Groupes : cours de maths en L2 en PDF.

Une loi de composition interne sur un ensemble \(E\) est une application \(E \times E \to E\), notée \((x, y) \mapsto x * y\). Elle est associative si \((x * y) * z = x * (y * z)\) pour tous \(x, y, z\) de \(E\). Elle est commutative si \(x * y = y * x\) pour tous \(x, y\). Un élément \(e\) est neutre si \(e * x = x * e = x\) pour tout \(x\).

Un groupe est un couple \((G, *)\) où \(*\) est une loi de composition interne sur \(G\) telle que :

• la loi \(*\) est associative ;
• il existe un élément neutre \(e\) ;
• tout \(x \in G\) admet un symétrique \(x^{\prime}\) : \(x * x^{\prime} = x^{\prime} * x = e\).

Le groupe est dit abélien (ou commutatif) si la loi est de plus commutative. Si \(G\) est fini, son cardinal \(|G|\) s’appelle l’ordre du groupe.

Dans un groupe \(G\), le neutre est unique et chaque élément a un unique symétrique, noté \(x^{-1}\). De plus, \((xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1}\) et \((x^{-1})^{-1} = x\). Enfin, tout élément est simplifiable : \(ax = ay \Rightarrow x = y\) et \(xa = ya \Rightarrow x = y\).

Si \(e\) et \(e_1\) sont neutres, alors \(e = e e_1 = e_1\). Ensuite, si \(y\) et \(z\) sont deux symétriques de \(x\), l’associativité donne \(y = y(xz) = (yx)z = z\). De plus, \((xy)(y^{-1}x^{-1}) = x(yy^{-1})x^{-1} = xx^{-1} = e\), et le produit dans l’autre ordre vaut aussi \(e\). Enfin, on multiplie \(ax = ay\) à gauche par \(a^{-1}\) pour obtenir \(x = y\).

En notation multiplicative, on écrit \(xy\), \(x^{-1}\) et \(x^n\) pour \(n \in \mathbb{Z}\), avec \(x^0 = e\) et \(x^{-n} = (x^{-1})^n\). On a alors \(x^{m+n} = x^m x^n\) et \((x^m)^n = x^{mn}\). Pour un groupe abélien, on utilise souvent la notation additive : \(x + y\), \(-x\), \(nx\) et le neutre \(0\).

• \((\mathbb{Z}, +)\), \((\mathbb{Q}, +)\), \((\mathbb{R}, +)\), \((\mathbb{C}, +)\) et \((\mathbb{Q}^*, \times )\), \((\mathbb{R}^*, \times )\), \((\mathbb{C}^*, \times )\) sont des groupes abéliens.
• \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\) est un groupe abélien d’ordre \(n\), de neutre \(\overline{0}\).
• \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\), les matrices inversibles pour le produit, est un groupe non abélien dès que \(n \geq\, 2\).
• L’ensemble \(\mathcal{S}(E)\) des bijections de \(E\) dans \(E\), muni de la composition, est un groupe de neutre \(\mathrm{Id}_E\).
• Les isométries du plan qui conservent un triangle équilatéral forment un groupe à six éléments : l’identité, deux rotations et trois symétries axiales.

\((\mathbb{N}, +)\) n’est pas un groupe, car \(1\) n’a pas d’opposé dans \(\mathbb{N}\). De même, \((\mathbb{Z}, \times )\) n’est pas un groupe, car \(2\) n’a pas d’inverse entier. Enfin, \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \setminus \{\overline{0}\}\) n’est pas stable par produit, puisque \(\overline{2} \times \overline{3} = \overline{0}\).

Une partie \(H\) d’un groupe \(G\) est un sous-groupe de \(G\) si \(e \in H\), si \(xy \in H\) pour tous \(x, y \in H\), et si \(x^{-1} \in H\) pour tout \(x \in H\). La loi de \(G\) induit alors sur \(H\) une structure de groupe.

