Contrôle de maths 3ème : nombres premiers et décomposition en facteurs

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Réponds à chaque question sans justification.

1. Le nombre 91 est-il un nombre premier ? (1 point)
2. Donne la liste de tous les nombres premiers compris entre 20 et 40. (1 point)
3. Calcule \(2^3 \times 3^2\). (1 point)
4. Donne un diviseur de \(1\,155\) autre que 1 et \(1\,155\). (1 point)

Exercice 2 : Critères de divisibilité (4 points)

On considère les quatre nombres suivants : 342 ; \(1\,035\) ; \(2\,170\) ; \(4\,815\).

1. Recopie et complète le tableau suivant par « oui » ou « non ». (2,5 points)
   

   Le nombre est-il divisible par…	2	3	5	9
   342
   \(1\,035\)
   \(2\,170\)
   \(4\,815\)

2. Explique pourquoi \(1\,035\) n’est pas un nombre premier. (0,5 point)
3. Sans poser de division, Léo affirme que \(4\,815\) est divisible par 45. A-t-il raison ? Justifie. (1 point)

Exercice 3 : Décomposer en produit de facteurs premiers (5 points)

Inès a commencé l’arbre de décomposition du nombre 360.

1. Recopie et complète l’arbre, puis écris la décomposition de 360 en produit de facteurs premiers, en utilisant des puissances. (1,5 point)
2. Décompose \(1\,050\) en produit de facteurs premiers par divisions successives, en présentant tes calculs. (1,5 point)
3. Décompose 294 en produit de facteurs premiers. (1 point)
4. Par quel plus petit nombre entier faut-il multiplier 360 pour obtenir le carré d’un nombre entier ? Justifie à l’aide de la décomposition de la question a. (1 point)

Exercice 4 : Des fractions irréductibles (3 points)

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont pas d’autre diviseur commun que 1.

1. En utilisant les décompositions obtenues à l’exercice 3, rends la fraction \(\dfrac{294}{1\,050}\) irréductible. (1,5 point)
2. Décompose 252 en produit de facteurs premiers, puis rends la fraction \(\dfrac{252}{360}\) irréductible. (1,5 point)

Exercice 5 : Le nombre mystère (4 points)

1. Sofiane affirme : « Si on multiplie deux nombres premiers, puis qu’on ajoute 1 au produit obtenu, le résultat est toujours un nombre premier. » A-t-il raison ? Justifie. (1 point)
2. Maëlle pense à un nombre entier compris entre 100 et 200. Voici ses indices :
   • son nombre est impair ;
   • il est divisible par 5 et par 11 ;
   • sa décomposition en produit de facteurs premiers comporte exactement trois facteurs premiers, tous différents.

   Trouve le nombre de Maëlle en expliquant ta démarche. (1,5 point)

3. Montre que 221 n’est pas un nombre premier. On pourra tester la division de 221 par les nombres premiers inférieurs ou égaux à 13. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : nombres premiers et décomposition en facteurs

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Arithmétique et nombres premiers » en 3ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés arithmétique et décomposition en facteurs premiers.

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