Formes quadratiques : cours de maths en L2 en PDF.

Une forme bilinéaire sur \(E\) est une application \(b : E \times E \to \mathbb{R}\) linéaire par rapport à chacune de ses deux variables. Elle est dite symétrique si \(b(x, y) = b(y, x)\) pour tous \(x, y \in E\).

La matrice de \(b\) dans la base \(\mathcal{B}\) est \(A = \big(b(e_i, e_j)\big)_{1 \leq\, i, j \leq\, n}\). Si \(X\) et \(Y\) sont les colonnes de coordonnées de \(x\) et \(y\), alors

\[b(x, y) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\, x_i\, y_j = X^{T} A\, Y.\]

De plus, \(b\) est symétrique si et seulement si \(A\) est symétrique.

Sur \(\mathbb{R}^2\), posons \(b(x, y) = x_1 y_1 + 3 x_1 y_2 + 3 x_2 y_1 – 2 x_2 y_2\). Le coefficient de \(x_i y_j\) se place en ligne \(i\) et en colonne \(j\). Donc la matrice de \(b\) dans la base canonique est \(\begin{pmatrix} 1 3 \\ 3 -2 \end{pmatrix}\). Elle est symétrique, donc \(b\) l’est aussi.

Soient \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}^{\prime}\) deux bases de \(E\), et \(P\) la matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}^{\prime}\). Si \(A\) et \(A^{\prime}\) sont les matrices de \(b\) dans ces bases, alors \(A^{\prime} = P^{T} A P\).

Les colonnes de coordonnées vérifient \(X = P X^{\prime}\) et \(Y = P Y^{\prime}\). Par conséquent, \(b(x, y) = (P X^{\prime})^{T} A (P Y^{\prime}) = X^{\prime T} (P^{T} A P) Y^{\prime}\). Enfin, une matrice est caractérisée par ces valeurs pour tous \(X^{\prime}, Y^{\prime}\), d’où \(A^{\prime} = P^{T} A P\).

Deux matrices \(A, A^{\prime} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) sont congruentes s’il existe \(P \in GL_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^{\prime} = P^{T} A P\). C’est une relation d’équivalence. Autrement dit, deux matrices sont congruentes si et seulement si elles représentent la même forme bilinéaire dans deux bases.

Congruence et similitude sont deux relations différentes. Par exemple, \(I_2\) et \(\mathrm{diag}(1, 4)\) sont congruentes, avec \(P = \mathrm{diag}(1, 2)\). En revanche, elles ne sont pas semblables, car seule l’identité est semblable à \(I_2\). Le rang reste toutefois invariant, puisque \(P\) et \(P^{T}\) sont inversibles. On définit donc le rang de \(b\) comme le rang de n’importe laquelle de ses matrices.

Une application \(q : E \to \mathbb{R}\) est une forme quadratique s’il existe une forme bilinéaire symétrique \(b\) telle que \(q(x) = b(x, x)\) pour tout \(x \in E\).

Si \(q\) est une forme quadratique, la forme bilinéaire symétrique \(b\) telle que \(q(x) = b(x, x)\) est unique. On l’appelle la forme polaire de \(q\), et on a les identités de polarisation

\[b(x, y) = \frac{1}{2}\big(q(x + y) – q(x) – q(y)\big) = \frac{1}{4}\big(q(x + y) – q(x – y)\big).\]

Par bilinéarité et symétrie, \(q(x + y) = b(x, x) + 2 b(x, y) + b(y, y)\). On isole \(b(x, y)\), ce qui donne la première formule. Ensuite, \(q(x – y) = q(x) – 2 b(x, y) + q(y)\), et la différence fournit la seconde. Ainsi, \(b\) s’exprime à l’aide de \(q\) seule, d’où l’unicité.

Pour écrire la matrice d’une forme quadratique donnée par un polynôme homogène de degré \(2\) :

• le coefficient de \(x_i^2\) se place sur la diagonale, en position \((i, i)\) ;
• le coefficient de \(x_i x_j\), avec \(i \neq j\), est partagé en deux entre les positions \((i, j)\) et \((j, i)\).

La forme polaire s’obtient ensuite par dédoublement : \(x_i^2\) devient \(x_i y_i\), et \(x_i x_j\) devient \(\frac{1}{2}(x_i y_j + x_j y_i)\).

