Trigonalisation et Cayley-Hamilton : cours de maths en L2 en PDF.

Soit \(P = a_0 + a_1 X + \cdots + a_d X^d \in \mathbb{K}[X]\). On pose \[P(u) = a_0 \, \mathrm{id}_E + a_1 u + \cdots + a_d u^d, \qquad P(A) = a_0 I_n + a_1 A + \cdots + a_d A^d,\] où \(u^k\) désigne la composée \(u \circ \cdots \circ u\) (\(k\) fois) et \(u^0 = \mathrm{id}_E\).

Pour tous \(P, Q \in \mathbb{K}[X]\) et \(\lambda \in \mathbb{K}\) : \[(P + \lambda Q)(u) = P(u) + \lambda Q(u), \qquad (PQ)(u) = P(u) \circ Q(u).\] En particulier, \(P(u)\) et \(Q(u)\) commutent. L’ensemble \(\mathbb{K}[u] = \{P(u) \mid P \in \mathbb{K}[X]\}\) est une sous-algèbre commutative de \(\mathcal{L}(E)\).

Soit \(\mathcal{B}\) une base de \(E\) et \(A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)\). Alors \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(P(u)) = P(A)\). De plus, si \(A = Q B Q^{-1}\), alors \(P(A) = Q P(B) Q^{-1}\).

Si \(u(x) = \lambda x\), alors \(P(u)(x) = P(\lambda)\, x\).

La première assertion vient de \(\mathrm{Mat}(u^k) = A^k\) et de la linéarité. Ensuite, \((QBQ^{-1})^k = Q B^k Q^{-1}\), car les facteurs \(Q^{-1} Q\) se simplifient. Enfin, si \(u(x) = \lambda x\), une récurrence donne \(u^k(x) = \lambda^k x\), puis on combine linéairement.

Si \(v\) commute avec \(u\), alors \(\ker P(u)\) et \(\mathrm{Im}\, P(u)\) sont stables par \(v\). En particulier, ils sont stables par \(u\) lui-même.

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) et \(P = X^2 – 1\). On calcule \(A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}\), donc \(P(A) = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}\). On retrouve sur la diagonale \(P(2) = 3\) et \(P(3) = 8\) : c’est un fait général pour les matrices triangulaires.

Un polynôme \(P\) est dit annulateur de \(u\) si \(P(u) = 0\). L’ensemble des polynômes annulateurs de \(u\) est un idéal de \(\mathbb{K}[X]\) : il est stable par somme et par produit par un polynôme quelconque.

Si \(P\) annule \(u\), toute valeur propre de \(u\) est racine de \(P\) : \(\mathrm{Sp}(u) \subset \{\lambda \in \mathbb{K} \mid P(\lambda) = 0\}\).

Soit \(x \neq 0\) tel que \(u(x) = \lambda x\). Alors \(0 = P(u)(x) = P(\lambda) x\). Comme \(x \neq 0\), on obtient \(P(\lambda) = 0\).

La réciproque est fausse. Par exemple, \(X(X – 1)\) annule \(\mathrm{id}_E\), mais \(0\) n’est pas valeur propre de \(\mathrm{id}_E\). Un annulateur localise le spectre ; il ne le détermine pas.

Inverse. Si \(P = a_0 + a_1 X + \cdots + a_d X^d\) annule \(u\) avec \(a_0 \neq 0\), on écrit \(u \circ (a_1 \mathrm{id} + a_2 u + \cdots + a_d u^{d-1}) = -a_0 \, \mathrm{id}\). Donc \(u\) est inversible et \[u^{-1} = -\frac{1}{a_0}(a_1 \mathrm{id} + a_2 u + \cdots + a_d u^{d-1}).\]

Puissance. On effectue la division euclidienne \(X^m = Q P + R\) avec \(\deg R < \deg P\). Alors \(u^m = R(u)\). Pour trouver \(R\), on évalue en les racines de \(P\), et en les dérivées aux racines multiples.

