Géométrie affine : cours de maths en L2 en PDF.

Un espace affine de direction \(E\) est un ensemble non vide \(\mathcal{E}\) muni d’une application \((A, u) \mapsto A + u\) de \(\mathcal{E} \times E\) dans \(\mathcal{E}\) telle que :

• pour tout \(A \in \mathcal{E}\), \(A + 0 = A\), et pour tous \(u, v \in E\), \((A + u) + v = A + (u + v)\) ;
• pour tous \(A, B \in \mathcal{E}\), il existe un unique vecteur \(u \in E\) tel que \(B = A + u\). On le note \(\vec{AB}\).

L’espace vectoriel \(E\) s’appelle la direction de \(\mathcal{E}\), et la dimension de \(\mathcal{E}\) est celle de \(E\).

Tout espace vectoriel \(E\) est un espace affine sur lui-même, avec \(\vec{AB} = B – A\). C’est la structure affine canonique de \(\mathbb{R}^n\). De même, l’ensemble des solutions d’un système linéaire compatible \(MX = b\) est un espace affine. En effet, sa direction est le noyau \(\ker M\), puisque la différence de deux solutions est solution du système homogène.

Une partie \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{E}\) est un sous-espace affine s’il existe un point \(A \in \mathcal{E}\) et un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) tels que \(\mathcal{F} = A + F = \{A + u,\ u \in F\}\).

Si \(\mathcal{F} = A + F\), alors pour tout \(B \in \mathcal{F}\), on a \(\mathcal{F} = B + F\). De plus, \(F = \{\vec{MN},\ M, N \in \mathcal{F}\}\). Le sous-espace \(F\), noté \(\vec{\mathcal{F}}\), est donc déterminé par \(\mathcal{F}\) : c’est sa direction.

Soit \(B = A + w\) avec \(w \in F\). Pour \(u \in F\), on a \(A + u = B + (u – w)\) et \(u – w \in F\). Donc \(A + F \subset B + F\). L’inclusion réciproque se traite de même, car \(-w \in F\). Ensuite, si \(M = A + u\) et \(N = A + v\), alors \(\vec{MN} = v – u \in F\). Inversement, tout \(u \in F\) s’écrit \(\vec{AM}\) avec \(M = A + u\).

Deux sous-espaces affines \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont parallèles s’ils ont la même direction. On dit que \(\mathcal{F}\) est faiblement parallèle à \(\mathcal{G}\) si \(\vec{\mathcal{F}} \subset \vec{\mathcal{G}}\).

Soient \(\mathcal{F} = A + F\) et \(\mathcal{G} = B + G\) deux sous-espaces affines.

• L’intersection \(\mathcal{F} \cap \mathcal{G}\) est vide ou c’est un sous-espace affine de direction \(F \cap G\).
• On a \(\mathcal{F} \cap \mathcal{G} \neq \emptyset\) si et seulement si \(\vec{AB} \in F + G\).

Si \(C \in \mathcal{F} \cap \mathcal{G}\), alors \(\mathcal{F} = C + F\) et \(\mathcal{G} = C + G\). Par conséquent, \(C + u\) appartient aux deux si et seulement si \(u \in F \cap G\). Pour le critère, supposons d’abord \(C\) commun. Alors \(\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}\), avec \(\vec{AC} \in F\) et \(\vec{CB} \in G\). Réciproquement, si \(\vec{AB} = u + v\) avec \(u \in F\) et \(v \in G\), le point \(C = A + u\) est dans \(\mathcal{F}\). De plus, \(C = B – v\) est dans \(\mathcal{G}\).

Pour étudier la position relative de deux sous-espaces affines \(A + F\) et \(B + G\) :

• comparer d’abord les directions \(F\) et \(G\) (égales, incluses, en somme directe) ;
• tester ensuite si \(\vec{AB} \in F + G\) pour savoir s’ils se coupent ;
• enfin, si c’est le cas, l’intersection a pour direction \(F \cap G\) ; un point commun suffit alors à la décrire.

