Séries entières : exercices de maths en L2 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Rayons de convergence par la règle de d’Alembert

Déterminez le rayon de convergence des séries entières suivantes.

1. \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 0} \frac{n^2}{3^n} z^n\).
2. \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 0} \frac{(2n)!}{(n!)^2} z^n\).
3. \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 1} \frac{n^n}{n!} z^n\).
4. \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 0} \frac{z^{3n}}{8^n}\).

Exercice 2 : Rayons de convergence sans la règle de d’Alembert

Dans chaque cas, la règle de d’Alembert sur les coefficients ne s’applique pas. Déterminez le rayon de convergence en justifiant soigneusement.

1. \(\sum_{n \geq\, 0} \sin(n)\, z^n\). On admet que la suite \((\sin n)\) ne tend pas vers \(0\).
2. \(\sum_{n \geq\, 0} z^{n^2}\).
3. \(\sum_{n \geq\, 0} 2^n z^{2n}\).
4. \(\sum_{n \geq\, 0} a_n z^n\), où \(a_n = 2^n\) si \(n\) est pair et \(a_n = 1\) si \(n\) est impair.

Exercice 3 : Lemme d’Abel et encadrement du rayon

Soit \(\sum a_n z^n\) une série entière de rayon \(R\).

1. On suppose que \(\sum a_n 2^n\) converge et que \(\sum a_n (-3)^n\) diverge. Montrez que \(2 \leq\, R \leq\, 3\). La figure ci-dessous représente la situation.
2. On suppose qu’il existe \(z_0 \in \mathbb{C}\) tel que \(\sum a_n z_0^n\) converge sans converger absolument. Montrez que \(R = |z_0|\).
3. Déterminez le rayon de \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{z^n}{n\, 3^n}\) grâce à la question précédente, en étudiant le point \(z_0 = -3\).

Exercice 4 : Comportement sur le bord du disque

On considère, pour \(x\) réel, la série entière \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{x^n}{n}\).

1. Déterminez son rayon de convergence \(R\).
2. Étudiez la nature de la série en \(x = R\) et en \(x = -R\).
3. Calculez sa somme \(S(x)\) sur \(]-R, R[\).
4. Montrez que la série converge uniformément sur \([-1, 0]\), en utilisant le critère des séries alternées. Déduisez-en la valeur de \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\).

Exercice 5 : Somme et produit de Cauchy de séries entières

1. Déterminez le rayon de \(\sum (1 + 2^n) z^n\) et calculez sa somme.
2. On pose \(a_n = 1\) et \(b_n = \frac{1}{n!} – 1\). Déterminez les rayons de \(\sum a_n z^n\), \(\sum b_n z^n\) et \(\sum (a_n + b_n) z^n\). Que constatez-vous ?
3. À l’aide d’un produit de Cauchy, montrez que \(\frac{1}{(1-z)^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) z^n\) pour \(|z| < 1\).
4. Soit \(\sum a_n z^n\) de rayon \(R_a > 0\) et \(S_n = a_0 + \cdots + a_n\). Montrez que, pour \(|z| < \min(1, R_a)\), on a \(\frac{1}{1-z} \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n = \sum_{n=0}^{+\infty} S_n z^n\).
5. Application : développez \(\frac{e^z}{1-z}\) en série entière et déterminez exactement le rayon obtenu.

Exercice 6 : Convergence normale sur les compacts du disque

On note \(R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} x^k\) le reste d’ordre \(n\) de la série géométrique, pour \(x \in ]-1, 1[\). La figure ci-dessous représente \(|R_n|\) pour quelques valeurs de \(n\).

1. Soit \(r \in ]0, 1[\). Montrez que \(\sum x^n\) converge normalement sur \([-r, r]\).
2. Calculez \(R_n(x)\), puis montrez que la convergence n’est pas uniforme sur \(]-1, 1[\).
3. Expliquez pourquoi la somme est malgré tout continue sur \(]-1, 1[\).
4. Plus généralement, soit \(\sum a_n z^n\) de rayon \(R > 0\) et \(0 < r < R\). Montrez la convergence normale sur \(\overline{D}(0, r)\) en utilisant uniquement le lemme d’Abel.

Exercice 7 : Sommes obtenues par dérivation terme à terme

1. Justifiez que, pour \(x \in ]-1, 1[\), \(\sum_{n=1}^{+\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}\).
2. Déduisez-en \(\sum_{n=1}^{+\infty} n^2 x^n\) pour \(x \in ]-1, 1[\).
3. Calculez \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{2^n}\), \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{2^n}\) et \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{3^n}\).

