Fonctions de plusieurs variables : cours de maths en L2 en PDF.

Soit \(U\) une partie de \(\mathbb{R}^n\). Une fonction \(f : U \to \mathbb{R}^p\) associe à chaque \(x = (x_1, \ldots, x_n)\) de \(U\) un vecteur \(f(x) = (f_1(x), \ldots, f_p(x))\). Les fonctions \(f_1, \ldots, f_p : U \to \mathbb{R}\) sont les composantes de \(f\). Lorsque \(p = 1\), on dit que \(f\) est une fonction numérique, ou un champ scalaire.

La fonction \(f(x, y) = x^2 + y^2\) est une fonction numérique sur \(\mathbb{R}^2\). En revanche, l’application \(\Phi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)\) va de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^2\) : ses composantes sont \((r, \theta) \mapsto r\cos\theta\) et \((r, \theta) \mapsto r\sin\theta\). Enfin, \(\gamma(t) = (\cos t, \sin t, t)\) décrit une hélice : c’est une fonction de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}^3\).

Soit \(f : U \to \mathbb{R}\) et \(c \in \mathbb{R}\). La ligne de niveau \(c\) de \(f\) est l’ensemble \(L_c = \{x \in U : f(x) = c\}\). Pour \(n = 3\), on parle plutôt de surface de niveau.

Pour \(f(x, y) = x^2 + y^2\), la ligne de niveau \(c\) est vide si \(c < 0\). Elle est réduite à l’origine si \(c = 0\). Enfin, pour \(c > 0\), c’est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(\sqrt{c}\).

Des lignes de niveau régulièrement espacées en valeur mais de plus en plus serrées signalent une fonction qui varie de plus en plus vite. Ici, les rayons \(1\), \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(2\) se resserrent : la pente du paraboloïde augmente quand on s’éloigne de l’origine.

On dit que \(f\) admet la limite \(\ell \in \mathbb{R}^p\) en \(a\) si \[\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in U,\ \|x – a\| < \delta \Rightarrow \|f(x) – \ell\| < \varepsilon.\] Si \(a \in U\), la fonction \(f\) est continue en \(a\) lorsque \(f(x) \to f(a)\) quand \(x \to a\). Elle est continue sur \(U\) si elle l’est en tout point de \(U\).

Soit \(f : U \to \mathbb{R}^p\) et \(a\) adhérent à \(U\).

• \(f\) tend vers \(\ell\) en \(a\) si et seulement si chaque composante \(f_i\) tend vers \(\ell_i\).
• \(f\) tend vers \(\ell\) en \(a\) si et seulement si, pour toute suite \((x_k)\) de \(U\) qui converge vers \(a\), la suite \((f(x_k))\) converge vers \(\ell\).
• Les sommes, produits, quotients (à dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continus.

La fonction \(f(x, y) = \dfrac{e^{xy}}{1 + x^2 + y^2}\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\). En effet, \((x, y) \mapsto xy\) est polynomiale, donc \(e^{xy}\) est continue par composition. De plus, le dénominateur est polynomial et ne s’annule jamais.

Supposons que \(f(x) \to \ell\) quand \(x \to a\). Soit \(\gamma : I \to U\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), et \(t_0\) une extrémité ou un point de \(I\), avec \(\gamma(t) \to a\) quand \(t \to t_0\). Alors \(f(\gamma(t)) \to \ell\) quand \(t \to t_0\).

Soit \(\varepsilon > 0\) et \(\delta\) associé par la définition de la limite de \(f\). Comme \(\gamma(t) \to a\), il existe un voisinage \(V\) de \(t_0\) tel que \(\|\gamma(t) – a\| < \delta\) pour \(t \in V \cap I\). Pour ces \(t\), on a donc \(\|f(\gamma(t)) – \ell\| < \varepsilon\).

Pour montrer que \(f\) n’a pas de limite en \(a\), on cherche deux chemins \(\gamma_1\) et \(\gamma_2\) qui tendent vers \(a\) et le long desquels \(f\) a deux limites différentes. En \((0, 0)\), on essaie d’abord les droites \(y = mx\), puis les axes, puis des courbes comme \(y = x^2\) ou \(x = y^2\).

