Corrigé du contrôle de maths 1ère : calcul de dérivées et règles de dérivation

Exercice 1 : Dérivées des fonctions de référence (4 points)

1. \((x^n)^{\prime} = nx^{n-1}\) : \(f_1^{\prime}(x) = 5x^4\).
2. On dérive terme à terme : \(f_2^{\prime}(x) = 12x^2 – 14x + 2\).
3. \((\dfrac{1}{x})^{\prime} = -\dfrac{1}{x^2}\), donc \(f_3^{\prime}(x) = -\dfrac{3}{x^2}\).
4. \((\sqrt{x})^{\prime} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), donc \(f_4^{\prime}(x) = \dfrac{5}{2\sqrt{x}}\).
5. \((\dfrac{x^2}{4})^{\prime} = \dfrac{2x}{4} = \dfrac{x}{2}\), donc \(f_5^{\prime}(x) = \dfrac{x}{2} – 3\).
6. \((-\dfrac{1}{x})^{\prime} = \dfrac{1}{x^2}\), donc \(f_6^{\prime}(x) = 8x^3 + \dfrac{1}{x^2}\).
7. \((\dfrac{2}{3}x^3)^{\prime} = \dfrac{2}{3} \times 3x^2 = 2x^2\), donc \(f_7^{\prime}(x) = 2x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
8. \(\pi\) est une constante, de dérivée nulle : \(f_8^{\prime}(x) = -6\).

Erreur fréquente : en h), dériver \(\pi\) comme une variable ; c’est un nombre, sa dérivée est 0.

Barème : 0,5 point par dérivée exacte ; 0,25 point si une seule erreur de coefficient ou de signe.

Exercice 2 : Produits et quotients (5 points)

1. On pose \(u(x) = 2x + 1\) et \(v(x) = x^2 – 3\), donc \(u^{\prime}(x) = 2\) et \(v^{\prime}(x) = 2x\).

   \(g_1^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\) : \(g_1^{\prime}(x) = 2(x^2 – 3) + (2x + 1) \times 2x = 2x^2 – 6 + 4x^2 + 2x\).

   \(g_1^{\prime}(x) = 6x^2 + 2x – 6\).

2. On pose \(u(x) = x\) et \(v(x) = \sqrt{x}\), donc \(u^{\prime}(x) = 1\) et \(v^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).

   \(g_2^{\prime}(x) = 1 \times \sqrt{x} + x \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \dfrac{\sqrt{x}}{2}\), car \(\dfrac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}\) pour \(x > 0\).

   \(g_2^{\prime}(x) = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}\).

3. On pose \(u(x) = 3x – 1\) et \(v(x) = x + 2\), donc \(u^{\prime}(x) = 3\) et \(v^{\prime}(x) = 1\).

   \(g_3^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^2}\) : \(g_3^{\prime}(x) = \dfrac{3(x + 2) – (3x – 1)}{(x + 2)^2} = \dfrac{3x + 6 – 3x + 1}{(x + 2)^2}\).

   \(g_3^{\prime}(x) = \dfrac{7}{(x + 2)^2}\).

4. On pose \(u(x) = x^2 + 1\) et \(v(x) = x – 1\), donc \(u^{\prime}(x) = 2x\) et \(v^{\prime}(x) = 1\).

   \(g_4^{\prime}(x) = \dfrac{2x(x – 1) – (x^2 + 1)}{(x – 1)^2} = \dfrac{2x^2 – 2x – x^2 – 1}{(x – 1)^2}\).

   \(g_4^{\prime}(x) = \dfrac{x^2 – 2x – 1}{(x – 1)^2}\).

5. \(g_5 = 5 \times \dfrac{1}{v}\) avec \(v(x) = x^2 + 4\), qui ne s’annule pas, et \(v^{\prime}(x) = 2x\). Comme \((\dfrac{1}{v})^{\prime} = -\dfrac{v^{\prime}}{v^2}\) :

   \(g_5^{\prime}(x) = 5 \times \dfrac{-2x}{(x^2 + 4)^2} = \dfrac{-10x}{(x^2 + 4)^2}\).

Erreur fréquente : dans un quotient, écrire \(uv^{\prime} – u^{\prime}v\) au numérateur : l’ordre compte, et l’erreur change le signe du résultat.

Barème : pour chaque question, 0,25 point pour \(u\), \(v\) et leurs dérivées, 0,5 point pour la formule appliquée, 0,25 point pour la simplification.

Exercice 3 : Fonctions de la forme g(ax + b) (3 points)

Si \(h(x) = g(ax + b)\), alors \(h^{\prime}(x) = a \times g^{\prime}(ax + b)\).

1. Ici \(g(X) = X^4\), \(g^{\prime}(X) = 4X^3\), \(a = 3\) et \(b = -2\). \(h_1^{\prime}(x) = 3 \times 4(3x – 2)^3 = 12(3x – 2)^3\).
2. Ici \(g(X) = \sqrt{X}\), \(g^{\prime}(X) = \dfrac{1}{2\sqrt{X}}\), \(a = -2\) et \(b = 5\). Pour \(x < \dfrac{5}{2}\), on a \(5 – 2x > 0\) :

   \(h_2^{\prime}(x) = -2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{5 – 2x}} = -\dfrac{1}{\sqrt{5 – 2x}}\).

