Intégrales généralisées : exercices de maths en L2 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Calculs directs par primitive

Pour chaque intégrale, précisez la ou les bornes impropres, puis déterminez sa nature en revenant à la définition. En cas de convergence, donnez sa valeur.

1. \(\displaystyle \int_0^{+\infty} t e^{-t^2}\,dt\).
2. \(\displaystyle \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1 – t}}\).
3. \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dt}{1 + t^2}\).
4. \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{dt}{1 + t}\).
5. \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \cos t\,dt\).

Exercice 2 : Comparaison avec les intégrales de Riemann

Déterminez la nature des intégrales suivantes, en utilisant une intégrale de Riemann comme référence.

1. \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + \sqrt{t}}\).
2. \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{t + 1}{t^2 + 3}\,dt\).
3. \(\displaystyle \int_0^1 \frac{dt}{t + \sqrt{t}}\). Calculez ensuite sa valeur à l’aide du changement de variable \(u = \sqrt{t}\).
4. \(\displaystyle \int_0^1 \frac{dt}{\sin t}\).
5. \(\displaystyle \int_1^{+\infty} e^{-\sqrt{t}}\,dt\).

Exercice 3 : Intégrales faussement généralisées

1. Montrez que \(\displaystyle \int_0^1 \frac{\sin t}{t}\,dt\) est faussement généralisée.
2. Montrez que \(\displaystyle \int_0^1 \frac{1 – \cos t}{t^2}\,dt\) est faussement généralisée.
3. Justifiez la convergence de \(\displaystyle \int_0^1 t \ln t\,dt\) et calculez sa valeur en travaillant sur un segment \([x, 1]\).

Exercice 4 : Primitives et intégrales de Bertrand

À l’aide d’une primitive, déterminez la nature et, s’il y a lieu, la valeur de :

1. \(\displaystyle \int_2^{+\infty} \frac{dt}{t \ln t}\).
2. \(\displaystyle \int_2^{+\infty} \frac{dt}{t (\ln t)^2}\).
3. \(\displaystyle \int_0^{1/2} \frac{dt}{t (\ln t)^2}\).
4. \(\displaystyle \int_e^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\,dt\).

Exercice 5 : Changements de variable

Justifiez la convergence, puis calculez les intégrales suivantes à l’aide du changement de variable indiqué.

1. \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{dt}{e^t + e^{-t}}\), avec \(u = e^t\).
2. \(\displaystyle \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t(1 – t)}}\), avec \(t = \sin^2 \theta\), \(\theta \in ]0, \pi/2[\).
3. \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t \sqrt{t^2 – 1}}\), avec \(u = \sqrt{t^2 – 1}\).

Exercice 6 : Une intégrale impropre aux deux bornes

On considère \(\displaystyle I = \int_0^{+\infty} \frac{dt}{\sqrt{t}\,(1 + t)}\).

1. Expliquez pourquoi il faut étudier séparément le comportement en \(0\) et en \(+\infty\).
2. Montrez que \(I\) converge à l’aide d’équivalents.
3. Calculez \(I\) avec le changement de variable \(t = u^2\).

Exercice 7 : Une famille à paramètre

Pour \(\alpha \in \mathbb{R}\), on pose \(\displaystyle J(\alpha) = \int_0^{+\infty} \frac{t^\alpha}{1 + t^2}\,dt\).

1. Déterminez l’ensemble des réels \(\alpha\) pour lesquels \(J(\alpha)\) converge.
2. Calculez \(J(0)\).
3. Pour \(\alpha\) dans cet ensemble, montrez que \(J(\alpha) = J(-\alpha)\) à l’aide du changement de variable \(u = 1/t\).

Exercice 8 : La fonction Gamma

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on considère \(\displaystyle \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\,dt\).

