Voici le corrigé du contrôle de maths de 1ère sur le thème : calcul de dérivées et règles de dérivation.
Cette correction nomme à chaque fois la formule de dérivation utilisée, en posant \(u\) et \(v\) avec leurs dérivées avant d’appliquer \((uv)^{\prime}\) ou \((\frac{u}{v})^{\prime}\). C’est cette présentation qui évite la plupart des erreurs de signe, surtout dans le numérateur d’un quotient, où l’ordre des termes compte.
Les résultats sont simplifiés et, quand c’est utile, factorisés pour préparer l’étude du signe. Pour les tangentes, une figure permet de vérifier graphiquement les points trouvés par le calcul. Le barème distingue la formule, le calcul et la simplification.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 1ère : calcul de dérivées et règles de dérivation.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Dérivées des fonctions de référence | 4 points |
| Exercice 2 : Produits et quotients | 5 points |
| Exercice 3 : Fonctions de la forme g(ax + b) | 3 points |
| Exercice 4 : Tangentes à une courbe de degré 3 | 4 points |
| Exercice 5 : Une fonction rationnelle | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Dérivées des fonctions de référence (4 points)
- \((x^n)^{\prime} = nx^{n-1}\) : \(f_1^{\prime}(x) = 5x^4\).
- On dérive terme à terme : \(f_2^{\prime}(x) = 12x^2 – 14x + 2\).
- \((\dfrac{1}{x})^{\prime} = -\dfrac{1}{x^2}\), donc \(f_3^{\prime}(x) = -\dfrac{3}{x^2}\).
- \((\sqrt{x})^{\prime} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), donc \(f_4^{\prime}(x) = \dfrac{5}{2\sqrt{x}}\).
- \((\dfrac{x^2}{4})^{\prime} = \dfrac{2x}{4} = \dfrac{x}{2}\), donc \(f_5^{\prime}(x) = \dfrac{x}{2} – 3\).
- \((-\dfrac{1}{x})^{\prime} = \dfrac{1}{x^2}\), donc \(f_6^{\prime}(x) = 8x^3 + \dfrac{1}{x^2}\).
- \((\dfrac{2}{3}x^3)^{\prime} = \dfrac{2}{3} \times 3x^2 = 2x^2\), donc \(f_7^{\prime}(x) = 2x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
- \(\pi\) est une constante, de dérivée nulle : \(f_8^{\prime}(x) = -6\).
Erreur fréquente : en h), dériver \(\pi\) comme une variable ; c’est un nombre, sa dérivée est 0.
Barème : 0,5 point par dérivée exacte ; 0,25 point si une seule erreur de coefficient ou de signe.
Exercice 2 : Produits et quotients (5 points)
- On pose \(u(x) = 2x + 1\) et \(v(x) = x^2 – 3\), donc \(u^{\prime}(x) = 2\) et \(v^{\prime}(x) = 2x\).
\(g_1^{\prime} = u^{\prime}v + uv^{\prime}\) : \(g_1^{\prime}(x) = 2(x^2 – 3) + (2x + 1) \times 2x = 2x^2 – 6 + 4x^2 + 2x\).
\(g_1^{\prime}(x) = 6x^2 + 2x – 6\).
- On pose \(u(x) = x\) et \(v(x) = \sqrt{x}\), donc \(u^{\prime}(x) = 1\) et \(v^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
\(g_2^{\prime}(x) = 1 \times \sqrt{x} + x \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \dfrac{\sqrt{x}}{2}\), car \(\dfrac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}\) pour \(x > 0\).
\(g_2^{\prime}(x) = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}\).
- On pose \(u(x) = 3x – 1\) et \(v(x) = x + 2\), donc \(u^{\prime}(x) = 3\) et \(v^{\prime}(x) = 1\).
\(g_3^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}v – uv^{\prime}}{v^2}\) : \(g_3^{\prime}(x) = \dfrac{3(x + 2) – (3x – 1)}{(x + 2)^2} = \dfrac{3x + 6 – 3x + 1}{(x + 2)^2}\).
\(g_3^{\prime}(x) = \dfrac{7}{(x + 2)^2}\).
- On pose \(u(x) = x^2 + 1\) et \(v(x) = x – 1\), donc \(u^{\prime}(x) = 2x\) et \(v^{\prime}(x) = 1\).
\(g_4^{\prime}(x) = \dfrac{2x(x – 1) – (x^2 + 1)}{(x – 1)^2} = \dfrac{2x^2 – 2x – x^2 – 1}{(x – 1)^2}\).
\(g_4^{\prime}(x) = \dfrac{x^2 – 2x – 1}{(x – 1)^2}\).
- \(g_5 = 5 \times \dfrac{1}{v}\) avec \(v(x) = x^2 + 4\), qui ne s’annule pas, et \(v^{\prime}(x) = 2x\). Comme \((\dfrac{1}{v})^{\prime} = -\dfrac{v^{\prime}}{v^2}\) :
\(g_5^{\prime}(x) = 5 \times \dfrac{-2x}{(x^2 + 4)^2} = \dfrac{-10x}{(x^2 + 4)^2}\).
Erreur fréquente : dans un quotient, écrire \(uv^{\prime} – u^{\prime}v\) au numérateur : l’ordre compte, et l’erreur change le signe du résultat.
Barème : pour chaque question, 0,25 point pour \(u\), \(v\) et leurs dérivées, 0,5 point pour la formule appliquée, 0,25 point pour la simplification.