Soit \(f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}\) sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\). Sur la droite \(y = mx\), avec \(x \neq 0\), on trouve \[f(x, mx) = \frac{mx^2}{(1 + m^2)x^2} = \frac{m}{1 + m^2}.\] Cette valeur dépend de \(m\) : elle vaut \(0\) pour \(m = 0\) et \(\frac{1}{2}\) pour \(m = 1\). Par conséquent, \(f\) n’a pas de limite en \((0, 0)\).

Obtenir la même limite le long de toutes les droites ne prouve rien. Soit \(g(x, y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}\). Pour \(m \neq 0\), \(g(x, mx) = \dfrac{mx}{x^2 + m^2} \to 0\), et \(g\) est nulle sur les axes. Pourtant \(g(x, x^2) = \frac{1}{2}\) pour tout \(x \neq 0\). Ainsi, \(g\) n’a pas de limite en \((0, 0)\).

Pour montrer que \(f(x, y) \to \ell\) en \((0, 0)\), on cherche une majoration \(|f(x, y) – \ell| \leq\, \varphi(r)\), avec \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) et \(\varphi(r) \to 0\) quand \(r \to 0\). Les outils usuels sont \(|x| \leq\, r\), \(|y| \leq\, r\), \(2|xy| \leq\, x^2 + y^2\) et le passage en coordonnées polaires \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\). La majoration ne doit pas dépendre de \(\theta\).

Soit \(h(x, y) = \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}\). Comme \(x^2 \leq\, x^2 + y^2\), on obtient \(|h(x, y)| \leq\, |y| \leq\, r\). Donc \(h(x, y) \to 0\) en \((0, 0)\). Prolongée par \(h(0, 0) = 0\), la fonction \(h\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\).

Soit \(k \geq\, 0\). Une fonction \(f : U \to \mathbb{R}^p\) est \(k\)-lipschitzienne si \(\|f(x) – f(y)\| \leq\, k\|x – y\|\) pour tous \(x, y \in U\). Elle est lipschitzienne s’il existe un tel \(k\).

Une fonction lipschitzienne est continue sur \(U\). Plus précisément, elle est uniformément continue.

Soit \(f\) une fonction \(k\)-lipschitzienne avec \(k > 0\), et \(\varepsilon > 0\). Posons \(\delta = \varepsilon / k\). Si \(\|x – y\| < \delta\), alors \(\|f(x) – f(y)\| \leq\, k\|x – y\| < \varepsilon\). Le réel \(\delta\) ne dépend pas du point : la continuité est donc uniforme. Si \(k = 0\), la fonction est constante.

La norme elle-même est \(1\)-lipschitzienne : l’inégalité triangulaire donne \(\big|\|x\| – \|y\|\big| \leq\, \|x – y\|\). De même, une application linéaire \(u : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\) vérifie \(\|u(x)\| \leq\, C\|x\|\) pour une constante \(C\). Ainsi, \(\|u(x) – u(y)\| = \|u(x – y)\| \leq\, C\|x – y\|\). Toute application linéaire est donc lipschitzienne, donc continue.

Changer de norme ne change pas le caractère lipschitzien, car les normes sont équivalentes. En revanche, la constante change. Par exemple, \((x, y) \mapsto \sin x + \sin y\) est \(1\)-lipschitzienne pour \(\|\cdot\|_1\) et \(\sqrt{2}\)-lipschitzienne pour \(\|\cdot\|_2\).

Soit \(K\) un compact de \(\mathbb{R}^n\) et \(f : K \to \mathbb{R}^p\) continue. Alors \(f(K)\) est un compact de \(\mathbb{R}^p\).

Soit \((y_k)\) une suite de \(f(K)\). On écrit \(y_k = f(x_k)\) avec \(x_k \in K\). D’abord, \(K\) est compact, donc une sous-suite \((x_{\varphi(k)})\) converge vers un point \(x \in K\). Ensuite, par continuité de \(f\) en \(x\), la suite \(y_{\varphi(k)} = f(x_{\varphi(k)})\) converge vers \(f(x)\), qui appartient à \(f(K)\). Ainsi, toute suite de \(f(K)\) a une sous-suite convergente dans \(f(K)\) : cette partie est compacte.

Une fonction numérique continue sur un compact non vide \(K\) est bornée et atteint ses bornes : il existe \(x_0, x_1 \in K\) tels que \(f(x_0) \leq\, f(x) \leq\, f(x_1)\) pour tout \(x \in K\).