1. Montrez que cette intégrale converge si et seulement si \(x > 0\).
2. Soit \(x > 0\). En justifiant une intégration par parties sur \(]0, +\infty[\), montrez que \(\Gamma(x + 1) = x\,\Gamma(x)\).
3. Calculez \(\Gamma(1)\), puis \(\Gamma(n + 1)\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
4. Montrez que \(\Gamma(1/2) = 2 \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-u^2}\,du\).

Exercice 9 : Intégrale du logarithme du sinus

On pose \(\displaystyle I = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin t)\,dt\) et \(\displaystyle J = \int_0^{\pi/2} \ln(\cos t)\,dt\).

1. Montrez que \(I\) converge. On pourra écrire \(\ln(\sin t) = \ln t + \ln( \frac{\sin t}{t} )\).
2. Montrez que \(J\) converge et que \(J = I\).
3. Montrez que \(\displaystyle \int_0^{\pi} \ln(\sin u)\,du = 2I\).
4. En calculant \(I + J\) à l’aide de la formule \(\sin 2t = 2 \sin t \cos t\), déduisez-en la valeur de \(I\).

Exercice 10 : Intégrales de Bertrand en zéro

Pour \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\), on étudie \(\displaystyle K(\alpha, \beta) = \int_0^{1/2} \frac{dt}{t^\alpha\,|\ln t|^\beta}\).

1. À l’aide du changement de variable \(u = 1/t\), transformez \(K(\alpha, \beta)\) en une intégrale sur \([2, +\infty[\).
2. Déduisez-en, grâce au théorème sur les intégrales de Bertrand, les couples \((\alpha, \beta)\) pour lesquels \(K(\alpha, \beta)\) converge.
3. Application : nature de \(\displaystyle \int_0^{1/2} \frac{dt}{t \sqrt{|\ln t|}}\) et de \(\displaystyle \int_0^{1/2} \frac{|\ln t|^{5}}{\sqrt{t}}\,dt\).

Exercice 11 : Nature par développement asymptotique

Déterminez la nature des intégrales suivantes à l’aide d’un développement limité ou asymptotique de l’intégrande.

1. \(\displaystyle \int_1^{+\infty} ( \frac{1}{t} – \sin \frac{1}{t} ) dt\).
2. \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \ln( \cos \frac{1}{t} ) dt\).
3. \(\displaystyle \int_1^{+\infty} ( ( 1 + \frac{1}{t} )^t – e ) dt\).
4. \(\displaystyle \int_0^1 ( \frac{1}{\sin t} – \frac{1}{t} ) dt\).

Exercice 12 : Convergence absolue

Montrez que les intégrales suivantes sont absolument convergentes.

1. \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2}\,dt\).
2. \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{3/2}}\,dt\).
3. \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\cos(t) \ln t}{t^2}\,dt\).
4. \(\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-t} \cos t\,dt\). Calculez de plus sa valeur, en passant par \(\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{(-1 + i)t}\,dt\).

Exercice 13 : Semi-convergence de l’intégrale de sin(t)/t

1. Montrez par une intégration par parties sur \([1, x]\) que \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt\) converge.
2. Vérifiez que \(|\sin t| \geq\, \sin^2 t\) pour tout réel \(t\), puis que \(\sin^2 t = \frac{1 – \cos 2t}{2}\).
3. Montrez que \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\cos 2t}{t}\,dt\) converge, puis que \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}\,dt\) diverge.
4. Concluez sur la nature de \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt\).

Exercice 14 : Règle d’Abel

1. Soit \(\alpha > 0\). Montrez que \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t^\alpha}\,dt\) converge. Montrez qu’elle converge absolument si et seulement si \(\alpha > 1\).
2. Montrez que \(\displaystyle \int_2^{+\infty} \frac{\sin t}{\ln t}\,dt\) est semi-convergente.
3. Montrez que \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \sin(t) \sin( \frac{1}{t} ) dt\) est semi-convergente. On admettra l’inégalité \(\sin x \geq\, \frac{2}{\pi} x\) pour \(x \in [0, \pi/2]\).

