Voici le corrigé du contrôle de maths de 3ème sur le thème : calcul littéral et équations.
Cette correction détaille chaque étape comme sur une copie de brevet. Pour développer, on applique la double distributivité ou une identité remarquable, en faisant attention aux signes devant une parenthèse. Pour factoriser, on repère le facteur commun ou la forme \(a^2 – b^2\).
Chaque équation produit nul est résolue avec la propriété citée en entier, et les solutions sont vérifiées. Pour les problèmes, on choisit l’inconnue, on écrit l’équation, on la résout et on conclut par une phrase. Le barème indique où se trouvent les points de méthode.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 3ème : calcul littéral et équations.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Automatismes | 4 points |
| Exercice 2 : Développer et réduire | 3 points |
| Exercice 3 : Factoriser pour résoudre | 4 points |
| Exercice 4 : Deux programmes de calcul | 4 points |
| Exercice 5 : Le potager de Nora | 5 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Automatismes (4 points)
- \(3(2x – 5) = 3 \times 2x – 3 \times 5\) : \(6x – 15\).
- \(-2x(x + 4) = -2x \times x + (-2x) \times 4\) : \(-2x^2 – 8x\).
- \(7x + 21 = 7 \times x + 7 \times 3\) : \(7(x + 3)\).
- \(x^2 – 5x = x \times x – 5 \times x\) : \(x(x – 5)\).
- \(4x = 9 + 3 = 12\), donc \(x = 12 : 4\) : \(x = 3\).
- \((-2)^2 + 3 \times (-2) + 2 = 4 – 6 + 2 = 0\) : oui, \(-2\) est solution.
- \(2 \times (-3)^2 – (-3) = 2 \times 9 + 3 = 18 + 3\) : \(21\).
- \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) avec \(a = x\) et \(b = 5\) : \(x^2 + 10x + 25\).
Erreur fréquente : écrire \((x + 5)^2 = x^2 + 25\) en oubliant le double produit \(2 \times x \times 5 = 10x\).
Barème : 0,5 point par réponse exacte, soit 8 × 0,5 = 4 points.
Exercice 2 : Développer et réduire (3 points)
- Double distributivité :
\(A = 2x \times x + 2x \times (-4) + 3 \times x + 3 \times (-4)\)
\(A = 2x^2 – 8x + 3x – 12\)
\(A = 2x^2 – 5x – 12\) - Identité remarquable \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) avec \(a = 3x\) et \(b = 1\) :
\(B = (3x)^2 – 2 \times 3x \times 1 + 1^2\)
\(B = 9x^2 – 6x + 1\) - \((x + 6)(x – 6) = x^2 – 36\) (identité \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\)) et \((x – 2)^2 = x^2 – 4x + 4\).
\(C = x^2 – 36 – (x^2 – 4x + 4)\)
\(C = x^2 – 36 – x^2 + 4x – 4\)
\(C = 4x – 40\)
Erreur fréquente : dans \(C\), oublier de changer tous les signes en supprimant les parenthèses précédées d’un signe moins, et écrire \(- 4x + 4\) au lieu de \(+ 4x – 4\).
Barème : a) 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour la réduction ; b) 0,5 point pour l’identité utilisée, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour les deux développements, 0,5 point pour la gestion du signe moins et le résultat.
Exercice 3 : Factoriser pour résoudre (4 points)
- Le facteur commun est \((x – 3)\) :
\(D = (x – 3)[(2x + 1) + (x + 5)]\)
\(D = (x – 3)(3x + 6)\)
Or \(3x + 6 = 3(x + 2)\), donc \(D = 3(x – 3)(x + 2)\). - \(D = 0\) équivaut à \(3(x – 3)(x + 2) = 0\). Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. Comme \(3 \neq 0\) :
\(x – 3 = 0\) ou \(x + 2 = 0\)
\(x = 3\) ou \(x = -2\)
L’équation \(D = 0\) a deux solutions : \(3\) et \(-2\). - \(E = (4x)^2 – 3^2 = (4x – 3)(4x + 3)\) avec l’identité \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).
\(E = 0\) équivaut à \(4x – 3 = 0\) ou \(4x + 3 = 0\), soit \(x = \dfrac{3}{4}\) ou \(x = -\dfrac{3}{4}\).