Une partie \(H\) de \(G\) est un sous-groupe si et seulement si \(H \neq \emptyset\) et, pour tous \(x, y \in H\), \(xy^{-1} \in H\).

Le sens direct est clair. Réciproquement, soit \(a \in H\). D’abord, \(e = aa^{-1} \in H\). Ensuite, pour \(y \in H\), on obtient \(y^{-1} = ey^{-1} \in H\). Enfin, pour \(x, y \in H\), on a \(xy = x(y^{-1})^{-1} \in H\).

Pour montrer qu’un ensemble \(H\) muni d’une loi est un groupe :

• repérez un groupe connu \(G\) qui contient \(H\) avec la même loi ;
• vérifiez que \(e \in H\), puis que \(x, y \in H \Rightarrow xy^{-1} \in H\) ;
• ou bien reconnaissez \(H\) comme le noyau ou l’image d’un morphisme (partie III).

Pour montrer au contraire que \(H\) n’est pas un sous-groupe, un seul contre-exemple suffit : neutre absent, produit ou inverse qui sort de \(H\).

Le cercle \(\mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}\) est un sous-groupe de \((\mathbb{C}^*, \times )\). En effet, \(1 \in \mathbb{U}\), et si \(|z| = |w| = 1\), alors \(|zw^{-1}| = |z|/|w| = 1\). De même, \(\mathrm{SL}_n(\mathbb{R}) = \{A : \det A = 1\}\) est un sous-groupe de \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\), et \(n\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\).

Toute intersection de sous-groupes de \(G\) est un sous-groupe de \(G\). En revanche, une réunion de deux sous-groupes n’est en général pas un sous-groupe : \(2 \in 2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\) et \(3 \in 2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\), mais \(5 \notin 2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\).

Soit \(A\) une partie de \(G\). Le sous-groupe engendré par \(A\), noté \(\langle A \rangle\), est l’intersection de tous les sous-groupes de \(G\) contenant \(A\). C’est le plus petit sous-groupe de \(G\) qui contient \(A\).

\(\langle A \rangle\) est l’ensemble des produits finis \(x_1^{\varepsilon_1} x_2^{\varepsilon_2} \cdots x_k^{\varepsilon_k}\) avec \(x_i \in A\) et \(\varepsilon_i \in \{-1, 1\}\) (le produit vide valant \(e\)). En particulier, \(\langle a \rangle = \{a^k : k \in \mathbb{Z}\}\).

Notons \(P\) l’ensemble de ces produits. D’abord, \(P\) contient \(e\) et \(A\). Ensuite, le produit de deux tels produits en est encore un, et l’inverse de \(x_1^{\varepsilon_1} \cdots x_k^{\varepsilon_k}\) vaut \(x_k^{-\varepsilon_k} \cdots x_1^{-\varepsilon_1}\). Donc \(P\) est un sous-groupe contenant \(A\), d’où \(\langle A \rangle \subset P\). Inversement, tout sous-groupe contenant \(A\) contient ces produits, donc \(P \subset \langle A \rangle\).

Dans \((\mathbb{Z}, +)\), \(\langle 4, 6 \rangle = \{4u + 6v : u, v \in \mathbb{Z}\} = 2\mathbb{Z}\), car \(2 = 6 – 4\). Dans le groupe des isométries du triangle, \(\langle r \rangle = \{\mathrm{Id}, r, r^2\}\), tandis que \(\langle r, s_1 \rangle\) est le groupe entier.

Soient \(G\) et \(G^{\prime}\) deux groupes. Une application \(f : G \to G^{\prime}\) est un morphisme de groupes si \(f(xy) = f(x) f(y)\) pour tous \(x, y \in G\). Un morphisme bijectif est un isomorphisme ; un isomorphisme de \(G\) dans lui-même est un automorphisme.

Si \(f\) est un morphisme, alors \(f(e) = e^{\prime}\), \(f(x^{-1}) = f(x)^{-1}\) et \(f(x^n) = f(x)^n\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\). La composée de deux morphismes est un morphisme, et la réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme.

