1}{2}(t – P_n(t)^2).\]

Calculez \(P_1\) et \(P_2\).
Montrez par récurrence que, pour tout \(t \in [0,1]\), \(0 \leq\, P_n(t) \leq\, P_{n+1}(t) \leq\, \sqrt{t}\). On pourra factoriser \(\sqrt{t} – P_{n+1}(t)\).
Montrez que \(0 \leq\, \sqrt{t} – P_n(t) \leq\, \sqrt{t}(1 – \frac{\sqrt{t}}{2})^n\).
Étudiez \(\varphi_n(u) = u(1 – \frac{u}{2})^n\) sur \([0,1]\) et en déduire que \(\|\sqrt{\cdot} – P_n\|_\infty \leq\, \frac{2}{n+1}\) sur \([0,1]\).
En déduire une suite explicite de polynômes qui converge uniformément vers \(x \mapsto |x|\) sur \([-1,1]\).

Exercice 20 : Problème, étude d’une fonction définie par une série

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(u_n(x) = e^{-x\sqrt{n}}\), et l’on étudie \(S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-x\sqrt{n}}\).

Partie A : domaine et régularité.

Montrez que la série converge si et seulement si \(x > 0\). On pourra comparer \(u_n(x)\) à \(\frac{1}{n^2}\).
Montrez que la série converge normalement sur \([a, +\infty[\) pour tout \(a > 0\). En déduire que \(S\) est continue sur \(]0, +\infty[\).
Montrez que \(S\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et strictement décroissante sur \(]0, +\infty[\).

Partie B : comportement en l’infini.

Montrez que \(e^{x} S(x) = 1 + \sum_{n=2}^{\infty} e^{-x(\sqrt{n} – 1)}\), puis que cette série converge normalement sur \([1, +\infty[\).
En déduire que \(S(x) \sim e^{-x}\) quand \(x \to +\infty\).

Partie C : comportement en 0.

Soit \(x > 0\). Justifiez l’encadrement \(\int_1^{+\infty} e^{-x\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t \leq\, S(x) \leq\, \int_0^{+\infty} e^{-x\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\).
À l’aide du changement de variable \(t = u^2\), calculez ces deux intégrales.
En déduire que \(S(x) \sim \frac{2}{x^2}\) quand \(x \to 0^+\).
La série converge-t-elle uniformément sur \(]0, +\infty[\) ? Justifiez de deux façons.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L2

Le cours : suites et séries de fonctions, cours de maths en L2
À maîtriser avant : Séries à termes quelconques
Chapitre précédent : Variables aléatoires discrètes
Chapitre suivant : Séries entières
Tester vos connaissances : QCM de maths en L2 par chapitre
Le sommaire : tous les chapitres de maths de L2 et la licence de maths de L1 à L3

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