3. Ici \(g(X) = \dfrac{1}{X}\), \(g^{\prime}(X) = -\dfrac{1}{X^2}\), \(a = 4\) et \(b = 1\). \(h_3^{\prime}(x) = 4 \times \dfrac{-1}{(4x + 1)^2} = -\dfrac{4}{(4x + 1)^2}\).

Erreur fréquente : oublier le facteur \(a\) : écrire \(4(3x – 2)^3\) au lieu de \(12(3x – 2)^3\).

Barème : pour chaque question, 0,5 point pour l’identification de \(g\), \(a\) et \(b\), 0,5 point pour le résultat.

Exercice 4 : Tangentes à une courbe de degré 3 (4 points)

1. \(f^{\prime}(x) = 3x^2 – 6x\).
2. \(f(1) = 1 – 3 + 1 = -1\) et \(f^{\prime}(1) = 3 – 6 = -3\).

   La tangente a pour équation \(y = f^{\prime}(1)(x – 1) + f(1) = -3(x – 1) – 1\). Équation réduite : \(y = -3x + 2\).

3. La tangente est horizontale lorsque \(f^{\prime}(x) = 0\) : \(3x^2 – 6x = 3x(x – 2) = 0\), soit \(x = 0\) ou \(x = 2\).

   \(f(0) = 1\) et \(f(2) = 8 – 12 + 1 = -3\). La tangente est horizontale aux points \((0\,;1)\) et \((2\,;-3)\).

   C’est cohérent avec la courbe : elle présente un « sommet » en \((0\,;1)\) et un « creux » en \((2\,;-3)\).

   

4. Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. On cherche donc \(x\) tel que \(f^{\prime}(x) = 9\) :

   \(3x^2 – 6x = 9\) équivaut à \(x^2 – 2x – 3 = 0\). \(\Delta = 4 + 12 = 16\), donc \(x = \dfrac{2 – 4}{2} = -1\) ou \(x = \dfrac{2 + 4}{2} = 3\).

   \(f(-1) = -1 – 3 + 1 = -3\) : tangente \(y = 9(x + 1) – 3\), soit \(y = 9x + 6\).

   \(f(3) = 27 – 27 + 1 = 1\) : tangente \(y = 9(x – 3) + 1\), soit \(y = 9x – 26\).

   Oui : aux points \((-1\,;-3)\) et \((3\,;1)\), les tangentes \(y = 9x + 6\) et \(y = 9x – 26\) sont parallèles à \(D\).

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour \(f(1)\) et \(f^{\prime}(1)\), 0,5 point pour l’équation ; c) 0,5 point pour les abscisses, 0,5 point pour les points et la vérification ; d) 0,5 point pour l’équation \(f^{\prime}(x) = 9\), 0,5 point pour ses solutions, 0,5 point pour les points et les tangentes.

Exercice 5 : Une fonction rationnelle (4 points)

1. On pose \(u(x) = x^2 + 3\) et \(v(x) = x + 1\), qui ne s’annule pas sur \(]-1\,;+\infty[\) ; \(u^{\prime}(x) = 2x\) et \(v^{\prime}(x) = 1\).

   \(q^{\prime}(x) = \dfrac{2x(x + 1) – (x^2 + 3)}{(x + 1)^2} = \dfrac{2x^2 + 2x – x^2 – 3}{(x + 1)^2}\), donc \(q^{\prime}(x) = \dfrac{x^2 + 2x – 3}{(x + 1)^2}\).

2. On développe : \((x + 3)(x – 1) = x^2 – x + 3x – 3 = x^2 + 2x – 3\). On a bien \(q^{\prime}(x) = \dfrac{(x + 3)(x – 1)}{(x + 1)^2}\).
3. \(q^{\prime}(x) = 0\) équivaut à \((x + 3)(x – 1) = 0\), soit \(x = -3\) ou \(x = 1\). Seul \(1\) appartient à \(]-1\,;+\infty[\).

   \(q(1) = \dfrac{1 + 3}{1 + 1} = 2\). La tangente est horizontale au point \((1\,;2)\).

4. \(q(0) = 3\) et \(q^{\prime}(0) = \dfrac{-3}{1} = -3\). La tangente a pour équation \(y = -3(x – 0) + 3\), soit \(y = -3x + 3\).

   Elle coupe l’axe des abscisses quand \(-3x + 3 = 0\), soit \(x = 1\).

Erreur fréquente : en c), garder la solution \(x = -3\), qui n’appartient pas à l’ensemble de définition de \(q\).

Barème : a) 0,5 point pour \(u\), \(v\) et leurs dérivées, 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour la simplification ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour l’équation et le rejet de \(-3\), 0,5 point pour le point ; d) 0,5 point pour la tangente, 0,5 point pour l’intersection.

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Après le corrigé du contrôle : calcul de dérivées et règles de dérivation

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