Exercice 8 : Sommes obtenues par intégration terme à terme

On pose \(S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\).

1. Déterminez le rayon de convergence de cette série entière.
2. Calculez \(S^{\prime}(x)\), puis exprimez \(S(x)\) à l’aide du logarithme.
3. Déduisez-en la valeur de \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)\, 4^n}\).

Exercice 9 : Somme d’une série à coefficients rationnels

On considère \(S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{(n+1)(n+2)}\).

1. Déterminez le rayon de convergence et montrez que la série converge normalement sur \([-1, 1]\).
2. Décomposez \(\frac{1}{(n+1)(n+2)}\) en éléments simples.
3. Calculez \(S(x)\) pour \(x \in ]-1, 1[\), en distinguant \(x = 0\).
4. Justifiez la continuité de \(S\) sur \([-1, 1]\), puis calculez \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)(n+2)}\) et \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)}\).

Exercice 10 : Somme à l’aide de la série exponentielle

1. Déterminez le rayon de convergence de \(\sum_{n \geq\, 0} \frac{n^2 + 1}{n!} x^n\).
2. Écrivez \(n^2 + 1\) à l’aide de \(n(n-1)\), \(n\) et \(1\), puis calculez la somme de la série.
3. Déduisez-en \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^2 + 1}{n!}\).

Exercice 11 : Série entière trigonométrique

Soit \(\theta \in \mathbb{R}\) avec \(\theta \notin \pi \mathbb{Z}\). On considère les séries \(\sum \cos(n\theta) x^n\) et \(\sum \sin(n\theta) x^n\), pour \(x\) réel.

1. Montrez que \((\cos(n\theta))\) ne tend pas vers \(0\). Déduisez-en que le rayon de \(\sum \cos(n\theta) x^n\) vaut \(1\).
2. Calculez, pour \(x \in ]-1, 1[\), \(C(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \cos(n\theta) x^n\) et \(S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \sin(n\theta) x^n\).
3. Calculez \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\cos(n\pi/3)}{2^n}\).

Exercice 12 : Développements par décomposition en éléments simples

Développez en série entière au voisinage de \(0\) les fonctions suivantes, en précisant le rayon de convergence obtenu.

1. \(f(x) = \frac{1}{x^2 – 3x + 2}\).
2. \(g(x) = \ln(1 + x – 2x^2)\).
3. \(h(x) = \frac{1}{1 + x + x^2}\). Indication : multipliez numérateur et dénominateur par \(1 – x\).

Exercice 13 : Développement en série entière de arcsinus

1. Montrez que, pour \(|x| < 1\), \(\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \binom\,{2n}{n} \frac{x^{2n}}{4^n}\).
2. Déduisez-en le développement de \(\arcsin\) sur \(]-1, 1[\) et son rayon.
3. Écrivez \(\frac{\pi}{6}\) comme somme d’une série numérique.
4. On admet que \(\binom\,{2n}{n} \frac{1}{4^n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\). Montrez que le développement de \(\arcsin\) reste vrai en \(x = 1\) et écrivez \(\frac{\pi}{2}\) comme somme d’une série.

Exercice 14 : Développement par une équation différentielle

On pose \(f(x) = \frac{\arcsin x}{\sqrt{1 – x^2}}\) pour \(x \in ]-1, 1[\).

1. Montrez que \(f\) est solution sur \(]-1, 1[\) de l’équation \((1 – x^2) y^{\prime} – x y = 1\) et calculez \(f(0)\).
2. On cherche une solution \(y(x) = \sum a_n x^n\) de rayon \(R > 0\) avec \(y(0) = 0\). Établissez une relation de récurrence entre \(a_{n+1}\) et \(a_{n-1}\).
3. Calculez \(a_n\) pour tout \(n\) et déterminez le rayon de la série obtenue.
4. Justifiez que \(f(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{4^k (k!)^2}{(2k+1)!} x^{2k+1}\) sur \(]-1, 1[\).

Exercice 15 : Une fonction de classe C infini non développable

On définit \(f\) sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = e^{-1/x^2}\) si \(x \neq 0\) et \(f(0) = 0\).

1. Montrez que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), il existe un polynôme \(P_n\) tel que \(f^{(n)}(x) = P_n(1/x)\, e^{-1/x^2}\) pour \(x \neq 0\). Donnez une relation entre \(P_{n+1}\) et \(P_n\).
2. Montrez que, pour tout polynôme \(P\), \(P(1/x)\, e^{-1/x^2} \to 0\) quand \(x \to 0\).
3. Montrez par récurrence que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(\mathbb{R}\) avec \(f^{(n)}(0) = 0\), pour tout \(n\).
4. Concluez que \(f\) n’est pas développable en série entière en \(0\).