On a \(f(e) = f(ee) = f(e) f(e)\), donc \(f(e) = e^{\prime}\) après simplification. Ensuite, \(f(x) f(x^{-1}) = f(xx^{-1}) = e^{\prime}\), d’où \(f(x^{-1}) = f(x)^{-1}\). Enfin, si \(f\) est bijective, posons \(x = f^{-1}(u)\) et \(y = f^{-1}(v)\). Alors \(f(xy) = uv\), donc \(f^{-1}(uv) = xy = f^{-1}(u) f^{-1}(v)\).

• \(\exp : (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_+^*, \times )\) est un isomorphisme, de réciproque \(\ln\).
• \(\det : \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*\) est un morphisme, car \(\det(AB) = \det A \det B\).
• La projection \(\pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), \(k \mapsto \overline{k}\), est un morphisme surjectif.

Le noyau d’un morphisme \(f : G \to G^{\prime}\) est \(\ker f = \{x \in G : f(x) = e^{\prime}\}\). Son image est \(\mathrm{Im}\, f = f(G) = \{f(x) : x \in G\}\).

Soit \(f : G \to G^{\prime}\) un morphisme. L’image directe d’un sous-groupe de \(G\) est un sous-groupe de \(G^{\prime}\), et l’image réciproque d’un sous-groupe de \(G^{\prime}\) est un sous-groupe de \(G\). En particulier, \(\ker f\) est un sous-groupe de \(G\) et \(\mathrm{Im}\, f\) un sous-groupe de \(G^{\prime}\). De plus :

\[f \text{ injective} \iff \ker f = \{e\}.\]

Soit \(H\) un sous-groupe de \(G\). D’abord, \(e^{\prime} = f(e) \in f(H)\). Ensuite, \(f(x) f(y)^{-1} = f(xy^{-1}) \in f(H)\) pour \(x, y \in H\). De même, si \(H^{\prime}\) est un sous-groupe de \(G^{\prime}\) et \(x, y \in f^{-1}(H^{\prime})\), alors \(f(xy^{-1}) = f(x) f(y)^{-1} \in H^{\prime}\). Pour l’injectivité, supposons \(\ker f = \{e\}\). Si \(f(x) = f(y)\), alors \(f(xy^{-1}) = e^{\prime}\), donc \(xy^{-1} = e\) et \(x = y\). La réciproque vient de \(f(e) = e^{\prime}\).

Pour identifier le noyau et l’image d’un morphisme \(f\) :

• vérifiez d’abord que \(f\) est bien un morphisme ;
• pour le noyau, résolvez l’équation \(f(x) = e^{\prime}\) ;
• pour l’image, cherchez pour quels \(y\) l’équation \(f(x) = y\) a une solution ;
• concluez sur l’injectivité par le critère \(\ker f = \{e\}\).

Soit \(f : (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{C}^*, \times )\), \(t \mapsto e^{it}\). C’est un morphisme, car \(e^{i(s+t)} = e^{is} e^{it}\). Ensuite, \(e^{it} = 1 \iff t \in 2\pi\mathbb{Z}\), donc \(\ker f = 2\pi\mathbb{Z}\). Enfin, tout complexe de module 1 s’écrit \(e^{it}\), donc \(\mathrm{Im}\, f = \mathbb{U}\). Par conséquent, \(f\) n’est pas injective.

Soit \(x \in G\). S’il existe un entier \(n \geq\, 1\) tel que \(x^n = e\), le plus petit d’entre eux est l’ordre de \(x\). Sinon, on dit que \(x\) est d’ordre infini.

Soit \(x\) d’ordre fini \(n\). Alors, pour tout \(k \in \mathbb{Z}\), \(x^k = e \iff n \mid k\). De plus, \(\langle x \rangle = \{e, x, \ldots, x^{n-1}\}\) a exactement \(n\) éléments. Si \(x\) est d’ordre infini, les \(x^k\), \(k \in \mathbb{Z}\), sont deux à deux distincts.