Un repère cartésien de \(\mathcal{E}\) est un couple \(\mathcal{R} = (O, \mathcal{B})\) formé d’un point \(O\) et d’une base \(\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)\) de \(E\). Les coordonnées de \(M\) dans \(\mathcal{R}\) sont les coordonnées de \(\vec{OM}\) dans \(\mathcal{B}\).

Dans un repère cartésien, une partie \(\mathcal{H}\) est un hyperplan affine si et seulement si elle admet une équation de la forme

\[a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b, \quad (a_1, \ldots, a_n) \neq (0, \ldots, 0).\]

Deux équations définissent le même hyperplan si et seulement si elles sont proportionnelles.

Un hyperplan vectoriel est le noyau d’une forme linéaire non nulle \(\varphi\). Si \(\mathcal{H} = A + \ker \varphi\), alors \(M \in \mathcal{H}\) équivaut à \(\varphi(\vec{AM}) = 0\). Autrement dit, \(\varphi(\vec{OM}) = \varphi(\vec{OA})\). En coordonnées, c’est l’équation annoncée avec \(b = \varphi(\vec{OA})\). Réciproquement, une telle équation est compatible, car un coefficient \(a_i\) est non nul. Elle définit donc \(A + \ker \varphi\) pour n’importe quelle solution \(A\).

Pour trouver une équation de l’hyperplan \(A + \mathrm{Vect}(u_1, \ldots, u_{n-1})\) de \(\mathbb{R}^n\) :

• soit on écrit que \(\det(\vec{AM}, u_1, \ldots, u_{n-1}) = 0\) et on développe ;
• soit on cherche \((a_1, \ldots, a_n)\) orthogonal, pour le produit usuel, à chaque \(u_i\), puis on calcule \(b\) avec le point \(A\).

Pour passer d’un système d’équations à une représentation paramétrique, on résout le système : les inconnues libres deviennent les paramètres.

Cherchons le plan de \(\mathbb{R}^3\) passant par \(A(1, 0, 0)\), \(B(0, 2, 0)\) et \(C(0, 0, 3)\). On a \(\vec{AB} = (-1, 2, 0)\) et \(\vec{AC} = (-1, 0, 3)\). Le vecteur \((6, 3, 2)\) est orthogonal aux deux. L’équation s’écrit donc \(6x + 3y + 2z = b\). Enfin, le point \(A\) donne \(b = 6\). Le plan a pour équation \(6x + 3y + 2z = 6\), c’est-à-dire \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\).

Soient des points \(A_1, \ldots, A_k\) et des réels \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\) de somme \(\Lambda = \sum \lambda_i\). Le vecteur \(\sum_i \lambda_i \vec{MA_i}\) ne dépend pas de \(M\) si \(\Lambda = 0\). Si \(\Lambda \neq 0\), il existe un unique point \(G\) tel que

\[\sum_{i=1}^{k} \lambda_i \vec{GA_i} = 0 .\]

Par la relation de Chasles, \(\sum \lambda_i \vec{MA_i} = \Lambda\, \vec{MO} + \sum \lambda_i \vec{OA_i}\) pour tout point \(O\). Si \(\Lambda = 0\), le résultat ne dépend donc pas de \(M\). Sinon, l’égalité à 0 équivaut à \(\vec{OG} = \frac{1}{\Lambda} \sum \lambda_i \vec{OA_i}\). Ceci définit un point unique.

Le point \(G\) est le barycentre du système pondéré \(((A_1, \lambda_1), \ldots, (A_k, \lambda_k))\). On le note \(\mathrm{bar}\{(A_i, \lambda_i)\}\). Quand tous les poids sont égaux, on parle d’isobarycentre. Pour deux points, l’isobarycentre est le milieu.

Homogénéité : multiplier tous les poids par un même réel non nul ne change pas le barycentre. Associativité : dans un système pondéré de somme non nulle, on peut remplacer un sous-système de poids total \(\mu \neq 0\) par son barycentre affecté du poids \(\mu\), sans changer le barycentre global.