\(E = (4x – 3)(4x + 3)\) ; les solutions de \(E = 0\) sont \(\dfrac{3}{4}\) et \(-\dfrac{3}{4}\).
Erreur fréquente : développer \(D\) pour résoudre \(D = 0\) : on obtient \(3x^2 – 3x – 18 = 0\), qu’on ne sait pas résoudre en 3ème. C’est la forme factorisée qui permet d’utiliser le produit nul.
Barème : a) 0,5 point pour le facteur commun, 0,5 point pour \((x – 3)(3x + 6)\), 0,5 point pour la forme demandée ; b) 0,5 point pour la propriété du produit nul citée, 0,5 point par solution ; c) 0,5 point pour la factorisation, 0,5 point pour les deux solutions.
Exercice 4 : Deux programmes de calcul (4 points)
- Programme A : \(4 + 3 = 7\) ; \(7 \times 4 = 28\) ; \(28 – 4^2 = 28 – 16 = 12\).
Programme B : \(4 \times 5 = 20\) ; \(20 – 8 = 12\).
Les deux programmes donnent \(12\). - Soit \(x\) le nombre choisi. Le programme A donne :
\((x + 3) \times x – x^2 = x^2 + 3x – x^2 = 3x\).
Le programme A donne toujours \(3x\), c’est-à-dire le triple du nombre choisi. - Le programme B donne \(5x – 8\). Les deux résultats sont égaux lorsque :
\(3x = 5x – 8\)
\(3x – 5x = -8\)
\(-2x = -8\)
\(x = 4\)
L’équation a une seule solution, \(4\). Non : \(4\) est le seul nombre pour lequel les deux programmes donnent le même résultat.
Erreur fréquente : se contenter de tester quelques nombres en b). Un exemple ne prouve pas qu’une propriété est toujours vraie : il faut un calcul avec \(x\).
Barème : a) 0,5 point par programme ; b) 0,5 point pour l’expression \((x + 3)x – x^2\), 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour sa résolution, 0,5 point pour la conclusion rédigée.
Exercice 5 : Le potager de Nora (5 points)
- Aire du carré : \(5^2 = 25\text{ m}^2\).
Le rectangle mesure \(5 + 6 = 11\text{ m}\) sur \(5 – 2 = 3\text{ m}\) : \(11 \times 3 = 33\text{ m}^2\).
Le potager carré mesure \(25\text{ m}^2\) et le potager rectangulaire \(33\text{ m}^2\). - Le rectangle a pour dimensions \(x + 6\) et \(x – 2\), donc son aire est :
\((x + 6)(x – 2) = x^2 – 2x + 6x – 12\)
\((x + 6)(x – 2) = x^2 + 4x – 12\). - L’aire du carré est \(x^2\). Le potager gagne \(20\text{ m}^2\) si :
\(x^2 + 4x – 12 = x^2 + 20\)
\(4x – 12 = 20\)
\(4x = 32\)
\(x = 8\)
Vérification : le carré mesure \(8^2 = 64\text{ m}^2\) et le rectangle \(14 \times 6 = 84\text{ m}^2\) ; on a bien \(84 – 64 = 20\).
Le potager carré de départ a un côté de \(8\text{ m}\). - Les aires sont égales si \(x^2 + 4x – 12 = x^2\), soit \(4x – 12 = 0\), donc \(x = 3\).
Vérification : carré \(3^2 = 9\text{ m}^2\) ; rectangle \(9 \times 1 = 9\text{ m}^2\).
Les deux potagers ont la même aire pour \(x = 3\text{ m}\).
Erreur fréquente : écrire l’équation \(x^2 + 4x – 12 = 20\), qui traduit « le nouveau potager mesure \(20\text{ m}^2\) » et non « il gagne \(20\text{ m}^2\) ».
Barème : a) 0,5 point par aire ; b) 0,5 point pour l’expression \((x + 6)(x – 2)\), 1 point pour le développement réduit ; c) 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour la résolution, 0,5 point pour la vérification et la phrase-réponse ; d) 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour la solution.
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Après le corrigé du contrôle : calcul littéral et équations
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