Écrivons la division euclidienne \(k = qn + r\) avec \(0 \leq\, r < n\). Alors \(x^k = (x^n)^q x^r = x^r\). Donc \(x^k = e\) équivaut à \(x^r = e\), c’est-à-dire à \(r = 0\) par minimalité de \(n\). Le même calcul montre que \(\langle x \rangle = \{x^r : 0 \leq\, r < n\}\). Ces éléments sont distincts : si \(x^r = x^s\) avec \(0 \leq\, r < s < n\), alors \(x^{s-r} = e\) avec \(0 < s – r < n\), ce qui est exclu. Enfin, si \(x\) est d’ordre infini, \(x^k = x^l\) avec \(k < l\) donnerait \(x^{l-k} = e\), ce qui est impossible.

Si \(x\) est d’ordre \(n\) et \(k \in \mathbb{Z}\), alors \(x^k\) est d’ordre \(\dfrac{n}{\mathrm{pgcd}(n, k)}\).

Posons \(d = \mathrm{pgcd}(n, k)\), \(n = dn_1\) et \(k = dk_1\), avec \(n_1\) et \(k_1\) premiers entre eux. Pour \(m \geq\, 1\), on a \((x^k)^m = e \iff n \mid km \iff n_1 \mid k_1 m\). Par le lemme de Gauss, cela équivaut à \(n_1 \mid m\). Le plus petit tel \(m\) est donc \(n_1 = n/d\).

Pour déterminer l’ordre d’un élément \(x\) :

• calculez les puissances successives \(x, x^2, x^3, \ldots\) jusqu’à trouver \(e\) ;
• si vous savez que \(x^N = e\), l’ordre divise \(N\) : testez seulement les diviseurs de \(N\) ;
• dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), l’ordre de \(\overline{k}\) vaut \(n/\mathrm{pgcd}(n, k)\) ;
• dans \(\mathbb{C}^*\), \(e^{2i\pi p/q}\) avec \(\mathrm{pgcd}(p, q) = 1\) est d’ordre \(q\), et un complexe de module différent de 1 est d’ordre infini.

Dans \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\), l’élément \(\overline{8}\) est d’ordre \(12/\mathrm{pgcd}(12, 8) = 3\). En effet, \(\overline{8} + \overline{8} + \overline{8} = \overline{24} = \overline{0}\). Dans \(\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})\), la matrice \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) est d’ordre 4, car son carré vaut \(-I_2\).

Les sous-groupes de \((\mathbb{Z}, +)\) sont exactement les \(n\mathbb{Z}\) avec \(n \in \mathbb{N}\), et l’entier \(n\) est unique.

Soit \(H\) un sous-groupe. Si \(H = \{0\}\), alors \(H = 0\mathbb{Z}\). Sinon, \(H\) contient un entier non nul, donc aussi son opposé : \(H \cap \mathbb{N}^*\) est non vide. Soit \(n\) son plus petit élément. D’abord, \(n\mathbb{Z} \subset H\). Ensuite, pour \(h \in H\), écrivons \(h = qn + r\) avec \(0 \leq\, r < n\). Alors \(r = h – qn \in H\), donc \(r = 0\) par minimalité. Ainsi \(H = n\mathbb{Z}\). Enfin, \(n\) est le plus petit élément strictement positif de \(H\), d’où l’unicité.

Pour \(a, b \in \mathbb{Z}\), on a \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = d\mathbb{Z}\) avec \(d = \mathrm{pgcd}(a, b)\), et \(a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z} = m\mathbb{Z}\) avec \(m = \mathrm{ppcm}(a, b)\).

Un groupe \(G\) est monogène s’il existe \(a \in G\) tel que \(G = \langle a \rangle\) ; un tel \(a\) est un générateur. Un groupe monogène fini est dit cyclique.