Soit \(G = \mathrm{bar}\{(A, 2), (B, 1), (C, 1)\}\). Le sous-système \(\{(B, 1), (C, 1)\}\) a pour barycentre le milieu \(I\) de \([BC]\), de poids 2. Donc \(G = \mathrm{bar}\{(A, 2), (I, 2)\}\) : c’est le milieu de \([AI]\). La figure ci-dessous illustre cette réduction.

Une partie non vide \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{E}\) est un sous-espace affine si et seulement si elle est stable par barycentres. De plus, le sous-espace affine engendré par \(A_0, \ldots, A_k\) est l’ensemble de leurs barycentres.

Si \(\mathcal{F} = A + F\) et \(A_i \in \mathcal{F}\), alors \(\vec{AG} = \frac{1}{\Lambda} \sum \lambda_i \vec{AA_i}\) appartient à \(F\). Donc \(G \in \mathcal{F}\). Réciproquement, soit \(\mathcal{F}\) stable et \(A \in \mathcal{F}\). On pose \(F = \{\vec{AM},\ M \in \mathcal{F}\}\). Pour \(M, N \in \mathcal{F}\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\), le point \(P = \mathrm{bar}\{(A, -\lambda), (M, \lambda), (N, 1)\}\) vérifie \(\vec{AP} = \lambda \vec{AM} + \vec{AN}\). Ainsi, \(F\) est un sous-espace vectoriel et \(\mathcal{F} = A + F\).

Une famille \((A_0, \ldots, A_n)\) est un repère affine si les vecteurs \(\vec{A_0A_1}, \ldots, \vec{A_0A_n}\) forment une base de \(E\). Tout point \(M\) s’écrit alors de manière unique \(M = \mathrm{bar}\{(A_i, \lambda_i)\}\) avec \(\sum \lambda_i = 1\). Les réels \((\lambda_0, \ldots, \lambda_n)\) sont les coordonnées barycentriques de \(M\).

Pour montrer que trois points \(P, Q, R\) sont alignés, on cherche à écrire l’un d’eux comme barycentre des deux autres. Pour cela, on exprime chaque point comme barycentre de points de référence (les sommets d’un triangle, par exemple). Ensuite, on ajuste les poids par homogénéité pour faire apparaître une relation \(\alpha P + \beta Q = (\alpha + \beta) R\) après vectorialisation en un point \(O\).

Soient \(\mathcal{E}\) et \(\mathcal{E}^{\prime}\) deux espaces affines de directions \(E\) et \(E^{\prime}\). Une application \(f : \mathcal{E} \to \mathcal{E}^{\prime}\) est affine s’il existe un point \(A\) et une application linéaire \(\varphi : E \to E^{\prime}\) tels que, pour tout \(M\),

\[f(M) = f(A) + \varphi(\vec{AM}).\]

L’application \(\varphi\), notée \(\vec{f}\), est la partie linéaire de \(f\).

Une application \(f\) est affine si et seulement si elle conserve les barycentres : \(f(\mathrm{bar}\{(A_i, \lambda_i)\}) = \mathrm{bar}\{(f(A_i), \lambda_i)\}\).

En coordonnées, \(f\) est affine si et seulement si elle s’écrit \(X \mapsto MX + B\), où \(M\) est la matrice de \(\vec{f}\).

Si \(f\) est affine et \(G = \mathrm{bar}\{(A_i, \lambda_i)\}\), on écrit \(0 = \sum \lambda_i \vec{GA_i}\). En appliquant \(\vec{f}\), on obtient \(0 = \sum \lambda_i \vec{f(G)f(A_i)}\). Donc \(f(G)\) est le barycentre voulu. Réciproquement, fixons \(A\) et posons \(\varphi(u) = \vec{f(A)f(A + u)}\). Le point \(A + \lambda u + v\) est le barycentre de \((A, -\lambda), (A + u, \lambda), (A + v, 1)\). La conservation des barycentres donne alors \(\varphi(\lambda u + v) = \lambda \varphi(u) + \varphi(v)\).