Exercice 15 : Équivalence sans signe constant

Sur \([1, +\infty[\), on pose \(\displaystyle f(t) = \frac{\sin t}{\sqrt{t}}\) et \(\displaystyle g(t) = \frac{\sin t}{\sqrt{t}} + \frac{\sin^2 t}{t}\). La figure ci-dessous représente ces deux fonctions.

1. Montrez que \(\int_1^{+\infty} f\) converge.
2. Montrez que \(g = f\,(1 + \varepsilon)\) avec \(\varepsilon(t) \to 0\) en \(+\infty\), autrement dit \(g \sim f\).
3. Montrez que \(\int_1^{+\infty} g\) diverge.
4. Quelle hypothèse du critère d’équivalence n’est pas satisfaite ici ?

Exercice 16 : Critère de Cauchy et fonctions décroissantes

Soit \(f\) continue, positive et décroissante sur \([0, +\infty[\), telle que \(\int_0^{+\infty} f\) converge.

1. Montrez que \(f\) tend vers \(0\) en \(+\infty\).
2. Montrez que \(\displaystyle \frac{x}{2} f(x) \leq\, \int_{x/2}^{x} f(t)\,dt\) pour \(x > 0\). À l’aide du critère de Cauchy, déduisez-en que \(x f(x) \to 0\).
3. Montrez que la réciproque est fausse, en étudiant \(f(t) = \frac{1}{t \ln t}\) sur \([2, +\infty[\).

Exercice 17 : Comparaison série-intégrale

Soit \(f(t) = \dfrac{1}{t \ln t}\) sur \([2, +\infty[\). On pose \(\displaystyle S_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \ln k}\). La figure ci-dessous représente la courbe de \(f\) et les rectangles de hauteur \(f(k)\).

1. Montrez que \(f\) est décroissante sur \([2, +\infty[\).
2. Montrez que \(\ln(\ln(n+1)) – \ln(\ln 2) \leq\, S_n \leq\, f(2) + \ln(\ln n) – \ln(\ln 2)\) pour \(n \geq\, 2\).
3. Déduisez-en la nature de \(\sum \frac{1}{n \ln n}\) et l’équivalent \(S_n \sim \ln(\ln n)\).
4. Par la même méthode, montrez que \(\sum \frac{1}{n (\ln n)^2}\) converge et que son reste \(R_n = \sum_{k > n} \frac{1}{k (\ln k)^2}\) vérifie \(R_n \sim \frac{1}{\ln n}\).

Exercice 18 : Intégration des relations de comparaison

1. Justifiez la convergence de \(\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,dt\). Pour \(x > 0\), montrez à l’aide d’une intégration par parties que
   \[\int_x^{+\infty} e^{-t^2}\,dt = \frac{e^{-x^2}}{2x} – \int_x^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{2t^2}\,dt.\]
2. Déduisez-en que \(\displaystyle \int_x^{+\infty} e^{-t^2}\,dt \sim \frac{e^{-x^2}}{2x}\) quand \(x \to +\infty\).
3. Pour \(x \geq\, 2\), on pose \(\displaystyle L(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t}\). Montrez que \(L(x) \to +\infty\), puis que \(\displaystyle L(x) \sim \frac{x}{\ln x}\).

Exercice 19 : Intégrales de Fresnel

1. Montrez que \(\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{\sin u}{\sqrt{u}}\,du\) converge.
2. Déduisez-en que \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \sin(t^2)\,dt\) converge.
3. Montrez que \(t \mapsto \sin(t^2)\) n’a pas de limite en \(+\infty\).
4. Montrez que \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \sin(t^2)\,dt\) n’est pas absolument convergente.
5. Montrez que \(\displaystyle \int_0^{+\infty} t \sin(t^4)\,dt\) converge, alors que \(t \mapsto t \sin(t^4)\) n’est pas bornée.

La figure ci-dessous montre les oscillations de \(\sin(t^2)\), de plus en plus rapides.

Exercice 20 : Intégrales de Frullani

Soient \(a\) et \(b\) deux réels avec \(0 < a < b\).