Soit \(A\) telle que \(A^2 – 3A + 2I_n = 0\). D’abord, \(A(3I_n – A) = 2 I_n\), donc \(A^{-1} = \frac{1}{2}(3 I_n – A)\). Ensuite, écrivons \(X^m = Q(X)(X-1)(X-2) + aX + b\). En évaluant en \(1\) et en \(2\), on obtient \(a + b = 1\) et \(2a + b = 2^m\). Ainsi \(a = 2^m – 1\), \(b = 2 – 2^m\), et \(A^m = (2^m – 1) A + (2 – 2^m) I_n\).

Il existe un unique polynôme unitaire \(\mu_u\), appelé polynôme minimal de \(u\), tel que les annulateurs de \(u\) soient exactement les multiples de \(\mu_u\) : \[P(u) = 0 \Leftrightarrow \mu_u \text{ divise } P.\] C’est l’annulateur unitaire non nul de plus petit degré.

Soit \(\mu\) un annulateur unitaire non nul de degré minimal. Soit \(P\) un annulateur. On effectue la division euclidienne \(P = Q\mu + R\) avec \(\deg R < \deg \mu\). Alors \(R(u) = P(u) – Q(u)\mu(u) = 0\). Par minimalité du degré, \(R = 0\), donc \(\mu\) divise \(P\). Enfin, deux tels polynômes unitaires se divisent mutuellement, donc ils sont égaux.

Les racines de \(\mu_u\) dans \(\mathbb{K}\) sont exactement les valeurs propres de \(u\). De plus, la dimension de \(\mathbb{K}[u]\) est égale à \(\deg \mu_u\), et \((\mathrm{id}, u, \ldots, u^{d-1})\) en est une base, où \(d = \deg \mu_u\).

Une valeur propre est racine de \(\mu_u\), qui est annulateur. Réciproquement, soit \(\lambda\) une racine : \(\mu_u = (X – \lambda) Q\) avec \(\deg Q < \deg \mu_u\). Donc \(Q(u) \neq 0\), et il existe \(y\) avec \(x = Q(u)(y) \neq 0\). Alors \((u – \lambda\,\mathrm{id})(x) = \mu_u(u)(y) = 0\) : \(\lambda\) est valeur propre. Pour la dimension, la division par \(\mu_u\) montre que la famille engendre \(\mathbb{K}[u]\). Elle est libre, sinon un annulateur non nul serait de degré \(< d\).

Pour \(D = \mathrm{diag}(2, 2, 3)\), on a \((D – 2I)(D – 3I) = 0\), tandis que \(D – 2I \neq 0\) et \(D – 3I \neq 0\). Donc \(\mu_D = (X – 2)(X – 3)\), de degré \(2\) et non \(3\). En revanche, pour \(T = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\), on a \(T – 2I \neq 0\) mais \((T – 2I)^2 = 0\), donc \(\mu_T = (X – 2)^2\).

Lemme des noyaux. Soient \(P_1, \ldots, P_r \in \mathbb{K}[X]\) deux à deux premiers entre eux, et \(P = P_1 P_2 \cdots P_r\). Alors \[\ker P(u) = \ker P_1(u) \oplus \ker P_2(u) \oplus \cdots \oplus \ker P_r(u).\] De plus, les projecteurs associés à cette décomposition sont des polynômes en \(u\).

Traitons d’abord \(r = 2\). Par Bézout, il existe \(A, B\) tels que \(A P_1 + B P_2 = 1\). Donc \(\mathrm{id} = A(u) P_1(u) + B(u) P_2(u)\).

Somme directe. Si \(x \in \ker P_1(u) \cap \ker P_2(u)\), alors \(x = A(u)P_1(u)(x) + B(u)P_2(u)(x) = 0\).

Inclusions. Comme \(P_1(u)\) et \(P_2(u)\) commutent, \(\ker P_i(u) \subset \ker P(u)\). Réciproquement, soit \(x \in \ker P(u)\). On pose \(x_1 = B(u)P_2(u)(x)\) et \(x_2 = A(u)P_1(u)(x)\). Alors \(x = x_1 + x_2\). De plus, \(P_1(u)(x_1) = B(u)P(u)(x) = 0\), et de même \(P_2(u)(x_2) = 0\).

Le cas général s’obtient par récurrence sur \(r\). En effet, \(P_r\) est premier avec le produit \(P_1 \cdots P_{r-1}\).