Exercice 16 : Critère de développabilité par Taylor

Soit \(a > 0\) et \(f\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]-a, a[\). On suppose qu’il existe \(M > 0\) tel que \(|f^{(n)}(x)| \leq\, M\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et tout \(x \in ]-a, a[\).

1. Rappelez la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre \(n\) en \(0\).
2. Montrez que \(f\) est développable en série entière sur \(]-a, a[\).
3. Déduisez-en les développements de \(\cos\) et de \(\mathrm{ch}\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 17 : Résolution d’une équation différentielle linéaire du second ordre

On considère l’équation \((E) : 4x y^{\prime\prime} + 2 y^{\prime} – y = 0\).

1. Déterminez les solutions de \((E)\) développables en série entière sur un intervalle \(]-R, R[\), et précisez \(R\).
2. Exprimez ces solutions à l’aide de fonctions usuelles sur \(]0, +\infty[\).
3. Vérifiez que \(y_2(x) = \mathrm{sh}\sqrt{x}\) est solution de \((E)\) sur \(]0, +\infty[\). Est-elle développable en série entière en \(0\) ?
4. Déduisez-en toutes les solutions de \((E)\) sur \(]0, +\infty[\).

Exercice 18 : Équation différentielle du premier ordre avec second membre

On pose \(f(x) = e^{x^2} \int_0^x e^{-t^2}\, \mathrm{d}t\) pour \(x \in \mathbb{R}\).

1. Montrez que \(f\) est l’unique solution sur \(\mathbb{R}\) du problème \(y^{\prime} = 2xy + 1\), \(y(0) = 0\).
2. Justifiez que \(f\) est développable en série entière sur \(\mathbb{R}\), puis que \(f\) est impaire.
3. Déterminez les coefficients du développement de \(f\).

Exercice 19 : Problème : dénombrement des dérangements

Un dérangement de \(\{1, \ldots, n\}\) est une permutation sans point fixe. On note \(D_n\) leur nombre pour \(n \geq\, 1\), et on pose \(D_0 = 1\).

1. Calculez \(D_1\), \(D_2\) et \(D_3\).
2. En classant les permutations selon leur ensemble de points fixes, montrez que \(n! = \sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} D_k\) pour tout \(n \geq\, 0\).
3. On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{D_n}{n!} x^n\). Montrez que son rayon est au moins \(1\).
4. Montrez que \(e^x f(x) = \frac{1}{1-x}\) pour \(x \in ]-1, 1[\).
5. Déduisez-en que \(D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}\), puis calculez \(D_4\) et \(D_5\).
6. Déterminez la limite de \(\frac{D_n}{n!}\), puis montrez que, pour \(n \geq\, 1\), \(D_n\) est l’entier le plus proche de \(\frac{n!}{e}\).

Exercice 20 : Problème : suite récurrente linéaire d’ordre deux

On définit \((u_n)\) par \(u_0 = 0\), \(u_1 = 1\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\) pour \(n \geq\, 0\). On pose \(f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n x^n\).

1. Montrez que \(0 \leq\, u_n \leq\, 2^n\) pour tout \(n\). Déduisez-en que le rayon \(R\) de la série vérifie \(R \geq\, \frac{1}{2}\).
2. Montrez que \((1 – x – x^2) f(x) = x\) pour \(|x| < \frac{1}{2}\).
3. On note \(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) et \(\psi = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}\). Vérifiez que \(1 – x – x^2 = (1 – \varphi x)(1 – \psi x)\), puis décomposez \(f\) en éléments simples.
4. Déduisez-en une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
5. Déterminez exactement \(R\).

Exercice 21 : Régularité d’une somme au bord du disque

On pose \(f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n^2}\).

1. Déterminez le rayon et montrez que \(f\) est définie et continue sur \([-1, 1]\).
2. Montrez que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]-1, 1[\) et que \(f^{\prime}(x) = -\frac{\ln(1-x)}{x}\) pour \(x \in ]-1, 1[\) non nul.
3. Montrez que \(f\) n’est pas dérivable à gauche en \(1\).
4. On admet que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\). Calculez \(f(-1)\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L2

• Le cours : séries entières, cours de maths en L2
• À maîtriser avant : Suites et séries de fonctions
• Chapitre précédent : Suites et séries de fonctions
• Chapitre suivant : Intégrales dépendant d'un paramètre
• Le même thème en maths spé : séries entières, exercices de maths spé
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L2 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L2 et la licence de maths de L1 à L3