Soit \(q(x, y, z) = 2x^2 – y^2 + 4xy – 6yz\) sur \(\mathbb{R}^3\). Sa matrice dans la base canonique est

\[A = \begin{pmatrix} 2 2 0 \\ 2 -1 -3 \\ 0 -3 0 \end{pmatrix}.\]

Sa forme polaire est donc \(b(u, v) = 2 x x^{\prime} – y y^{\prime} + 2(x y^{\prime} + y x^{\prime}) – 3(y z^{\prime} + z y^{\prime})\), où \(u = (x, y, z)\) et \(v = (x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime})\).

Deux vecteurs \(x, y\) sont \(q\)-orthogonaux si \(b(x, y) = 0\). L’orthogonal d’une partie \(F\) est \(F^{\perp} = \{y \in E,\ \forall x \in F,\ b(x, y) = 0\}\) ; c’est un sous-espace vectoriel. Le noyau de \(q\) est \(\ker q = E^{\perp}\). La forme \(q\) est non dégénérée si \(\ker q = \{0\}\).

Un vecteur \(x\) est isotrope si \(q(x) = 0\). Le cône isotrope de \(q\) est \(C(q) = \{x \in E,\ q(x) = 0\}\). La forme \(q\) est définie si \(C(q) = \{0\}\).

On a toujours \(\ker q \subset C(q)\). En revanche, l’inclusion est souvent stricte. De plus, \(C(q)\) est stable par multiplication par un scalaire, d’où le mot « cône ». Cependant, ce n’est pas un sous-espace vectoriel en général.

Sur \(\mathbb{R}^3\), soit \(q(x, y, z) = x^2 + y^2 – z^2\). Sa matrice \(\mathrm{diag}(1, 1, -1)\) est inversible, donc \(\ker q = \{0\}\). Pourtant, \(C(q)\) est le cône de révolution d’équation \(x^2 + y^2 = z^2\). Par exemple, \(u = (1, 0, 1)\) et \(v = (-1, 0, 1)\) sont isotropes, mais \(q(u + v) = -4 \neq 0\).

Soit \(F\) un sous-espace de \(E\). Alors \(\dim F^{\perp} \geq\, n – \dim F\), avec égalité si \(q\) est non dégénérée. En revanche, même dans ce cas, \(F \cap F^{\perp}\) peut être non nul.

Soit \((f_1, \ldots, f_p)\) une base de \(F\). Alors \(F^{\perp}\) est l’intersection des noyaux des formes linéaires \(\varphi_k = b(f_k, \cdot)\). Une intersection de \(p\) hyperplans ou moins est de dimension au moins \(n – p\). Si \(q\) est non dégénérée, l’application \(x \mapsto b(x, \cdot)\) de \(E\) dans \(E^{*}\) est injective, donc les \(\varphi_k\) sont libres. Par conséquent, la dimension vaut exactement \(n – p\). Enfin, avec l’exemple précédent, \(F = \mathrm{Vect}(u)\) vérifie \(F \subset F^{\perp}\), car \(u\) est isotrope.

Toute forme quadratique sur \(E\) admet une base \(q\)-orthogonale. Dans une telle base \((e_1, \ldots, e_n)\), la matrice de \(q\) est diagonale et \(q(x) = \sum_{i=1}^{n} q(e_i)\, x_i^2\).

On raisonne par récurrence sur \(n\). Si \(q = 0\), toute base convient. Sinon, on choisit \(e_1\) tel que \(q(e_1) \neq 0\). La forme linéaire \(b(e_1, \cdot)\) est non nulle, donc \(H = \{e_1\}^{\perp}\) est un hyperplan. De plus, \(e_1 \notin H\), d’où \(E = \mathrm{Vect}(e_1) \oplus H\). Ensuite, on applique l’hypothèse de récurrence à la restriction de \(q\) à \(H\). Enfin, on complète la base obtenue par \(e_1\).

Réduction de Gauss d’une forme \(q(x_1, \ldots, x_n)\).

• Cas 1 : un carré est présent, par exemple \(a x_1^2\) avec \(a \neq 0\). On regroupe tous les termes contenant \(x_1\) : \(a x_1^2 + x_1 L(x_2, \ldots, x_n) = a(x_1 + \frac{L}{2a})^2 – \frac{L^2}{4a}\). Le reste ne dépend plus de \(x_1\).
• Cas 2 : aucun carré, mais un terme \(a x_1 x_2\) avec \(a \neq 0\). On écrit \(a x_1 x_2 + x_1 L_2 + x_2 L_1 = a(x_1 + \frac{L_1}{a})(x_2 + \frac{L_2}{a}) – \frac{L_1 L_2}{a}\), où \(L_1, L_2\) ne dépendent que de \(x_3, \ldots, x_n\). Puis on utilise \(uv = \frac{1}{4}\big((u + v)^2 – (u – v)^2\big)\).
• On recommence avec la forme restante, qui a au moins une variable de moins.