Si \(P = P_1 \cdots P_r\) est un annulateur de \(u\), avec des facteurs deux à deux premiers entre eux, alors \(E = \ker P_1(u) \oplus \cdots \oplus \ker P_r(u)\). Chacun de ces sous-espaces est stable par \(u\).

Soit \(s\) une symétrie, c’est-à-dire \(s^2 = \mathrm{id}\). Le polynôme \(X^2 – 1 = (X – 1)(X + 1)\) annule \(s\), et \(X – 1\), \(X + 1\) sont premiers entre eux. Donc \(E = \ker(s – \mathrm{id}) \oplus \ker(s + \mathrm{id})\). La relation \(\frac{1}{2}(X + 1) – \frac{1}{2}(X – 1) = 1\) donne les projecteurs \(\frac{1}{2}(s + \mathrm{id})\) et \(-\frac{1}{2}(s – \mathrm{id})\).

Pour appliquer le lemme des noyaux :

1. trouver un annulateur \(P\) (donné, ou fourni par Cayley-Hamilton) ;
2. le factoriser en facteurs deux à deux premiers entre eux, en regroupant les puissances d’un même facteur irréductible ;
3. écrire \(E\) comme somme directe des noyaux, puis calculer une base de chacun ;
4. si l’on veut les projecteurs, écrire une relation de Bézout explicite.

Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(u\) est diagonalisable ;
2. \(u\) admet un polynôme annulateur scindé sur \(\mathbb{K}\) à racines simples ;
3. \(\mu_u\) est scindé sur \(\mathbb{K}\) à racines simples.

(1) implique (2). Soient \(\lambda_1, \ldots, \lambda_p\) les valeurs propres distinctes. Dans une base de vecteurs propres, \(\prod (u – \lambda_i \mathrm{id})\) annule chaque vecteur de base. Donc \(\prod (X – \lambda_i)\) est un annulateur scindé à racines simples.

(2) implique (1). Soit \(P = \prod_{i=1}^{p} (X – \alpha_i)\) avec des \(\alpha_i\) distincts. Les facteurs sont deux à deux premiers entre eux. Par le lemme des noyaux, \(E = \bigoplus \ker(u – \alpha_i \mathrm{id})\). En réunissant des bases de ces noyaux, on obtient une base de vecteurs propres.

(2) et (3) sont équivalents, car \(\mu_u\) divise tout annulateur, et un diviseur unitaire d’un polynôme scindé à racines simples l’est aussi.

Si \(u\) est diagonalisable et si \(F\) est un sous-espace stable par \(u\), alors l’endomorphisme induit \(u_F\) est diagonalisable. En effet, \(\mu_u\) annule \(u_F\).

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) telle que \(A^3 = I_n\). Le polynôme \(X^3 – 1 = (X – 1)(X – j)(X – j^2)\) est scindé à racines simples sur \(\mathbb{C}\). Donc \(A\) est diagonalisable, à valeurs propres dans \(\{1, j, j^2\}\). En revanche, une matrice nilpotente non nulle n’est jamais diagonalisable : son polynôme minimal \(X^k\), avec \(k \geq\, 2\), a une racine multiple.

Sur \(\mathbb{R}\), il faut vérifier que les racines sont réelles. Par exemple, \(X^2 + 1\) annule \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). Cette matrice est diagonalisable sur \(\mathbb{C}\), mais pas sur \(\mathbb{R}\).

Théorème de Cayley-Hamilton. Pour tout endomorphisme \(u\) de \(E\), on a \(\chi_u(u) = 0\). Par conséquent, \(\mu_u\) divise \(\chi_u\), et \(\deg \mu_u \leq\, n\).

La matrice compagnon de \(P = X^p + a_{p-1}X^{p-1} + \cdots + a_0\) est la matrice \(C_P\) dont la sous-diagonale est formée de \(1\), dont la dernière colonne vaut \((-a_0, \ldots, -a_{p-1})\) et dont les autres coefficients sont nuls. Son polynôme caractéristique est \(P\).