• La composée de deux applications affines est affine, et \(\vec{g \circ f} = \vec{g} \circ \vec{f}\).
• Une application affine est bijective si et seulement si sa partie linéaire l’est. Sa réciproque est alors affine.
• L’image d’un sous-espace affine \(A + F\) est le sous-espace affine \(f(A) + \vec{f}(F)\). Par suite, une application affine conserve l’alignement et le parallélisme.
• Si \(1\) n’est pas valeur propre de \(\vec{f}\), alors \(f\) possède un unique point fixe.

L’application \(f(x, y) = (x – y + 2,\ x + y)\) est affine. Sa partie linéaire a pour matrice \(\begin{pmatrix} 1 -1 \\ 1 1 \end{pmatrix}\), de déterminant 2 : \(f\) est donc bijective. Son point fixe vérifie \(x – y + 2 = x\) et \(x + y = y\), d’où \(\Omega = (0, 2)\). En revanche, \((x, y) \mapsto (x^2, y)\) n’est pas affine : elle n’envoie pas le milieu de \((-1, 0)\) et \((1, 0)\) sur le milieu des images.

La translation de vecteur \(u\) est \(t_u : M \mapsto M + u\). L’homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(\lambda \neq 0\) est \(h_{\Omega, \lambda} : M \mapsto \Omega + \lambda\, \vec{\Omega M}\).

Soit \(f\) affine de partie linéaire \(\lambda\, \mathrm{id}\).

• Si \(\lambda = 1\), \(f\) est une translation.
• Si \(\lambda \neq 1\), \(f\) est une homothétie de rapport \(\lambda\) dont le centre est son unique point fixe.

Par conséquent, les translations et les homothéties forment un groupe. La composée \(h_{A, \lambda} \circ h_{B, \mu}\) est une homothétie de rapport \(\lambda \mu\) si \(\lambda \mu \neq 1\), et une translation sinon.

Si \(\vec{f} = \mathrm{id}\), alors \(\vec{Mf(M)} = \vec{Af(A)}\) pour tout \(M\) : c’est une translation. Si \(\lambda \neq 1\), \(1\) n’est pas valeur propre de \(\lambda\,\mathrm{id}\). Donc \(f\) a un unique point fixe \(\Omega\). Ainsi, \(f(M) = \Omega + \lambda \vec{\Omega M}\). La suite découle de \(\vec{g \circ f} = \vec{g} \circ \vec{f}\).

Soit \(\mathcal{F}\) un sous-espace affine et \(G\) un supplémentaire de \(\vec{\mathcal{F}}\) dans \(E\). Pour tout \(M\), le sous-espace \(M + G\) coupe \(\mathcal{F}\) en un unique point \(p(M)\). L’application \(p\) est la projection sur \(\mathcal{F}\) parallèlement à \(G\). Ensuite :

• la symétrie par rapport à \(\mathcal{F}\) parallèlement à \(G\) est \(s(M) = p(M) – \vec{p(M)M}\) ;
• l’affinité de base \(\mathcal{F}\), de direction \(G\) et de rapport \(\alpha\) est \(a(M) = p(M) + \alpha\, \vec{p(M)M}\).

Soit \(f\) une application affine de \(\mathcal{E}\) dans lui-même.

• \(f\) est une projection si et seulement si \(f \circ f = f\). Sa base est alors l’ensemble des points fixes, et sa direction est \(\ker \vec{f}\).
• \(f\) est une symétrie si et seulement si \(f \circ f = \mathrm{id}\). Sa base est l’ensemble des points fixes, et sa direction est \(\ker(\vec{f} + \mathrm{id})\).