La partie \(f(K)\) est un compact non vide de \(\mathbb{R}\). Elle est donc bornée, et sa borne supérieure \(M\) est limite d’une suite de \(f(K)\). Comme \(f(K)\) est fermée, \(M \in f(K)\). Le même argument vaut pour la borne inférieure.

Le cercle unité \(S = \{(x, y) : x^2 + y^2 = 1\}\) est fermé et borné, donc compact. Par conséquent, \(f(x, y) = xy\) atteint un maximum sur \(S\). D’ailleurs, \(2xy \leq\, x^2 + y^2 = 1\), avec égalité en \((\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\). Le maximum vaut donc \(\frac{1}{2}\).

L’hypothèse de compacité est indispensable. Par exemple, \(f(x, y) = x\) est continue sur \(\mathbb{R}^2\) mais n’est pas bornée. De même, \(f(x, y) = x^2 + y^2\) n’atteint pas sa borne inférieure \(0\) sur le disque ouvert privé de l’origine.

Soit \(v \in \mathbb{R}^n\) non nul. Comme \(U\) est ouvert, \(a + tv \in U\) pour \(|t|\) assez petit. On dit que \(f\) admet une dérivée selon le vecteur \(v\) en \(a\) si la limite suivante existe : \[D_v f(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a + tv) – f(a)}{t}.\] Autrement dit, \(D_v f(a) = \varphi^{\prime}(0)\) où \(\varphi(t) = f(a + tv)\).

Soit \(f(x, y) = x^2 + 2y^2\), \(a = (1, \frac{1}{2})\) et \(v = (1, 1)\). Alors \[\varphi(t) = (1 + t)^2 + 2(\tfrac{1}{2} + t)^2 = \tfrac{3}{2} + 4t + 3t^2.\] Par conséquent, \(D_v f(a) = \varphi^{\prime}(0) = 4\).

Notons \((e_1, \ldots, e_n)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\). La \(j\)-ième dérivée partielle de \(f\) en \(a\) est, si elle existe, \[\partial_j f(a) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(a) = D_{e_j} f(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a_1, \ldots, a_j + t, \ldots, a_n) – f(a)}{t}.\]

Pour calculer les dérivées partielles, on distingue deux cas.

• Sur l’ouvert où \(f\) est donnée par une formule usuelle, on dérive par rapport à une variable, les autres étant fixées.
• En un point particulier, par exemple là où la formule change, on revient à la définition : on étudie le taux d’accroissement \(\frac{f(a + te_j) – f(a)}{t}\).

Pour \(f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)\), on obtient \[\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2xy + y\cos(xy), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = x^2 + x\cos(xy).\]

Reprenons \(f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}\), prolongée par \(f(0, 0) = 0\). Sur les axes, \(f\) est nulle. Ainsi, \(f(t, 0) – f(0, 0) = 0\) et \(\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = 0\). De même, \(\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = 0\). Pourtant, la partie II a montré que \(f\) n’est pas continue en \((0, 0)\).

Même l’existence de toutes les dérivées directionnelles n’entraîne pas la continuité. Pour \(g(x, y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}\), prolongée par \(g(0, 0) = 0\), et \(v = (\alpha, \beta)\) avec \(\beta \neq 0\), on trouve \[\frac{g(t\alpha, t\beta)}{t} = \frac{\alpha^2 \beta}{t^2 \alpha^4 + \beta^2} \longrightarrow \frac{\alpha^2}{\beta}.\] Si \(\beta = 0\), \(g\) est nulle sur l’axe et \(D_v g(0, 0) = 0\). Toutes les dérivées directionnelles existent, mais \(g\) n’est pas continue en \((0, 0)\). De plus, \(v \mapsto D_v g(0, 0)\) n’est même pas linéaire.

Ces contre-exemples motivent une notion plus forte, la différentiabilité, étudiée au chapitre suivant. On demandera que \(f(a + h) = f(a) + L(h) + o(\|h\|)\), avec \(L\) linéaire. Cette condition porte sur tous les \(h\) petits à la fois, et non sur quelques droites. Ici, nous utilisons une condition suffisante commode : le caractère \(C^1\).