La méthode de Gauss aboutit à \(q = \sum_{i=1}^{r} \lambda_i\, \ell_i^2\), où les \(\lambda_i\) sont des réels non nuls et \(\ell_1, \ldots, \ell_r\) des formes linéaires linéairement indépendantes. De plus, \(r\) est le rang de \(q\).

À chaque étape, la nouvelle forme linéaire contient une variable absente des suivantes. Donc la matrice des \(\ell_i\) est échelonnée, et les \(\ell_i\) sont libres. On les complète en une base \((\ell_1, \ldots, \ell_n)\) de \(E^{*}\). Soit \((f_1, \ldots, f_n)\) la base de \(E\) dont c’est la base duale. Dans cette base, la matrice de \(q\) est \(\mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_r, 0, \ldots, 0)\), de rang \(r\).

Réduisons \(q(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy + 2xz\). Les termes en \(x\) forment \(x^2 + 2x(y + z) = (x + y + z)^2 – (y + z)^2\). Ainsi, \(q = (x + y + z)^2 + y^2 – 2yz + 2z^2\). Ensuite, \(y^2 – 2yz = (y – z)^2 – z^2\). Finalement,

\[q(x, y, z) = (x + y + z)^2 + (y – z)^2 + z^2.\]

Les trois formes linéaires sont indépendantes, donc \(q\) est de rang \(3\) et ne prend que des valeurs positives.

Pour \(q(x, y, z) = xy + yz + zx\), aucun carré n’apparaît. On écrit d’abord \(xy + z(x + y) = (x + z)(y + z) – z^2\). Puis, avec \(u = x + z\) et \(v = y + z\), on a \(uv = \frac{1}{4}(u + v)^2 – \frac{1}{4}(u – v)^2\). Donc

\[q(x, y, z) = \frac{1}{4}(x + y + 2z)^2 – \frac{1}{4}(x – y)^2 – z^2.\]

Pour obtenir une base \(q\)-orthogonale à partir de \(q = \sum \lambda_i \ell_i^2\), on forme la matrice \(L\) dont les lignes sont les coefficients des \(\ell_i\), complétée si besoin en une matrice inversible. Les colonnes de \(L^{-1}\) forment alors une base \(q\)-orthogonale. En effet, dans cette base, les nouvelles coordonnées sont exactement \(\ell_1(x), \ldots, \ell_n(x)\).

Loi d’inertie de Sylvester. Soit \(q\) une forme quadratique sur \(E\) et \((e_1, \ldots, e_n)\) une base \(q\)-orthogonale. Le nombre \(s\) d’indices tels que \(q(e_i) > 0\) et le nombre \(t\) d’indices tels que \(q(e_i) < 0\) ne dépendent pas de la base \(q\)-orthogonale choisie. Le couple \((s, t)\) est la signature de \(q\), et \(s + t\) est son rang.

Soient deux bases \(q\)-orthogonales, avec \(s\) et \(s^{\prime}\) vecteurs positifs. Notons \(F\) l’espace engendré par les \(s\) vecteurs positifs de la première base. Pour \(x \in F\) non nul, \(q(x) = \sum q(e_i) x_i^2 > 0\). Notons ensuite \(G\) l’espace engendré par les \(n – s^{\prime}\) autres vecteurs de la seconde base. De même, \(q(x) \leq\, 0\) pour tout \(x \in G\). Par conséquent, \(F \cap G = \{0\}\), donc \(s + (n – s^{\prime}) \leq\, n\), soit \(s \leq\, s^{\prime}\). Par symétrie des rôles, \(s = s^{\prime}\). On applique enfin le même argument à \(-q\) pour \(t\).

Une forme \(q\) est positive si \(q(x) \geq\, 0\) pour tout \(x\), et définie positive si de plus \(q(x) = 0 \Rightarrow x = 0\). En dimension \(n\), \(q\) est positive si et seulement si \(t = 0\), et définie positive si et seulement si sa signature est \((n, 0)\).

Toute matrice symétrique réelle \(A\) de signature \((s, t)\) est congruente à \(\mathrm{diag}(I_s, -I_t, 0_{n-s-t})\). Deux matrices symétriques réelles sont congruentes si et seulement si elles ont la même signature.