Soit \(G = \langle a \rangle\) un groupe monogène. Si \(G\) est infini, il est isomorphe à \((\mathbb{Z}, +)\). Si \(G\) est d’ordre \(n\), il est isomorphe à \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\) par \(\overline{k} \mapsto a^k\).

L’application \(\varphi : \mathbb{Z} \to G\), \(k \mapsto a^k\), est un morphisme surjectif. Son noyau est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\), donc de la forme \(n\mathbb{Z}\). Si \(n = 0\), \(\varphi\) est injective, donc c’est un isomorphisme. Sinon, \(a\) est d’ordre \(n\), et \(a^k = a^l \iff n \mid k – l\). Par conséquent, \(\psi(\overline{k}) = a^k\) est bien défini et injectif. De plus, \(\psi\) est un morphisme surjectif, donc un isomorphisme.

Les générateurs de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) sont les \(\overline{k}\) avec \(\mathrm{pgcd}(k, n) = 1\) ; il y en a \(\varphi(n)\), où \(\varphi\) est l’indicatrice d’Euler. De plus, pour chaque diviseur \(d\) de \(n\), \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) possède un unique sous-groupe d’ordre \(d\), à savoir \(\langle \overline{n/d} \rangle\), et il n’en a pas d’autre.

Le groupe \(\mathbb{U}_n\) des racines \(n\)-ièmes de l’unité est cyclique d’ordre \(n\), engendré par \(\omega = e^{2i\pi/n}\). L’isomorphisme \(\overline{k} \mapsto \omega^k\) montre que \(\omega^k\) est d’ordre \(n/\mathrm{pgcd}(n, k)\). Ainsi, les générateurs de \(\mathbb{U}_{12}\) sont \(\omega\), \(\omega^5\), \(\omega^7\) et \(\omega^{11}\) : ce sont les racines primitives douzièmes de l’unité.

Soit \(H\) un sous-groupe de \(G\). On pose \(x \sim y \iff x^{-1} y \in H\). La classe à gauche de \(x\) modulo \(H\) est \(xH = \{xh : h \in H\}\). On définit de même la classe à droite \(Hx\). L’ensemble des classes à gauche se note \(G/H\).

La relation \(\sim\) est une relation d’équivalence sur \(G\), et la classe de \(x\) est \(xH\). Par conséquent, les classes à gauche forment une partition de \(G\). De plus, \(h \mapsto xh\) est une bijection de \(H\) sur \(xH\).

D’abord, \(x^{-1}x = e \in H\), donc \(\sim\) est réflexive. Ensuite, si \(x^{-1}y \in H\), son inverse \(y^{-1}x\) est dans \(H\) : la relation est symétrique. De plus, si \(x^{-1}y\) et \(y^{-1}z\) sont dans \(H\), leur produit \(x^{-1}z\) aussi : elle est transitive. Par ailleurs, \(y \sim x \iff x^{-1}y \in H \iff y \in xH\). Enfin, \(h \mapsto xh\) est surjective sur \(xH\) par définition, et injective par simplification.

Dans \(G = \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\), prenons \(H = \langle \overline{4} \rangle = \{\overline{0}, \overline{4}, \overline{8}\}\). En notation additive, les classes sont \(\overline{0} + H\), \(\overline{1} + H = \{\overline{1}, \overline{5}, \overline{9}\}\), \(\overline{2} + H\) et \(\overline{3} + H\). On obtient ainsi 4 classes de 3 éléments, et \(4 \times 3 = 12\).

Théorème de Lagrange. Soit \(G\) un groupe fini et \(H\) un sous-groupe de \(G\). Alors l’ordre de \(H\) divise l’ordre de \(G\). Plus précisément, \(|G| = |H| \times |G/H|\). L’entier \([G : H] = |G/H|\) s’appelle l’indice de \(H\) dans \(G\).