Lemme. Dans \(\det(X I_p – C_P)\), on ajoute à la première ligne \(X\) fois la deuxième, \(X^2\) fois la troisième, et ainsi de suite. La première ligne devient \((0, \ldots, 0, P(X))\). On développe alors selon cette ligne ; le cofacteur restant est le déterminant d’une matrice triangulaire de diagonale \(-1\), et les signes se compensent. On obtient \(P\).

Théorème. Soit \(x \neq 0\) et \(p\) le plus grand entier tel que \((x, u(x), \ldots, u^{p-1}(x))\) soit libre. Alors \(u^p(x) = -(a_0 x + \cdots + a_{p-1} u^{p-1}(x))\). Le sous-espace \(F\) engendré par cette famille est stable par \(u\). Dans cette base, la matrice de \(u_F\) est \(C_P\), avec \(P = X^p + \cdots + a_0\). En complétant la base, la matrice de \(u\) est triangulaire par blocs, donc \(\chi_u = P \cdot R\). Finalement, \(\chi_u(u)(x) = R(u)\big(P(u)(x)\big) = 0\), car \(P(u)(x) = 0\) par construction. Ceci vaut pour tout \(x\), d’où \(\chi_u(u) = 0\).

En dimension \(2\), \(\chi_A = X^2 – \mathrm{tr}(A) X + \det(A)\). Le théorème s’écrit donc \(A^2 – \mathrm{tr}(A) A + \det(A) I_2 = 0\). Si \(\det A \neq 0\), on en déduit \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}(A) I_2 – A)\).

L’argument « on remplace \(X\) par \(A\) dans \(\det(XI – A)\) » est faux. Il donnerait le scalaire \(\det(A – A) = 0\), alors que \(\chi_A(A)\) est une matrice. La démonstration exige un vrai raisonnement.

On dit que \(u\) est trigonalisable s’il existe une base de \(E\) dans laquelle sa matrice est triangulaire supérieure. Une matrice \(A\) est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.

L’endomorphisme \(u\) est trigonalisable si et seulement si \(\chi_u\) est scindé sur \(\mathbb{K}\). C’est aussi équivalent à l’existence d’un polynôme annulateur scindé sur \(\mathbb{K}\). En particulier, toute matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) est trigonalisable.

Si la matrice est triangulaire de diagonale \((t_{11}, \ldots, t_{nn})\), alors \(\chi_u = \prod (X – t_{ii})\) est scindé.

Réciproquement, on raisonne par récurrence sur \(n\). Le cas \(n = 1\) est clair. Si \(\chi_u\) est scindé, il a une racine \(\lambda\), donc un vecteur propre \(e_1\). On complète en une base ; la matrice de \(u\) s’écrit \(\begin{pmatrix} \lambda & L \\ 0 & B \end{pmatrix}\), avec \(B\) carrée d’ordre \(n – 1\). Alors \(\chi_u = (X – \lambda)\chi_B\), donc \(\chi_B\) est scindé. Par hypothèse de récurrence, \(B = Q T^{\prime} Q^{-1}\) avec \(T^{\prime}\) triangulaire. La matrice de passage \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q \end{pmatrix}\) rend alors la matrice de \(u\) triangulaire.

Enfin, si un annulateur \(P\) est scindé sur \(\mathbb{K}\), toute racine complexe de \(\chi_u\) est valeur propre complexe, donc racine de \(P\), donc dans \(\mathbb{K}\). Ainsi \(\chi_u\) est scindé. La réciproque résulte de Cayley-Hamilton.

Si \(\chi_A\) est scindé de racines \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) comptées avec multiplicité, alors \(\mathrm{tr}(A) = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n\) et \(\det(A) = \lambda_1 \cdots \lambda_n\).

Pour trigonaliser \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{K})\) avec \(\chi_A\) scindé :

1. calculer \(\chi_A\) et ses racines ;
2. déterminer les sous-espaces propres ; s’ils fournissent une base, \(A\) est diagonalisable ;
3. sinon, pour une valeur propre \(\lambda\) double, choisir \(v_2\) dans \(\ker(A – \lambda I)^2\) hors de \(\ker(A – \lambda I)\) et poser \(v_1 = (A – \lambda I) v_2\) ; alors \(A v_2 = \lambda v_2 + v_1\) ;
4. compléter par un vecteur propre de l’autre valeur propre, puis écrire \(P\) et \(T = P^{-1}AP\), en lisant \(T\) colonne par colonne.

