Séries à termes positifs : exercices de maths en L2 corrigés

Sommaire

Ces 22 exercices de séries à termes positifs couvrent tout le chapitre, des calculs directs aux problèmes de partiel. Les premiers entraînent les réflexes : divergence grossière, séries géométriques et télescopiques, puis la nature d’une série par comparaison ou par équivalent avec une série de Riemann. Viennent ensuite les règles de d’Alembert et de Cauchy, y compris un cas où la limite vaut 1.

La seconde moitié travaille les encadrements par comparaison série-intégrale, les séries de Bertrand, les restes de Riemann et la sommation des relations de comparaison. Deux problèmes concluent la fiche : le développement asymptotique de la série harmonique et une démonstration de la forme de Stirling. Cherchez chaque exercice au moins vingt minutes avant de lire le corrigé.

Avant de commencer, relisez le cours de maths en L2 sur séries à termes positifs.

Exercice 1 : Série géométrique : sommes partielles et reste

On considère la série \(\sum_{n \geq\, 0} (\frac{2}{3})^n\).

Calculez la somme partielle \(S_N = \sum_{n=0}^{N} (\frac{2}{3})^n\). Déduisez-en que la série converge et donnez sa somme \(S\).
Exprimez le reste \(R_N = S – S_N\) en fonction de \(N\). Déterminez le plus petit entier \(N\) tel que \(R_N \leq\, 10^{-3}\).
Montrez que la série \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{2^n + 3^n}{6^n}\) converge et calculez sa somme.
Calculez \(\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{5}{4^n}\).

Exercice 2 : Divergence grossière

Déterminez la nature des séries suivantes, de terme général défini pour \(n \geq\, 1\).

\(u_n = \cos(\frac{1}{n})\).
\(u_n = (1 + \frac{1}{n})^n\).
\(u_n = n \sin(\frac{1}{n})\).
\(u_n = (\frac{n-1}{n+1})^n\).
\(u_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\). Ici, le terme général tend vers \(0\) : minorez la somme partielle \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}\) par \(\sqrt{n}\) et concluez.

Exercice 3 : Séries télescopiques

Pour chacune des séries suivantes, calculez la somme partielle, puis donnez la nature et, le cas échéant, la somme.

\(\sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{n(n+1)}\).
\(\sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\). On vérifiera d’abord que \(\frac{2}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n(n+1)} – \frac{1}{(n+1)(n+2)}\).
\(\sum_{n \geq\, 1} \ln(1 + \frac{1}{n})\).
\(\sum_{n \geq\, 2} \ln(1 – \frac{1}{n^2})\).
\(\sum_{n \geq\, 0} \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}\).

Exercice 4 : Comparaison par inégalités

Déterminez la nature des séries suivantes par une simple comparaison, sans utiliser d’équivalent.

\(\sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{n^2 + \sqrt{n}}\).
\(\sum_{n \geq\, 2} \frac{1}{\ln n}\). On pourra utiliser l’inégalité \(\ln x \leq\, x – 1\) pour \(x > 0\).
\(\sum_{n \geq\, 1} \frac{2 + \cos n}{n}\).
\(\sum_{n \geq\, 0} \frac{1}{n!}\). On montrera d’abord que \(n! \geq\, 2^{n-1}\) pour tout \(n \geq\, 1\).
\(\sum_{n \geq\, 1} \frac{\sin^2 n}{n^2}\).

Exercice 5 : Équivalents usuels et nature d’une série

Justifiez que chaque terme général est positif, trouvez-en un équivalent simple et concluez sur la nature de la série.

\(u_n = \sin(\frac{1}{n^2})\), pour \(n \geq\, 1\).
\(u_n = \ln(1 + \frac{1}{\sqrt{n}})\), pour \(n \geq\, 1\).
\(u_n = \mathrm{e}^{1/n} – 1\), pour \(n \geq\, 1\).
\(u_n = \frac{n+1}{n^3 + 2}\), pour \(n \geq\, 0\).
\(u_n = \tan(\frac{1}{n}) – \sin(\frac{1}{n})\), pour \(n \geq\, 1\).
\(u_n = \frac{\sqrt{n} + 1}{n^2 – n + 1}\), pour \(n \geq\, 0\).

Exercice 6 : Comparaison aux séries de Riemann

Soit \(a \in \mathbb{R}\). Déterminez, selon \(a\), la nature de \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{n^a}{n^2 + 1}\).
Nature de \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\).
Nature de \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{\sqrt[3]{n^4 + 1}}\).
Nature de \(\sum_{n \geq\, 0} (\sqrt{n+1} – \sqrt{n})\), par deux méthodes : un équivalent, puis un calcul de somme partielle.
Nature de \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{\sqrt{n+1} – \sqrt{n}}{n}\).