Dans une base \(q\)-orthogonale, on remplace chaque \(e_i\) tel que \(q(e_i) \neq 0\) par \(e_i / \sqrt{|q(e_i)|}\). On range ensuite les vecteurs dans l’ordre : positifs, négatifs, puis isotropes. La réciproque découle de la loi d’inertie, car la signature ne dépend que de la forme.

En dimension \(2\), écrivons \(q(x, y) = a x^2 + 2bxy + c y^2\) avec \(a \neq 0\). Alors \(q = a(x + \frac{b}{a} y)^2 + \frac{ac – b^2}{a} y^2\). Donc, si \(ac – b^2 > 0\), la signature est \((2, 0)\) ou \((0, 2)\), selon le signe de \(a\). Si \(ac – b^2 < 0\), elle vaut \((1, 1)\). Enfin, si \(ac – b^2 = 0\), le rang vaut \(1\).

Le déterminant d’une matrice est multiplié par \(\det(P)^2 > 0\) lors d’une congruence. Son signe est donc un invariant : si \(q\) est non dégénérée, il vaut \((-1)^{t}\).

Soit \(q(x) = X^{T} A X\), avec \(A\) symétrique réelle. Il existe une base orthonormée \((u_1, \ldots, u_n)\) formée de vecteurs propres de \(A\), de valeurs propres \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\). Dans cette base, avec les coordonnées \(x^{\prime}_i\),

\[q(x) = \lambda_1 x_1^{\prime 2} + \lambda_2 x_2^{\prime 2} + \cdots + \lambda_n x_n^{\prime 2}.\]

En particulier, \(s\) est le nombre de valeurs propres strictement positives et \(t\) celui des valeurs propres strictement négatives, comptées avec multiplicité.

D’après le théorème spectral, \(A = P D P^{T}\) avec \(P\) orthogonale et \(D\) diagonale. Comme \(P^{-1} = P^{T}\), on a \(P^{T} A P = D\) : la matrice de \(q\) dans la base des colonnes de \(P\) est donc \(D\). Ici, similitude et congruence coïncident. La signature découle alors de la loi d’inertie.

Si \(\lambda_{\min}\) et \(\lambda_{\max}\) sont la plus petite et la plus grande valeur propre de \(A\), alors \(\lambda_{\min} \|x\|^2 \leq\, q(x) \leq\, \lambda_{\max} \|x\|^2\) pour tout \(x\). Les bornes sont atteintes sur des vecteurs propres associés.

Soit \(q(x, y) = 3x^2 + 2xy + 3y^2\), de matrice \(\begin{pmatrix} 3 1 \\ 1 3 \end{pmatrix}\). Ses valeurs propres sont \(4\), associée à \(u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)\), et \(2\), associée à \(u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1, 1)\). Donc \(q = 4X^2 + 2Y^2\) dans la base orthonormée \((u_1, u_2)\). Par conséquent, la courbe \(q(x, y) = 4\) a pour équation \(X^2 + \frac{Y^2}{2} = 1\) : c’est une ellipse.

Les coefficients d’une réduction de Gauss ne sont pas les valeurs propres. Par exemple, Gauss donne \(3x^2 + 2xy + 3y^2 = 3(x + \frac{y}{3})^2 + \frac{8}{3} y^2\). Seuls les signes sont les mêmes, par la loi d’inertie. De plus, la base associée n’est pas orthonormée : elle ne conserve pas les longueurs, donc pas la forme exacte des courbes.

Une conique est l’ensemble des points \((x, y)\) vérifiant une équation

\[a x^2 + 2bxy + c y^2 + 2dx + 2ey + f = 0,\]

où \((a, b, c) \neq (0, 0, 0)\). Sa partie quadratique est \(q(x, y) = a x^2 + 2bxy + c y^2\), de matrice \(A = \begin{pmatrix} a b \\ b c \end{pmatrix}\). On note \(\delta = \det A = ac – b^2\).

Pour réduire l’équation d’une conique :

• diagonaliser \(A\) dans une base orthonormée directe \((u_1, u_2)\), puis exprimer \(x, y\) en fonction des nouvelles coordonnées \(X, Y\) ;
• substituer : la partie quadratique devient \(\lambda_1 X^2 + \lambda_2 Y^2\) et la partie linéaire reste linéaire ;
• compléter les carrés, ce qui revient à translater l’origine ;
• reconnaître une équation réduite, puis revenir aux coordonnées initiales pour les éléments remarquables.