Les classes à gauche forment une partition de \(G\). Notons \(x_1H, \ldots, x_kH\) ces classes, deux à deux distinctes, avec \(k = |G/H|\). Chacune est en bijection avec \(H\), donc possède \(|H|\) éléments. Par conséquent, \(|G| = \sum_{i=1}^{k} |x_iH| = k\,|H|\).

Soit \(G\) un groupe fini d’ordre \(n\).

• L’ordre de tout élément \(x\) divise \(n\), et donc \(x^n = e\).
• Si \(n\) est premier, \(G\) est cyclique, et tout élément différent de \(e\) l’engendre.

L’ordre de \(x\) est le cardinal de \(\langle x \rangle\), qui divise \(n\) par Lagrange. En écrivant \(n = dm\), avec \(d\) l’ordre de \(x\), on obtient \(x^n = (x^d)^m = e\). Ensuite, si \(n\) est premier et \(x \neq e\), l’ordre de \(x\) divise \(n\) et vaut au moins 2, donc il vaut \(n\). Ainsi \(\langle x \rangle = G\).

Pour utiliser le théorème de Lagrange :

• listez les diviseurs de \(|G|\) : ce sont les seuls ordres possibles pour un élément ou un sous-groupe ;
• pour calculer \(x^N\), réduisez l’exposant \(N\) modulo l’ordre de \(x\), ou modulo \(|G|\) ;
• pour montrer qu’un sous-groupe est tout \(G\), montrez que son ordre ne peut être qu’un diviseur de \(|G|\) supérieur à \(|G|/2\).

Pour \(p\) premier, \(((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*, \times )\) est un groupe d’ordre \(p – 1\). Donc \(\overline{a}^{\,p-1} = \overline{1}\) pour \(a\) non divisible par \(p\) : c’est le petit théorème de Fermat. Par exemple, \(3^{100} = (3^{10})^{10}\) et \(3^{10} \equiv 1 \pmod{11}\), donc \(3^{100} \equiv 1 \pmod{11}\).

La réciproque du théorème de Lagrange est fausse : un diviseur de \(|G|\) n’est pas toujours l’ordre d’un sous-groupe. Par exemple, le groupe alterné \(\mathcal{A}_4\), d’ordre 12, n’a aucun sous-groupe d’ordre 6 (résultat admis ici). De plus, dans un groupe non abélien, la classe à gauche \(xH\) peut différer de la classe à droite \(Hx\).

Le groupe symétrique \(\mathcal{S}_n\) est le groupe des bijections de \(\{1, \ldots, n\}\) dans lui-même, muni de la composition. Ses éléments s’appellent des permutations, et \(|\mathcal{S}_n| = n!\). On note \(\sigma\tau = \sigma \circ \tau\) : on applique d’abord \(\tau\), puis \(\sigma\).

Soient \(a_1, \ldots, a_k\) des éléments distincts, avec \(k \geq\, 2\). Le cycle \((a_1\ a_2\ \cdots\ a_k)\) est la permutation qui envoie \(a_1\) sur \(a_2\), \(a_2\) sur \(a_3\), …, \(a_k\) sur \(a_1\), et fixe les autres éléments. L’entier \(k\) est sa longueur et \(\{a_1, \ldots, a_k\}\) son support. Un cycle de longueur 2 est une transposition.

Un cycle de longueur \(k\) est d’ordre \(k\). Deux cycles de supports disjoints commutent. Enfin, \(\mathcal{S}_n\) n’est pas abélien pour \(n \geq\, 3\), car \((1\ 2)(1\ 3) = (1\ 3\ 2)\) alors que \((1\ 3)(1\ 2) = (1\ 2\ 3)\).

Toute permutation \(\sigma \neq \mathrm{Id}\) s’écrit comme un produit de cycles à supports deux à deux disjoints. Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près. L’ordre de \(\sigma\) est alors le ppcm des longueurs de ces cycles.