Soit \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\). Alors \(\chi_A = X^2 – 4X + 4 = (X – 2)^2\). Le noyau de \(A – 2I = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\) est la droite engendrée par \(v_1 = (1, -1)\). Donc \(A\) n’est pas diagonalisable. On choisit \(v_2 = (1, 0)\). Alors \(A v_2 = (3, -1) = 2 v_2 + v_1\). Dans la base \((v_1, v_2)\), la matrice est \(T = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\).

Supposons \(\chi_u = \prod_{i=1}^{p} (X – \lambda_i)^{m_i}\) scindé, avec des \(\lambda_i\) distincts. Le sous-espace caractéristique associé à \(\lambda_i\) est \(N_i = \ker (u – \lambda_i \mathrm{id})^{m_i}\).

On a \(E = N_1 \oplus \cdots \oplus N_p\). Chaque \(N_i\) est stable par \(u\) et \(\dim N_i = m_i\). La restriction de \(u – \lambda_i \mathrm{id}\) à \(N_i\) est nilpotente. Dans une base adaptée, la matrice de \(u\) est diagonale par blocs, chaque bloc étant triangulaire de diagonale constante \(\lambda_i\).

Les polynômes \((X – \lambda_i)^{m_i}\) sont deux à deux premiers entre eux, car leurs racines sont distinctes. Par Cayley-Hamilton, leur produit \(\chi_u\) annule \(u\). Le lemme des noyaux donne donc la somme directe. Chaque \(N_i\) est un noyau de polynôme en \(u\), donc il est stable.

Notons \(u_i\) la restriction de \(u\) à \(N_i\) et \(d_i = \dim N_i\). Le polynôme \((X – \lambda_i)^{m_i}\) annule \(u_i\), donc \(\lambda_i\) est sa seule valeur propre. Comme \(\chi_{u_i}\) divise \(\chi_u\), il est scindé, d’où \(\chi_{u_i} = (X – \lambda_i)^{d_i}\). La matrice diagonale par blocs donne \(\chi_u = \prod (X – \lambda_i)^{d_i}\). Par unicité de la factorisation, \(d_i = m_i\).

On a toujours \(\ker(u – \lambda_i \mathrm{id}) \subset N_i\). L’endomorphisme \(u\) est diagonalisable si et seulement si ces inclusions sont des égalités pour tout \(i\). Le sous-espace caractéristique « corrige » donc le manque de vecteurs propres.

L’endomorphisme \(u\) est nilpotent s’il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(u^k = 0\). Le plus petit tel entier est l’indice de nilpotence de \(u\).

Si \(u\) est nilpotent d’indice \(k\), alors :

1. \(\mu_u = X^k\) et \(k \leq\, n\), donc \(u^n = 0\) ;
2. \(\chi_u = X^n\), \(0\) est la seule valeur propre et \(\mathrm{tr}(u) = 0\) ;
3. \(u\) est trigonalisable avec une diagonale nulle ;
4. \(\mathrm{id} – u\) est inversible, d’inverse \(\mathrm{id} + u + \cdots + u^{k-1}\).

Réciproquement, si \(\chi_u = X^n\), alors \(u\) est nilpotent, par Cayley-Hamilton.

Le polynôme \(X^k\) annule \(u\), donc \(\mu_u\) divise \(X^k\) ; par minimalité de \(k\), \(\mu_u = X^k\). Cayley-Hamilton donne \(k = \deg \mu_u \leq\, n\). Ensuite, \(X^k\) est scindé, donc \(u\) est trigonalisable. Sa seule valeur propre est \(0\), donc la diagonale est nulle et \(\chi_u = X^n\). Enfin, \((\mathrm{id} – u)(\mathrm{id} + u + \cdots + u^{k-1}) = \mathrm{id} – u^k = \mathrm{id}\).

Dans la base \((u^3(x), u^2(x), u(x), x)\), la matrice de \(u\) est \(J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). Chaque colonne exprime l’image du vecteur de base correspondant. Par exemple, \(u(x)\) est le troisième vecteur de base, d’où le \(1\) en position \((3, 4)\).