Le genre d’une conique est donné par le signe de \(\delta = \lambda_1 \lambda_2\).

• Si \(\delta > 0\) (signature \((2, 0)\) ou \((0, 2)\)) : ellipse, point ou ensemble vide.
• Si \(\delta < 0\) (signature \((1, 1)\)) : hyperbole ou deux droites sécantes.
• Si \(\delta = 0\) (rang \(1\)) : parabole, deux droites parallèles, une droite ou ensemble vide.

Après rotation, l’équation devient \(\lambda_1 X^2 + \lambda_2 Y^2 + 2d^{\prime} X + 2e^{\prime} Y + f = 0\). Si \(\lambda_1 \lambda_2 \neq 0\), on complète les deux carrés et l’on obtient \(\lambda_1 X_1^2 + \lambda_2 Y_1^2 = k\). Lorsque \(\lambda_1, \lambda_2\) sont de même signe, on trouve une ellipse, un point ou le vide selon le signe de \(k\). Sinon, on trouve une hyperbole si \(k \neq 0\), et deux droites sécantes si \(k = 0\). Si \(\lambda_1 = 0\), on complète le carré en \(Y\) : \(\lambda_2 Y_1^2 + 2d^{\prime} X + f^{\prime} = 0\). Pour \(d^{\prime} \neq 0\), c’est une parabole. Pour \(d^{\prime} = 0\), il reste \(Y_1^2 = -f^{\prime}/\lambda_2\), d’où deux droites, une droite ou le vide.

Considérons \(x^2 + 4xy + y^2 = 3\). Ici \(\delta = 1 – 4 = -3 < 0\) : la conique est du genre hyperbole. Les valeurs propres de \(\begin{pmatrix} 1 2 \\ 2 1 \end{pmatrix}\) sont \(3\) et \(-1\), de vecteurs propres \(\frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)\) et \(\frac{1}{\sqrt{2}}(-1, 1)\). L’équation devient \(3X^2 – Y^2 = 3\), soit \(X^2 – \frac{Y^2}{3} = 1\). C’est donc une hyperbole d’axe focal la droite \(y = x\).

Dans un repère orthonormé bien choisi, toute quadrique non vide, non réduite à un point et non contenue dans un plan a pour équation réduite l’une des suivantes, avec \(a, b, c > 0\) :

• \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\) : ellipsoïde ;
• \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} – \frac{z^2}{c^2} = 1\) : hyperboloïde à une nappe ;
• \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} – \frac{z^2}{c^2} = -1\) : hyperboloïde à deux nappes ;
• \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} – \frac{z^2}{c^2} = 0\) : cône ;
• \(z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\) ou \(z = \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2}\) : paraboloïde elliptique ou hyperbolique ;
• une équation sans \(z\) : cylindre elliptique, hyperbolique ou parabolique.

Pour réduire l’équation d’une quadrique, on procède comme pour les coniques. D’abord, on diagonalise \(A\) en base orthonormée, ce qui donne \(\lambda_1 X^2 + \lambda_2 Y^2 + \lambda_3 Z^2\) plus des termes linéaires. Ensuite, on complète les carrés pour chaque \(\lambda_i \neq 0\). Enfin, on lit la nature sur les signes des \(\lambda_i\) et du second membre. Si \(A\) est de rang \(3\), il y a un centre et l’on trouve un ellipsoïde, un hyperboloïde ou un cône. Si \(A\) est de rang \(2\) avec un terme linéaire restant, on obtient un paraboloïde.

Soit la quadrique \(x^2 + y^2 – 2z^2 + 4x – 4z = 0\). On complète les carrés : \((x + 2)^2 – 4 + y^2 – 2(z + 1)^2 + 2 = 0\). Avec \(X = x + 2\), \(Y = y\) et \(Z = z + 1\), on obtient \(X^2 + Y^2 – 2Z^2 = 2\), soit \(\frac{X^2}{2} + \frac{Y^2}{2} – Z^2 = 1\). C’est donc un hyperboloïde à une nappe de centre \((-2, 0, -1)\), de révolution autour de l’axe parallèle à \(Oz\).

La signature de \(A\) donne le type : \((3, 0)\) pour l’ellipsoïde, \((2, 1)\) ou \((1, 2)\) pour les hyperboloïdes et le cône. Le signe du second membre départage ensuite une nappe, deux nappes ou le cône. Ainsi, l’algèbre de la réduction de Gauss et la géométrie des surfaces sont deux lectures du même invariant.