Posons \(i \equiv j\) s’il existe \(m \in \mathbb{Z}\) tel que \(j = \sigma^m(i)\) : c’est une relation d’équivalence, dont les classes sont les orbites de \(\sigma\). Soit \(i\) et \(p\) le plus petit entier \(p \geq\, 1\) tel que \(\sigma^p(i) = i\). L’orbite de \(i\) est alors \(\{i, \sigma(i), \ldots, \sigma^{p-1}(i)\}\), et \(\sigma\) y agit comme le cycle \((i\ \sigma(i)\ \cdots\ \sigma^{p-1}(i))\). Le produit des cycles associés aux orbites de plus d’un élément coïncide donc avec \(\sigma\) en tout point. L’unicité vient de ce que chaque cycle est imposé par son orbite. Enfin, des cycles disjoints commutent : si \(\sigma = c_1 \cdots c_r\), alors \(\sigma^m = c_1^m \cdots c_r^m\), et ce produit vaut \(\mathrm{Id}\) si et seulement si chaque \(c_j^m = \mathrm{Id}\).

Pour décomposer une permutation en cycles disjoints :

• partez du plus petit élément non encore traité et suivez les flèches \(i \mapsto \sigma(i)\) jusqu’à revenir au départ ;
• recommencez avec le plus petit élément restant ;
• oubliez les points fixes ;
• l’ordre est le ppcm des longueurs, et la signature vaut \((-1)^{\sum (k_j – 1)}\).

Soit \(\sigma \in \mathcal{S}_8\) donnée par

\[\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 6 & 1 & 3 & 8 & 2 & 5 & 7 \end{pmatrix}.\]

On suit \(1 \to 4 \to 3 \to 1\), puis \(2 \to 6 \to 2\), puis \(5 \to 8 \to 7 \to 5\). Donc \(\sigma = (1\ 4\ 3)(2\ 6)(5\ 8\ 7)\), et son ordre vaut \(\mathrm{ppcm}(3, 2, 3) = 6\).

Toute permutation est un produit de transpositions. Plus précisément, \((a_1\ a_2\ \cdots\ a_k) = (a_1\ a_2)(a_2\ a_3) \cdots (a_{k-1}\ a_k)\).

Une inversion de \(\sigma\) est un couple \((i, j)\) avec \(i < j\) et \(\sigma(i) > \sigma(j)\). Si \(I(\sigma)\) est leur nombre, la signature de \(\sigma\) est \(\varepsilon(\sigma) = (-1)^{I(\sigma)}\).

La signature \(\varepsilon : \mathcal{S}_n \to \{-1, 1\}\) est un morphisme de groupes. Toute transposition a pour signature \(-1\), et un cycle de longueur \(k\) a pour signature \((-1)^{k-1}\). Le noyau de \(\varepsilon\) est le groupe alterné \(\mathcal{A}_n\).

D’abord, on a la formule

\[\varepsilon(\sigma) = \prod_{1 \leq\, i < j \leq\, n} \frac{\sigma(j) – \sigma(i)}{j – i}.\]

En effet, le numérateur et le dénominateur contiennent les mêmes facteurs en valeur absolue, et chaque inversion apporte un signe moins. Ensuite, chaque quotient est symétrique en \(i\) et \(j\). Donc, pour \(\sigma, \tau \in \mathcal{S}_n\) :

\[\varepsilon(\sigma\tau) = \prod_{i < j} \frac{\sigma(\tau(j)) – \sigma(\tau(i))}{\tau(j) – \tau(i)} \prod_{i < j} \frac{\tau(j) – \tau(i)}{j – i} = \varepsilon(\sigma)\, \varepsilon(\tau),\]

car les paires \(\{\tau(i), \tau(j)\}\) décrivent une fois chaque paire. De plus, \((1\ 2)\) n’a qu’une inversion, donc \(\varepsilon((1\ 2)) = -1\). Toute transposition \((a\ b)\) s’écrit \(\gamma (1\ 2) \gamma^{-1}\) pour une permutation \(\gamma\) envoyant 1 sur \(a\) et 2 sur \(b\). Par conséquent, \(\varepsilon((a\ b)) = -1\). Enfin, un \(k\)-cycle est un produit de \(k – 1\) transpositions.