1. Montrez que \(\displaystyle F = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-at} – e^{-bt}}{t}\,dt\) converge.
2. Pour \(0 < \varepsilon < X\), montrez que
   \[\int_\varepsilon^X \frac{e^{-at} – e^{-bt}}{t}\,dt = \int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon} \frac{e^{-u}}{u}\,du – \int_{aX}^{bX} \frac{e^{-u}}{u}\,du.\]
3. Encadrez chacune de ces deux intégrales, puis montrez que \(F = \ln \dfrac{b}{a}\).
4. Par la même méthode, montrez que \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(bt) – \arctan(at)}{t}\,dt\) converge et vaut \(\dfrac{\pi}{2} \ln \dfrac{b}{a}\).

Exercice 21 : Problème, valeur de l’intégrale de Dirichlet

On admet (exercice 13) que \(\displaystyle D = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt\) converge. On se propose de montrer que \(D = \dfrac{\pi}{2}\).

1. Pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(t \in ]0, \pi/2]\), montrez que \(\displaystyle \frac{\sin((2n+1)t)}{\sin t} = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n} \cos(2kt)\). En déduire que \(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n+1)t)}{\sin t}\,dt = \frac{\pi}{2}\).
2. Lemme de Riemann-Lebesgue. Soit \(\varphi\) de classe \(C^1\) sur un segment \([\alpha, \beta]\). Montrez que \(\displaystyle \int_\alpha^\beta \varphi(t) \sin(\lambda t)\,dt \to 0\) quand \(\lambda \to +\infty\).
3. On pose \(\varphi(t) = \dfrac{1}{t} – \dfrac{1}{\sin t}\) pour \(t \in ]0, \pi/2]\) et \(\varphi(0) = 0\). Montrez que \(\varphi\) est de classe \(C^1\) sur \([0, \pi/2]\).
4. Déduisez-en que \(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n+1)t)}{t}\,dt \to \frac{\pi}{2}\), puis que \(D = \dfrac{\pi}{2}\).

Exercice 22 : Problème, intégrale de Gauss

On pose \(\displaystyle G = \int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,dt\), dont la convergence a été établie à l’exercice 18. On note \(\displaystyle W_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n \theta\,d\theta\) les intégrales de Wallis, et l’on admet l’équivalent \(W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}\).

1. À l’aide de l’inégalité \(\ln(1 + u) \leq\, u\) pour \(u > -1\), montrez que pour tout \(n \geq\, 1\) :
   \[\forall t \in [0, \sqrt{n}[,\ ( 1 – \frac{t^2}{n} )^n \leq\, e^{-t^2} \quad \text{et} \quad \forall t \geq\, 0,\ e^{-t^2} \leq\, ( 1 + \frac{t^2}{n} )^{-n}.\]
2. Montrez que \(\displaystyle \int_0^{\sqrt{n}} ( 1 – \frac{t^2}{n} )^n dt = \sqrt{n}\,W_{2n+1}\), avec \(t = \sqrt{n} \sin \theta\).
3. Montrez que \(\displaystyle \int_0^{+\infty} ( 1 + \frac{t^2}{n} )^{-n} dt = \sqrt{n}\,W_{2n-2}\), avec \(t = \sqrt{n} \tan \theta\).
4. Déduisez-en l’encadrement \(\sqrt{n}\,W_{2n+1} \leq\, G \leq\, \sqrt{n}\,W_{2n-2}\), puis la valeur \(G = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\).
5. Déduisez-en \(\Gamma(1/2)\), avec les notations de l’exercice 8.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L2

• Le cours : intégrales généralisées, cours de maths en L2
• À maîtriser avant : Séries numériques à termes positifs
• Chapitre précédent : Séries à termes quelconques
• Chapitre suivant : Valeurs propres et diagonalisation
• Le même thème en maths spé : intégrales généralisées, exercices de maths spé
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L2 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L2 et la licence de maths de L1 à L3