Traitons les projections. Si \(f \circ f = f\), l’image de \(f\) est formée de points fixes, donc \(\mathcal{F} = \mathrm{Fix}(f)\) n’est pas vide. De plus, \(\vec{f} \circ \vec{f} = \vec{f}\) : \(\vec{f}\) est un projecteur, et \(E = \mathrm{Im}\, \vec{f} \oplus \ker \vec{f}\). Or \(\vec{\mathcal{F}} = \ker(\vec{f} – \mathrm{id}) = \mathrm{Im}\, \vec{f}\). Enfin, \(\vec{f(M)M}\) est dans \(\ker \vec{f}\), car \(\vec{f}(\vec{f(M)M}) = \vec{f(f(M))f(M)} = 0\). Donc \(f(M)\) est bien le projeté de \(M\). Le cas des symétries s’en déduit, en posant \(p = \frac{1}{2}(\mathrm{id} + f)\) au sens des barycentres : \(p(M)\) est le milieu de \([M f(M)]\).

Pour reconnaître une transformation donnée en coordonnées \(X \mapsto MX + B\) :

• si \(M = I_n\), c’est une translation ; si \(M = \lambda I_n\) avec \(\lambda \neq 1\), une homothétie ;
• si \(M^2 = M\), on vérifie \(f \circ f = f\) : c’est alors une projection ;
• si \(M^2 = I_n\), on vérifie \(f \circ f = \mathrm{id}\) : c’est une symétrie ;
• on termine en calculant l’ensemble des points fixes (la base) et le noyau adéquat (la direction).

Thalès. Soient trois hyperplans parallèles distincts \(\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2, \mathcal{H}_3\). Soient deux droites \(D\) et \(D^{\prime}\) non faiblement parallèles à ces hyperplans. Elles les coupent en \(A_1, A_2, A_3\) et \(A_1^{\prime}, A_2^{\prime}, A_3^{\prime}\). Alors

\[\frac{\overline{A_1A_3}}{\overline{A_1A_2}} = \frac{\overline{A_1^{\prime}A_3^{\prime}}}{\overline{A_1^{\prime}A_2^{\prime}}} .\]

Notons \(H\) la direction commune des hyperplans. Comme \(D^{\prime}\) n’est pas faiblement parallèle à eux, sa direction est un supplémentaire de \(H\). Soit \(p\) la projection sur \(D^{\prime}\) parallèlement à \(H\). Pour chaque \(i\), le point \(A_i + H\) est l’hyperplan \(\mathcal{H}_i\), qui coupe \(D^{\prime}\) en \(A_i^{\prime}\). Donc \(p(A_i) = A_i^{\prime}\). Enfin, \(p\) est affine, donc elle conserve le rapport des mesures algébriques.

Ménélaüs. Soit \(ABC\) un triangle non aplati et \(P \in (BC)\), \(Q \in (CA)\), \(R \in (AB)\), distincts des sommets. Alors \(P, Q, R\) sont alignés si et seulement si

\[\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}} \cdot \frac{\overline{QC}}{\overline{QA}} \cdot \frac{\overline{RA}}{\overline{RB}} = 1 .\]

Notons \(p, q, r\) les trois rapports ; ils sont différents de 0 et de 1. On vectorialise en un point \(O\) et on identifie chaque point à son vecteur. La relation \(\vec{PB} = p\, \vec{PC}\) donne \((1 – p) P = B – pC\). De même, \((1 – q) Q = C – qA\) et \((1 – r) R = A – rB\). Supposons \(pqr = 1\). On tire \(A\) de la deuxième relation et \(rB\) de la première. Comme \(pr = \frac{1}{q}\), le terme en \(C\) disparaît et on obtient

\[(1 – r) R = (1 – \tfrac{1}{q}) Q + (\tfrac{1}{q} – r) P,\]

où la somme des coefficients de droite vaut \(1 – r \neq 0\). Ainsi, \(R\) est barycentre de \(P\) et \(Q\) : les trois points sont alignés. Pour la réciproque, on applique ce sens direct au point \(R^{\prime}\) de \((AB)\) de rapport \(\frac{1}{pq}\). Il est aligné avec \(P\) et \(Q\), donc égal à \(R\). Le cas \(pq = 1\) est exclu, car \((PQ)\) serait alors parallèle à \((AB)\).