Pour \(\sigma = (1\ 4\ 3)(2\ 6)(5\ 8\ 7)\), on obtient \(\varepsilon(\sigma) = (+1)(-1)(+1) = -1\). La permutation \(\sigma\) est donc impaire, et \(\sigma \notin \mathcal{A}_8\).

Un anneau \((A, +, \times )\) est un ensemble muni de deux lois telles que \((A, +)\) est un groupe abélien, \(\times \) est associative, possède un neutre \(1_A\), et est distributive sur \(+\) des deux côtés. L’anneau est commutatif si \(\times \) l’est. Les inversibles de \(A\) forment un groupe multiplicatif noté \(A^{\times }\).

Un corps est un anneau commutatif \(K\) tel que \(1_K \neq 0_K\) et dont tout élément non nul est inversible. Autrement dit, \(K^{\times } = K \setminus \{0\}\).

\(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), \(\mathbb{R}[X]\) et \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) sont des anneaux commutatifs. En revanche, \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est un anneau non commutatif pour \(n \geq\, 2\). Enfin, \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{C}\) sont des corps, tandis que \(\mathbb{Z}^{\times } = \{-1, 1\}\).

Dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), la classe \(\overline{k}\) est inversible si et seulement si \(\mathrm{pgcd}(k, n) = 1\). Par conséquent, \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier.

Si \(\overline{k}\,\overline{u} = \overline{1}\), alors \(ku + nv = 1\) pour un entier \(v\), donc \(\mathrm{pgcd}(k, n) = 1\). Réciproquement, le théorème de Bézout fournit \(u, v\) avec \(ku + nv = 1\), et \(\overline{u}\) est l’inverse de \(\overline{k}\). Ainsi, tous les \(\overline{k} \neq \overline{0}\) sont inversibles si et seulement si \(n\) est premier avec \(1, \ldots, n-1\), c’est-à-dire si \(n\) est premier.

Soit \(A\) un anneau commutatif. Un idéal de \(A\) est un sous-groupe \(I\) de \((A, +)\) tel que \(ax \in I\) pour tous \(a \in A\) et \(x \in I\). Pour \(x \in A\), l’ensemble \(xA\) est l’idéal engendré par \(x\). Un morphisme d’anneaux \(f : A \to B\) vérifie \(f(x + y) = f(x) + f(y)\), \(f(xy) = f(x) f(y)\) et \(f(1_A) = 1_B\).

• Le noyau d’un morphisme d’anneaux commutatifs est un idéal.
• Un idéal qui contient un inversible est l’anneau entier ; les seuls idéaux d’un corps sont \(\{0\}\) et le corps.
• Les idéaux de \(\mathbb{Z}\) sont les \(n\mathbb{Z}\), \(n \in \mathbb{N}\).

Le noyau est un sous-groupe additif, et si \(f(x) = 0\), alors \(f(ax) = f(a) \times 0 = 0\). Ensuite, si \(u \in I\) est inversible, alors \(1 = u^{-1}u \in I\), puis \(a = a \times 1 \in I\) pour tout \(a\). Dans un corps, tout idéal non nul contient un inversible. Enfin, un idéal de \(\mathbb{Z}\) est un sous-groupe, donc de la forme \(n\mathbb{Z}\) ; réciproquement, \(n\mathbb{Z}\) est stable par multiplication par un entier.

L’évaluation \(\mathrm{ev}_1 : \mathbb{R}[X] \to \mathbb{R}\), \(P \mapsto P(1)\), est un morphisme d’anneaux. Son noyau est l’idéal des polynômes qui s’annulent en 1. Par la division euclidienne, c’est exactement \((X – 1)\,\mathbb{R}[X]\).