Contrôle de maths 1ère : applications du produit scalaire et Al-Kashi

Exercice 1 : Calculer une longueur (4 points)

Calculatrice autorisée (en mode degrés).

Dans le triangle \(ABC\) ci-dessous, \(AB = 7\) cm, \(AC = 5\) cm et \(\widehat{BAC} = 60^\circ\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Calcule \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\). (1 point)
2. À l’aide du théorème d’Al-Kashi, calcule la valeur exacte de \(BC\), puis une valeur approchée au millimètre. (1,5 point)
3. Calcule une mesure de l’angle \(\widehat{ABC}\), arrondie au dixième de degré. (1,5 point)

Exercice 2 : Calculer les angles d’un triangle (3 points)

Un triangle \(DEF\) a pour côtés \(DE = 8\) m, \(DF = 5\) m et \(EF = 7\) m.

1. Montre que \(\widehat{EDF} = 60^\circ\). (1,5 point)
2. Calcule une mesure de \(\widehat{DEF}\) arrondie au dixième de degré. (1 point)
3. Déduis-en une mesure approchée de \(\widehat{DFE}\). (0,5 point)

Exercice 3 : Un ensemble de points (4 points)

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1 \,;\, 1)\), \(B(5 \,;\, 3)\) et \(C(4 \,;\, 0)\). On note \(I\) le milieu de \([AB]\).

1. Démontre que pour tout point \(M\) du plan, \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 – \dfrac{AB^2}{4}\). (1,5 point)
2. Déduis-en la nature de l’ensemble \(\Gamma\) des points \(M\) tels que \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\). (0,5 point)
3. Le point \(C\) appartient-il à \(\Gamma\) ? Justifie par un calcul et interprète pour le triangle \(ABC\). (1 point)
4. Détermine l’ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 5\). (1 point)

Exercice 4 : Un angle droit dans un rectangle (4 points)

\(ABCD\) est un rectangle tel que \(AB = 4\) et \(AD = 2\). \(I\) est le milieu de \([AB]\).

1. Justifie que \(\vec{ID} = \vec{IA} + \vec{AD}\) et que \(\vec{IC} = -\vec{IA} + \vec{AD}\). (1 point)
2. Calcule \(\vec{ID} \cdot \vec{IC}\) en utilisant la bilinéarité. (1,5 point)
3. Que peut-on en conclure pour l’angle \(\widehat{DIC}\) ? (0,5 point)
4. On considère maintenant un rectangle quelconque de longueur \(AB = L\) et de largeur \(AD = \ell\), avec \(I\) toujours milieu de \([AB]\). À quelle condition sur \(L\) et \(\ell\) l’angle \(\widehat{DIC}\) est-il droit ? (1 point)

Exercice 5 : Deux bateaux (5 points)

Deux bateaux quittent le port \(P\) au même moment. Le voilier \(A\) suit un cap rectiligne et parcourt 15 km en une heure ; le chalutier \(B\) suit un autre cap rectiligne et parcourt 12 km en une heure. Les deux routes forment un angle de \(70^\circ\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Calcule \(\vec{PA} \cdot \vec{PB}\), arrondi au dixième. (1 point)
2. Calcule la distance \(AB\) entre les deux bateaux au bout d’une heure, arrondie à la centaine de mètres. (1,5 point)
3. Calcule une mesure de l’angle \(\widehat{PAB}\), arrondie au degré. (1,5 point)
4. Au bout d’une heure, le voilier s’arrête. Le chalutier va le rejoindre en ligne droite à \(20\) km/h. Combien de temps, à la minute près, lui faut-il ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : applications du produit scalaire et Al-Kashi

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Le produit scalaire dans le plan » en 1ère et « Les suites numériques » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés produit scalaire.

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