Céva. Avec les mêmes notations, les droites \((AP), (BQ), (CR)\) sont concourantes ou parallèles si et seulement si

\[\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}} \cdot \frac{\overline{QC}}{\overline{QA}} \cdot \frac{\overline{RA}}{\overline{RB}} = -1 .\]

Montrons le sens direct pour des droites concourantes en un point \(G\) hors des côtés. On écrit \(G = \mathrm{bar}\{(A, a), (B, b), (C, c)\}\) en coordonnées barycentriques, avec \(a, b, c\) non nuls. Si \(b + c \neq 0\), l’associativité donne \(G = \mathrm{bar}\{(A, a), (P_0, b + c)\}\) avec \(P_0 = \mathrm{bar}\{(B, b), (C, c)\}\). Ainsi \(P_0\) est sur \((AG)\) et sur \((BC)\) : c’est \(P\). Si \(b + c = 0\), alors \((AG)\) serait parallèle à \((BC)\), ce qui est exclu. Or \(b\, \vec{PB} + c\, \vec{PC} = 0\) donne \(\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}} = -\frac{c}{b}\). De même, on trouve \(-\frac{a}{c}\) et \(-\frac{b}{a}\). Le produit vaut \(-1\). La réciproque et le cas parallèle se traitent comme pour Ménélaüs.

Les médianes d’un triangle sont concourantes. En effet, pour les milieux des côtés, chaque rapport vaut \(-1\). Le produit vaut donc \(-1\) et Céva s’applique. Le point de concours est l’isobarycentre de \(A, B, C\).

Une isométrie de \(\mathcal{E}\) est une application \(f : \mathcal{E} \to \mathcal{E}\) qui conserve les distances : \(d(f(A), f(B)) = d(A, B)\) pour tous \(A, B\).

Une application \(f : \mathcal{E} \to \mathcal{E}\) est une isométrie si et seulement si elle est affine et sa partie linéaire est orthogonale. En particulier, toute isométrie est bijective et affine.

Le sens réciproque est immédiat : \(\|\vec{f}(\vec{AB})\| = \|\vec{AB}\|\). Pour le sens direct, fixons \(O\) et posons \(g(u) = \vec{f(O)f(O + u)}\). Alors \(g(0) = 0\) et \(\|g(u) – g(v)\| = \|u – v\|\). En particulier, \(\|g(u)\| = \|u\|\). L’identité de polarisation donne ensuite \(\langle g(u), g(v) \rangle = \langle u, v \rangle\). Enfin, on développe \(\|g(\lambda u + v) – \lambda g(u) – g(v)\|^2\) avec ces produits scalaires : on obtient \(\|\lambda u + v – \lambda u – v\|^2 = 0\). Donc \(g\) est linéaire, et elle conserve la norme : elle est orthogonale.

Dans le plan euclidien, on classe les isométries selon leur partie linéaire et leurs points fixes. Les déplacements (déterminant 1) sont les translations et les rotations. Les antidéplacements (déterminant \(-1\)) sont les réflexions et les symétries glissées. Une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à une droite : c’est une symétrie affine dont la direction est orthogonale à la base.

Soit \(f(x, y) = (-y + 1,\ x + 1)\). Sa partie linéaire a pour matrice \(\begin{pmatrix} 0 -1 \\ 1 0 \end{pmatrix}\), qui est orthogonale de déterminant 1 : c’est la rotation vectorielle d’angle \(\frac{\pi}{2}\). Le point fixe vérifie \(-y + 1 = x\) et \(x + 1 = y\). Donc \(x = 0\) et \(y = 1\). Ainsi, \(f\) est la rotation de centre \((0, 1)\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\).