Voici le corrigé du contrôle de maths de 2de sur le thème : développer, factoriser, identités remarquables.
Cette correction montre toutes les étapes attendues en seconde. Pour chaque développement, l’identité utilisée est écrite avant le calcul, et les parenthèses précédées d’un signe moins sont traitées avec soin. Pour chaque factorisation, le facteur commun est souligné par des crochets ou l’expression est écrite sous la forme \(a^2 – b^2\).
Le dernier exercice explique pourquoi la forme factorisée est idéale pour résoudre une équation produit nul, et la forme développée pour calculer l’image de 0. Le barème détaillé permet de noter ta copie, et les erreurs fréquentes t’aident à éviter les pièges de signe.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 2de : développer, factoriser, identités remarquables.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Automatismes | 4 points |
| Exercice 2 : Développer et réduire | 4 points |
| Exercice 3 : Factoriser | 5 points |
| Exercice 4 : Calculs astucieux | 3 points |
| Exercice 5 : Choisir la bonne forme | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Automatismes (4 points)
- \(3(2x – 5) = 6x – 15\).
- Avec \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) : \((x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\).
- Le facteur commun est \(5x\) : \(5x^2 – 10x = 5x(x – 2)\).
- \(x^2 – 49 = x^2 – 7^2\) : \(x^2 – 49 = (x – 7)(x + 7)\).
- Avec \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\) : \((2x – 1)(2x + 1) = 4x^2 – 1\).
- \(2 \times (-2)^2 – 3 \times (-2) = 2 \times 4 + 6 = 14\). Résultat : 14.
- \(-x + 3 + 2x + 2 = x + 5\). \(-(x – 3) + 2(x + 1) = x + 5\).
- \(x^2 – 6x + 9 = x^2 – 2 \times x \times 3 + 3^2\) : \(x^2 – 6x + 9 = (x – 3)^2\).
Barème : 0,5 point par réponse exacte.
Exercice 2 : Développer et réduire (4 points)
- Avec \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\), où \(a = 3x\) et \(b = 2\) :
\(A = (3x)^2 – 2 \times 3x \times 2 + 2^2\). \(A = 9x^2 – 12x + 4\).
- \((x + 5)(2x – 3) = 2x^2 – 3x + 10x – 15 = 2x^2 + 7x – 15\).
\((x – 1)^2 = x^2 – 2x + 1\).
\(B = 2x^2 + 7x – 15 – (x^2 – 2x + 1) = 2x^2 + 7x – 15 – x^2 + 2x – 1\).
\(B = x^2 + 9x – 16\).
- \((2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9\) et \((2x – 3)^2 = 4x^2 – 12x + 9\).
\(C = 4x^2 + 12x + 9 – (4x^2 – 12x + 9) = 4x^2 + 12x + 9 – 4x^2 + 12x – 9\).
\(C = 24x\).
Autre méthode : \(C\) est de la forme \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\), avec \(a – b = 6\) et \(a + b = 4x\), d’où \(C = 6 \times 4x = 24x\).
Barème : a) 0,5 point pour l’identité, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour le produit, 0,5 point pour le carré, 0,5 point pour la suppression de la parenthèse et la réduction ; c) 0,5 point par carré développé, 0,5 point pour la réduction.
Erreur fréquente : en b), écrire \(- x^2 – 2x + 1\) en supprimant la parenthèse : le signe moins change le signe de chacun des trois termes.
Exercice 3 : Factoriser (5 points)
- Le facteur commun est \((x + 2)\) :
\(D = (x + 2)[(3x – 1) + (x + 4)]\). \(D = (x + 2)(4x + 3)\).
- On écrit \((2x – 1)^2 = (2x – 1)(2x – 1)\) : le facteur commun est \((2x – 1)\).
\(E = (2x – 1)[(2x – 1) – (x + 3)] = (2x – 1)(2x – 1 – x – 3)\).
\(E = (2x – 1)(x – 4)\).
- \(F = (3x)^2 – 5^2\), de la forme \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\). \(F = (3x – 5)(3x + 5)\).
- \(G = (x + 1)^2 – 4^2 = [(x + 1) – 4][(x + 1) + 4]\). \(G = (x – 3)(x + 5)\).
Barème : a) 0,5 point pour le facteur commun, 0,5 point pour la réduction ; b) 0,5 point pour le facteur commun, 0,5 point pour les crochets, 0,5 point pour la réduction (signes compris) ; c) 0,5 point pour la reconnaissance de \(a^2 – b^2\), 0,5 point pour le résultat ; d) 0,5 point pour \(a^2 – b^2\) avec \(a = x + 1\), 0,5 point par facteur réduit.
Erreur fréquente : en b), oublier de changer le signe de 3 : \(-(x + 3) = -x – 3\), et non \(-x + 3\).
Exercice 4 : Calculs astucieux (3 points)
- \(101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10\,000 + 200 + 1\). \(101^2 = 10\,201\).
- \(99 \times 101 = (100 – 1)(100 + 1) = 100^2 – 1^2 = 10\,000 – 1\). \(99 \times 101 = 9\,999\).
- Avec \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) :
\(1\,003^2 – 997^2 = (1\,003 – 997)(1\,003 + 997) = 6 \times 2\,000\). \(1\,003^2 – 997^2 = 12\,000\).
Barème : pour chaque calcul, 0,5 point pour l’identité correctement utilisée, 0,5 point pour le résultat.
Exercice 5 : Choisir la bonne forme (4 points)
- \(f(x) = (x – 3)^2 – 4 = x^2 – 6x + 9 – 4\). \(f(x) = x^2 – 6x + 5\).
- \(f(x) = (x – 3)^2 – 2^2\) est une différence de deux carrés :
\(f(x) = [(x – 3) – 2][(x – 3) + 2]\). \(f(x) = (x – 5)(x – 1)\).
On peut vérifier en développant : \((x – 5)(x – 1) = x^2 – x – 5x + 5 = x^2 – 6x + 5\).
-
i. Forme développée : \(f(0) = 0 – 0 + 5\). \(f(0) = 5\).
ii. Forme de départ : \(f(3) = (3 – 3)^2 – 4 = 0 – 4\). \(f(3) = -4\).
iii. Forme factorisée : \((x – 5)(x – 1) = 0\). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x – 5 = 0\) ou \(x – 1 = 0\). Les solutions sont 1 et 5.
iv. Forme développée : \(x^2 – 6x + 5 = 5\) équivaut à \(x^2 – 6x = 0\), soit \(x(x – 6) = 0\), donc \(x = 0\) ou \(x = 6\). Les solutions sont 0 et 6.
Barème : a) 0,5 point pour le développement du carré, 0,5 point pour la réduction ; b) 0,5 point pour la différence de deux carrés, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point par question (0,25 point pour le choix de la forme, 0,25 point pour la réponse).
Erreur fréquente : résoudre \(f(x) = 5\) avec la forme factorisée en écrivant \(x – 5 = 5\) ou \(x – 1 = 5\) : la règle du produit nul ne fonctionne que si le second membre vaut 0.
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