Exercice 7 : Règle de d’Alembert

Étudiez la nature des séries de termes généraux \(\frac{n^2}{2^n}\), \(\frac{3^n}{n!}\), \(\frac{n!}{n^n}\), \(\frac{n^{10}}{(1{,}1)^n}\) et \(\frac{(n!)^2}{(2n)!}\), pour \(n \geq\, 1\).
On pose \(a_n = \frac{1}{4^n} \binom\,{2n}{n}\) pour \(n \geq\, 1\). Calculez \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\). La règle de d’Alembert permet-elle de conclure ?
Montrez que la suite \((n a_n)_{n \geq\, 1}\) est croissante. Déduisez-en que \(a_n \geq\, \frac{1}{2n}\), puis la nature de \(\sum a_n\).

Exercice 8 : Règle de Cauchy

Nature de \(\sum_{n \geq\, 0} (\frac{n+1}{3n+2})^n\).
Nature de \(\sum_{n \geq\, 1} (1 – \frac{1}{n})^{n^2}\).
Soit \(a > 0\). Déterminez, selon \(a\), la nature de \(\sum_{n \geq\, 1} (\frac{a n}{n+1})^n\). Traitez avec soin le cas \(a = 1\).
Nature de \(\sum_{n \geq\, 2} \frac{1}{(\ln n)^n}\).

Exercice 9 : Conséquences de la majoration des sommes partielles

Soit \((u_n)_{n \geq\, 1}\) une suite positive telle que \(\sum u_n\) converge.

Montrez que \(\sum u_n^2\) converge.
Montrez que \(\sum \frac{u_n}{1 + u_n}\) converge. Réciproquement, soit \((w_n)\) une suite positive telle que \(\sum \frac{w_n}{1 + w_n}\) converge : montrez que \(\sum w_n\) converge.
Montrez que \(\sum \sqrt{u_n u_{n+1}}\) converge.
Montrez que \(\sum \frac{\sqrt{u_n}}{n}\) converge. On pourra utiliser \(ab \leq\, \frac{a^2 + b^2}{2}\).
La réciproque de la question 1 est-elle vraie ? Justifiez.
On suppose de plus \((u_n)\) décroissante. En minorant \(\sum_{k=n+1}^{2n} u_k\), montrez que \(n u_n \to 0\).
Montrez par un contre-exemple que la conclusion de la question 6 peut être fausse sans l’hypothèse de décroissance.

Exercice 10 : Encadrement de la série harmonique

On note \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) pour \(n \geq\, 1\).

Montrez que, pour tout \(k \geq\, 1\), \(\int_k^{k+1} \frac{\mathrm{d}t}{t} \leq\, \frac{1}{k}\), et que, pour tout \(k \geq\, 2\), \(\frac{1}{k} \leq\, \int_{k-1}^{k} \frac{\mathrm{d}t}{t}\).
Déduisez-en que \(\ln(n+1) \leq\, H_n \leq\, 1 + \ln n\), puis que \(H_n \sim \ln n\).
On pose \(u_n = H_n – \ln n\) et \(v_n = H_n – \ln(n+1)\). Montrez que ces suites sont adjacentes. On note \(\gamma\) leur limite commune : donnez un encadrement de \(\gamma\).
Encadrez le plus petit entier \(n\) tel que \(H_n \geq\, 10\).

Exercice 11 : Encadrement d’une somme par des intégrales

On pose \(f(x) = \frac{1}{1 + x^2}\) pour \(x \geq\, 0\), et \(S = \sum_{n=1}^{+\infty} f(n)\). La figure ci-dessous représente \(f\) et des rectangles de hauteur \(f(n)\) sur \([n-1, n]\).

Montrez que \(f\) est décroissante sur \([0, +\infty[\). Déduisez-en que, pour tout \(n \geq\, 1\), \(\int_n^{n+1} f(t)\,\mathrm{d}t \leq\, f(n) \leq\, \int_{n-1}^{n} f(t)\,\mathrm{d}t\).
Montrez que la série converge et que \(\frac{\pi}{4} \leq\, S \leq\, \frac{\pi}{2}\).
On note \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} f(k)\). Montrez que \(\arctan(\frac{1}{n+1}) \leq\, R_n \leq\, \arctan(\frac{1}{n})\) pour \(n \geq\, 1\). Déduisez-en un équivalent de \(R_n\).
Avec \(n = 3\), déduisez-en un encadrement de \(S\) d’amplitude inférieure à \(0{,}08\).

Exercice 12 : Séries de Bertrand

Pour \((\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2\) et \(n \geq\, 2\), on pose \(u_n = \frac{1}{n^{\alpha} (\ln n)^{\beta}}\).