Si les \(n\) dérivées partielles de \(f\) existent en \(a\), le gradient de \(f\) en \(a\) est le vecteur \[\nabla f(a) = (\partial_1 f(a), \ldots, \partial_n f(a)).\] La fonction \(f\) est de classe \(C^1\) sur l’ouvert \(U\) si ses \(n\) dérivées partielles existent en tout point de \(U\) et sont continues sur \(U\).

Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur l’ouvert \(U\) et \(a \in U\). Alors, quand \(h \to 0\), \[f(a + h) = f(a) + \langle \nabla f(a), h \rangle + o(\|h\|).\]

On traite le cas \(n = 2\), le cas général étant identique. Soit \(r > 0\) tel que la boule \(B(a, r)\) soit incluse dans \(U\), et \(h = (h_1, h_2)\) avec \(\|h\|_\infty < r\). On passe de \(a\) à \(a + h\) en deux étapes parallèles aux axes : \[f(a + h) – f(a) = \big[f(a_1 + h_1, a_2 + h_2) – f(a_1, a_2 + h_2)\big] + \big[f(a_1, a_2 + h_2) – f(a_1, a_2)\big].\] Chaque crochet est l’accroissement d’une fonction d’une variable, dérivable. D’après le théorème des accroissements finis, il existe \(\theta_1, \theta_2 \in ]0, 1[\) tels que \[f(a + h) – f(a) = h_1 \partial_1 f(a_1 + \theta_1 h_1, a_2 + h_2) + h_2 \partial_2 f(a_1, a_2 + \theta_2 h_2).\] Les deux points intermédiaires tendent vers \(a\) quand \(h \to 0\). Par continuité des dérivées partielles, on écrit \(\partial_1 f(a_1 + \theta_1 h_1, a_2 + h_2) = \partial_1 f(a) + \varepsilon_1(h)\) avec \(\varepsilon_1(h) \to 0\), et de même pour \(\partial_2 f\). Finalement, \[\big|f(a + h) – f(a) – \langle \nabla f(a), h \rangle\big| \leq\, |h_1||\varepsilon_1(h)| + |h_2||\varepsilon_2(h)| \leq\, \|h\|_\infty \big(|\varepsilon_1(h)| + |\varepsilon_2(h)|\big).\] Le membre de droite est un \(o(\|h\|)\), ce qui conclut.

Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(U\). Alors \(f\) est continue sur \(U\), et pour tout \(v\), la dérivée directionnelle existe et vaut \[D_v f(a) = \langle \nabla f(a), v \rangle = \sum_{j = 1}^n v_j\, \partial_j f(a).\]

Le théorème donne \(f(a + h) – f(a) \to 0\) quand \(h \to 0\), d’où la continuité. Ensuite, on prend \(h = tv\) : \(f(a + tv) – f(a) = t\langle \nabla f(a), v \rangle + o(t)\). On divise par \(t\) et on fait tendre \(t\) vers \(0\).

Si \(\nabla f(a) \neq 0\), le gradient indique la direction de plus forte croissance de \(f\) en \(a\), et sa norme euclidienne est la pente maximale. De plus, \(D_v f(a) = 0\) pour tout \(v\) orthogonal à \(\nabla f(a)\).

Pour une fonction définie par une formule sur \(U \setminus \{a\}\) et par une valeur en \(a\) :

• on justifie le caractère \(C^1\) sur l’ouvert \(U \setminus \{a\}\) par les théorèmes généraux, et on calcule les dérivées partielles ;
• on calcule les dérivées partielles en \(a\) par la définition ;
• on prouve la continuité des dérivées partielles en \(a\) par une majoration, comme en partie II.

Soit \(f(x, y) = \dfrac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}\) et \(f(0, 0) = 0\). Sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\), \(f\) est \(C^1\) comme quotient, et \[\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = \frac{2xy^2(x^2 + y^2) – 2x \cdot x^2 y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2xy^4}{(x^2 + y^2)^2}.\] En l’origine, \(f(t, 0) = 0\), donc \(\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = 0\). Enfin, \(y^4 \leq\, (x^2 + y^2)^2\) donne \(|\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)| \leq\, 2|x| \to 0\). Par symétrie, \(\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}(y, x)\) se traite de même. Ainsi, \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\).

Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur l’ouvert \(U \subset \mathbb{R}^n\) et \(\gamma = (\gamma_1, \ldots, \gamma_n) : I \to U\) dérivable sur l’intervalle \(I\). Alors \(g = f \circ \gamma\) est dérivable sur \(I\), et \[g^{\prime}(t) = \langle \nabla f(\gamma(t)), \gamma^{\prime}(t) \rangle = \sum_{j = 1}^n \partial_j f(\gamma(t))\, \gamma_j^{\prime}(t).\]

Fixons \(t \in I\) et posons \(h(s) = \gamma(t + s) – \gamma(t)\). Comme \(\gamma\) est dérivable en \(t\), on a \(h(s) = s\gamma^{\prime}(t) + o(s)\), donc \(\|h(s)\| = O(|s|)\). Le développement limité de la partie V donne \[g(t + s) – g(t) = \langle \nabla f(\gamma(t)), h(s) \rangle + o(\|h(s)\|) = s\langle \nabla f(\gamma(t)), \gamma^{\prime}(t) \rangle + o(s).\] On divise par \(s\) et on fait tendre \(s\) vers \(0\).

Soit \(V\) un ouvert de \(\mathbb{R}^m\), \(\varphi = (\varphi_1, \ldots, \varphi_n) : V \to U\) de classe \(C^1\), et \(f : U \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\). Alors \(g = f \circ \varphi\) est de classe \(C^1\) sur \(V\) et, pour \(i \in \{1, \ldots, m\}\), \[\frac{\partial g}{\partial u_i}(u) = \sum_{j = 1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(\varphi(u))\, \frac{\partial \varphi_j}{\partial u_i}(u).\]

On fixe \(u \in V\) et on applique le théorème précédent au chemin \(\gamma(t) = \varphi(u + te_i)\). Sa dérivée en \(0\) est le vecteur des \(\frac{\partial \varphi_j}{\partial u_i}(u)\). La formule donne donc la dérivée partielle cherchée. Enfin, cette expression est une somme de produits de fonctions continues : \(g\) est de classe \(C^1\).

Pour dériver une composée, on nomme les variables intermédiaires, par exemple \(x = \varphi_1(u, v)\) et \(y = \varphi_2(u, v)\). Ensuite, on écrit « la dérivée de \(g\) par rapport à \(u\) est la somme, sur chaque variable intermédiaire, de la dérivée de \(f\) par rapport à cette variable, multipliée par la dérivée de cette variable par rapport à \(u\) ». Enfin, on n’oublie pas d’évaluer les dérivées de \(f\) au point \(\varphi(u, v)\).

Coordonnées polaires : pour \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\), posons \(F(r, \theta) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)\). Alors \[\frac{\partial F}{\partial r} = \cos\theta\, \frac{\partial f}{\partial x} + \sin\theta\, \frac{\partial f}{\partial y}, \qquad \frac{\partial F}{\partial \theta} = -r\sin\theta\, \frac{\partial f}{\partial x} + r\cos\theta\, \frac{\partial f}{\partial y},\] les dérivées de \(f\) étant prises en \((r\cos\theta, r\sin\theta)\).

Soit \(f\) de classe \(C^1\) et \(\gamma : I \to U\) un chemin dérivable tracé dans la ligne de niveau \(c\), c’est-à-dire \(f(\gamma(t)) = c\) pour tout \(t\). Alors \(\langle \nabla f(\gamma(t)), \gamma^{\prime}(t) \rangle = 0\) : le gradient est orthogonal aux lignes de niveau.

La fonction \(t \mapsto f(\gamma(t))\) est constante, donc sa dérivée est nulle. La dérivée le long d’un chemin donne exactement \(\langle \nabla f(\gamma(t)), \gamma^{\prime}(t) \rangle = 0\).

La règle de la chaîne exige une fonction \(C^1\), ou au moins différentiable. Soit \(f(x, y) = \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}\), avec \(f(0, 0) = 0\). Ses deux dérivées partielles en \((0, 0)\) sont nulles. Or, pour \(\gamma(t) = (t, t)\), on a \(f(\gamma(t)) = \frac{t}{2}\), de dérivée \(\frac{1}{2}\). La formule donnerait \(\langle \nabla f(0, 0), (1, 1) \rangle = 0\) : elle est fausse ici.