Exercice 3 : Fonctions de la forme g(ax + b) (3 points)
Si \(h(x) = g(ax + b)\), alors \(h^{\prime}(x) = a \times g^{\prime}(ax + b)\).
- Ici \(g(X) = X^4\), \(g^{\prime}(X) = 4X^3\), \(a = 3\) et \(b = -2\). \(h_1^{\prime}(x) = 3 \times 4(3x – 2)^3 = 12(3x – 2)^3\).
- Ici \(g(X) = \sqrt{X}\), \(g^{\prime}(X) = \dfrac{1}{2\sqrt{X}}\), \(a = -2\) et \(b = 5\). Pour \(x < \dfrac{5}{2}\), on a \(5 – 2x > 0\) :
\(h_2^{\prime}(x) = -2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{5 – 2x}} = -\dfrac{1}{\sqrt{5 – 2x}}\).
- Ici \(g(X) = \dfrac{1}{X}\), \(g^{\prime}(X) = -\dfrac{1}{X^2}\), \(a = 4\) et \(b = 1\). \(h_3^{\prime}(x) = 4 \times \dfrac{-1}{(4x + 1)^2} = -\dfrac{4}{(4x + 1)^2}\).
Erreur fréquente : oublier le facteur \(a\) : écrire \(4(3x – 2)^3\) au lieu de \(12(3x – 2)^3\).
Barème : pour chaque question, 0,5 point pour l’identification de \(g\), \(a\) et \(b\), 0,5 point pour le résultat.
Exercice 4 : Tangentes à une courbe de degré 3 (4 points)
- \(f^{\prime}(x) = 3x^2 – 6x\).
- \(f(1) = 1 – 3 + 1 = -1\) et \(f^{\prime}(1) = 3 – 6 = -3\).
La tangente a pour équation \(y = f^{\prime}(1)(x – 1) + f(1) = -3(x – 1) – 1\). Équation réduite : \(y = -3x + 2\).
- La tangente est horizontale lorsque \(f^{\prime}(x) = 0\) : \(3x^2 – 6x = 3x(x – 2) = 0\), soit \(x = 0\) ou \(x = 2\).
\(f(0) = 1\) et \(f(2) = 8 – 12 + 1 = -3\). La tangente est horizontale aux points \((0\,;1)\) et \((2\,;-3)\).
C’est cohérent avec la courbe : elle présente un « sommet » en \((0\,;1)\) et un « creux » en \((2\,;-3)\).
- Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. On cherche donc \(x\) tel que \(f^{\prime}(x) = 9\) :
\(3x^2 – 6x = 9\) équivaut à \(x^2 – 2x – 3 = 0\). \(\Delta = 4 + 12 = 16\), donc \(x = \dfrac{2 – 4}{2} = -1\) ou \(x = \dfrac{2 + 4}{2} = 3\).
\(f(-1) = -1 – 3 + 1 = -3\) : tangente \(y = 9(x + 1) – 3\), soit \(y = 9x + 6\).
\(f(3) = 27 – 27 + 1 = 1\) : tangente \(y = 9(x – 3) + 1\), soit \(y = 9x – 26\).
Oui : aux points \((-1\,;-3)\) et \((3\,;1)\), les tangentes \(y = 9x + 6\) et \(y = 9x – 26\) sont parallèles à \(D\).
Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour \(f(1)\) et \(f^{\prime}(1)\), 0,5 point pour l’équation ; c) 0,5 point pour les abscisses, 0,5 point pour les points et la vérification ; d) 0,5 point pour l’équation \(f^{\prime}(x) = 9\), 0,5 point pour ses solutions, 0,5 point pour les points et les tangentes.
Exercice 5 : Une fonction rationnelle (4 points)
- On pose \(u(x) = x^2 + 3\) et \(v(x) = x + 1\), qui ne s’annule pas sur \(]-1\,;+\infty[\) ; \(u^{\prime}(x) = 2x\) et \(v^{\prime}(x) = 1\).
\(q^{\prime}(x) = \dfrac{2x(x + 1) – (x^2 + 3)}{(x + 1)^2} = \dfrac{2x^2 + 2x – x^2 – 3}{(x + 1)^2}\), donc \(q^{\prime}(x) = \dfrac{x^2 + 2x – 3}{(x + 1)^2}\).
- On développe : \((x + 3)(x – 1) = x^2 – x + 3x – 3 = x^2 + 2x – 3\). On a bien \(q^{\prime}(x) = \dfrac{(x + 3)(x – 1)}{(x + 1)^2}\).
- \(q^{\prime}(x) = 0\) équivaut à \((x + 3)(x – 1) = 0\), soit \(x = -3\) ou \(x = 1\). Seul \(1\) appartient à \(]-1\,;+\infty[\).
\(q(1) = \dfrac{1 + 3}{1 + 1} = 2\). La tangente est horizontale au point \((1\,;2)\).
- \(q(0) = 3\) et \(q^{\prime}(0) = \dfrac{-3}{1} = -3\). La tangente a pour équation \(y = -3(x – 0) + 3\), soit \(y = -3x + 3\).
Elle coupe l’axe des abscisses quand \(-3x + 3 = 0\), soit \(x = 1\).
Erreur fréquente : en c), garder la solution \(x = -3\), qui n’appartient pas à l’ensemble de définition de \(q\).
Barème : a) 0,5 point pour \(u\), \(v\) et leurs dérivées, 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour la simplification ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour l’équation et le rejet de \(-3\), 0,5 point pour le point ; d) 0,5 point pour la tangente, 0,5 point pour l’intersection.
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