On suppose \(\alpha = 1\). Montrez que \(\sum u_n\) converge si et seulement si \(\beta > 1\). On distinguera \(\beta \leq\, 0\) et \(\beta > 0\).
On suppose \(\alpha > 1\). En comparant \(u_n\) à \(\frac{1}{n^{\gamma}}\) avec \(\gamma = \frac{1 + \alpha}{2}\), montrez que \(\sum u_n\) converge pour tout \(\beta\).
On suppose \(\alpha < 1\). Montrez que \(\sum u_n\) diverge pour tout \(\beta\).
Application : nature de \(\sum \frac{1}{n \ln n}\), \(\sum \frac{\ln n}{n^2}\), \(\sum \frac{1}{\sqrt{n} \ln n}\), \(\sum \frac{1}{n (\ln n)^2}\) et \(\sum \frac{1}{n \sqrt{\ln n}}\).

Exercice 13 : Reste d’une série de Riemann convergente

Soit \(\alpha > 1\). On note \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}\) pour \(n \geq\, 1\).

Par comparaison série-intégrale, montrez que \(\frac{(n+1)^{1-\alpha}}{\alpha – 1} \leq\, R_n \leq\, \frac{n^{1-\alpha}}{\alpha – 1}\). Déduisez-en un équivalent de \(R_n\).
Écrivez l’encadrement obtenu pour \(\alpha = 2\).
On admet que \(\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}\). Montrez que le plus petit entier \(n\) tel que \(\frac{\pi^2}{6} – \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \leq\, 10^{-3}\) vaut \(999\) ou \(1000\).
Montrez que \(|\frac{\pi^2}{6} – (\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} + \frac{1}{n})| \leq\, \frac{1}{n(n+1)}\). Quel rang suffit alors pour une précision de \(10^{-3}\) ?

Exercice 14 : Équivalents de sommes partielles divergentes

Encadrez \(A_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}\) par des intégrales, puis montrez que \(A_n \sim \frac{2}{3} n^{3/2}\).
Montrez que \(2\sqrt{n+1} – 2 \leq\, \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} \leq\, 2\sqrt{n} – 1\), puis donnez un équivalent de cette somme.
Montrez que \(\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \ln k} \sim \ln(\ln n)\).

Exercice 15 : Sommation des relations de comparaison

Donnez un équivalent de \(A_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{k^2 + 1}\).
Calculez \(\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)}\). Déduisez-en un équivalent de \(B_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2 + k + 1}\).
Vérifiez que \(\frac{1}{(k-1)k(k+1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{(k-1)k} – \frac{1}{k(k+1)})\) pour \(k \geq\, 2\). Déduisez-en un équivalent de \(C_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^3}\).
Soit \((a_n)\) une suite positive telle que \(a_n = o(\frac{1}{n})\). Montrez que \(\sum_{k=1}^{n} a_k = o(\ln n)\). Application : \(a_n = \frac{1}{n \ln(n+1)}\).
Soit \((u_n)\) une suite positive telle que \(u_n = O(\frac{1}{n^3})\). Montrez que \(\sum u_n\) converge et que son reste est un \(O(\frac{1}{n^2})\).

Exercice 16 : Séries à paramètre et développements limités

Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\). Nature de \(\sum_{n \geq\, 1} (\sqrt{n^2 + n + 1} – \sqrt{n^2 + n – 1})^{\alpha}\).
Soit \(a \in \mathbb{R}\). Nature de \(\sum_{n \geq\, 1} n^a (1 – \cos\frac{1}{n})\).
Montrez que \((1 + \frac{1}{n})^n < \mathrm{e}\) pour \(n \geq\, 1\), puis que \(\mathrm{e} – (1 + \frac{1}{n})^n \sim \frac{\mathrm{e}}{2n}\). Nature de la série correspondante.
Soit \(\alpha > 0\). Nature de \(\sum_{n \geq\, 1} (\frac{1}{n^{\alpha}} – \sin\frac{1}{n^{\alpha}})\).

Exercice 17 : Calcul approché de e et irrationalité

On admet, grâce à la formule de Taylor, que \(\mathrm{e} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}\). On note \(S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\).

Retrouvez la convergence de la série par la règle de d’Alembert.
Montrez que, pour tout \(n \geq\, 1\), \(0 < \mathrm{e} – S_n \leq\, \frac{1}{n \cdot n!}\). On majorera \(\frac{1}{k!}\) pour \(k \geq\, n+1\) par un terme d’une suite géométrique.
Quel rang \(n\) garantit une erreur inférieure à \(10^{-6}\) ?
On suppose que \(\mathrm{e} = \frac{p}{q}\) avec \(p, q\) entiers et \(q \geq\, 2\). En étudiant \(q!\,(\mathrm{e} – S_q)\), aboutissez à une contradiction. Concluez.

Exercice 18 : Une suite récurrente et deux séries

Soit \(u_0 \in\, ]0, 1[\) et \(u_{n+1} = u_n – u_n^2\) pour \(n \geq\, 0\). La figure ci-dessous montre la construction des premiers termes pour \(u_0 = 0{,}8\).

Montrez que \(u_n \in\, ]0, 1[\) pour tout \(n\), que \((u_n)\) est décroissante et qu’elle tend vers \(0\).
Montrez que \(\frac{1}{u_{n+1}} – \frac{1}{u_n} \to 1\).
Déduisez-en, par sommation des équivalents, que \(u_n \sim \frac{1}{n}\).
Nature de \(\sum u_n\).
Montrez que \(\sum u_n^2\) converge et calculez sa somme.

Exercice 19 : Logarithme de la factorielle

En comparant \(\ln k\) à des intégrales, montrez que, pour \(n \geq\, 2\),
\[n \ln n – n + 1 \leq\, \ln(n!) \leq\, (n+1)\ln(n+1) – n + 1 – 2\ln 2.\]
Déduisez-en que \(\ln(n!) \sim n \ln n\).
Montrez plus précisément que \(\ln(n!) = n \ln n – n + O(\ln n)\).
Nature de \(\sum_{n \geq\, 2} \frac{1}{\ln(n!)}\) et de \(\sum_{n \geq\, 2} \frac{1}{(\ln(n!))^2}\).

Exercice 20 : Critère de condensation de Cauchy

Soit \((u_n)_{n \geq\, 1}\) une suite positive et décroissante.

Montrez que, pour tout \(n \geq\, 0\), \(2^n u_{2^{n+1}} \leq\, \sum_{k=2^n}^{2^{n+1}-1} u_k \leq\, 2^n u_{2^n}\).
Déduisez-en que \(\sum u_n\) et \(\sum 2^n u_{2^n}\) sont de même nature.
Retrouvez ainsi la nature des séries de Riemann \(\sum \frac{1}{n^{\alpha}}\) pour \(\alpha > 0\).
Soit \(\beta > 0\). Retrouvez la nature de \(\sum_{n \geq\, 2} \frac{1}{n (\ln n)^{\beta}}\).
Nature de \(\sum_{n \geq\, 3} \frac{1}{n \ln n \ln(\ln n)}\).

Exercice 21 : Problème : développement asymptotique de la série harmonique

On note \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) et \(u_n = H_n – \ln n\) pour \(n \geq\, 1\).

Montrez que \(u_n – u_{n+1} = -\ln(1 – \frac{1}{n+1}) – \frac{1}{n+1}\), puis que \(u_n – u_{n+1} \geq\, 0\).
Montrez que \(u_n – u_{n+1} \sim \frac{1}{2n^2}\). Déduisez-en que \((u_n)\) converge. On note \(\gamma\) sa limite.
Montrez que \(u_n – \gamma = \sum_{k=n}^{+\infty} (u_k – u_{k+1})\).
À l’aide du théorème de sommation des équivalents et de l’exercice 13, montrez que \(u_n – \gamma \sim \frac{1}{2n}\). Déduisez-en que \(H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} + o(\frac{1}{n})\).
Nature des séries \(\sum (H_n – \ln n – \gamma)\) et \(\sum (H_n – \ln n – \gamma)^2\).
Montrez que \(\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} = \ln 2 – \frac{1}{4n} + o(\frac{1}{n})\).

Exercice 22 : Problème : quand la règle de d’Alembert ne conclut pas

On pose \(u_n = \frac{n^n}{n!\,\mathrm{e}^n}\) pour \(n \geq\, 1\).

Calculez \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) et montrez que ce rapport tend vers \(1\). Que dit la règle de d’Alembert ?
Montrez que \(\ln(\frac{u_{n+1}}{u_n}) = -\frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} + O(\frac{1}{n^3})\).
On pose \(v_n = \sqrt{n}\, u_n\) et \(w_n = \ln(\frac{v_{n+1}}{v_n})\). Montrez que \(w_n \sim \frac{1}{12 n^2}\).
Déduisez-en que \((\ln v_n)\) converge, puis qu’il existe \(L > 0\) tel que \(u_n \sim \frac{L}{\sqrt{n}}\).
Nature de la série \(\sum u_n\).
Déduisez-en un équivalent de \(n!\) en fonction de \(n\) et de \(L\). On admet que \(L = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\) : quelle formule obtenez-vous ?

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L2

Le cours : séries à termes positifs, cours de maths en L2
Chapitre suivant : Séries à termes quelconques
Tester vos connaissances : QCM de maths en L2 par chapitre
Le sommaire : tous les chapitres de maths de L2 et la licence de maths de L1 à L3

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