Ce contrôle de maths de Terminale porte sur le thème suivant : dérivée d’une composée et variations.
Ce sujet de Terminale porte sur la dérivée d’une fonction composée et son utilisation pour étudier une fonction. Tu commenceras par dériver des fonctions de la forme \(u(ax + b)\), \(e^{u}\), \(\sqrt{u}\) et \(u^n\), puis tu détermineras l’équation d’une tangente à la courbe d’une fonction racine.
L’exercice principal est une étude complète : limites, dérivée, signe de la dérivée, tableau de variations avec l’extremum. Le problème final est une optimisation : trouver le point d’une courbe le plus proche d’un point donné. Durée : une heure, calculatrice autorisée.
- Niveau : Terminale
- Chapitre : Dérivation et convexité
- Durée conseillée : 1 heure
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 5 points ; exercice 2 : 4 points ; exercice 3 : 7 points ; exercice 4 : 4 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : dériver des fonctions composées de la forme u(ax + b), e^u, racine de u et u^n
- Raisonner : déduire le sens de variation d’une fonction du signe de sa dérivée
- Représenter : dresser un tableau de variations complet avec les limites et les extremums
- Modéliser : exprimer une distance par une fonction et la rendre minimale
- Communiquer : déterminer et interpréter l’équation d’une tangente
Exercice 1 : Dérivées de fonctions composées (5 points)
Calculatrice autorisée.
Pour chaque fonction, on admet qu’elle est dérivable sur l’intervalle indiqué. Calculer sa dérivée et l’écrire sous forme simplifiée.
- \(f(x) = (3x – 1)^4\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
- \(g(x) = \sqrt{x^2 + 5}\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
- \(h(x) = e^{x^2 – 3x}\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
- \(k(x) = \dfrac{1}{(2x + 1)^3}\) sur \(]-\frac{1}{2}\,;+\infty[\). (1 point)
- \(m(x) = \sqrt{4 – 2x}\) sur \(]-\infty\,;2[\). (1 point)
Exercice 2 : Tangente à une courbe (4 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \([-\frac{1}{2}\,;+\infty[\) par \(f(x) = \sqrt{2x + 1}\). On admet que \(f\) est dérivable sur \(]-\frac{1}{2}\,;+\infty[\). On a tracé sa courbe \(\mathcal{C}_f\) et la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point \(A\) d’abscisse 4.
- Calculer \(f^{\prime}(x)\) pour \(x > -\frac{1}{2}\). (1 point)
- Déterminer une équation de la tangente \(T\). (1,5 point)
- La tangente \(T\) passe-t-elle par le point \(B(-5\,;0)\) ? Justifier. (0,5 point)
- Déterminer le point de \(\mathcal{C}_f\) en lequel la tangente est parallèle à la droite d’équation \(y = x\). (1 point)
Exercice 3 : Étude complète d’une fonction (7 points)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x – 2)e^{2x}\), et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative.
- Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\) (on pourra poser \(X = 2x\)). Interpréter graphiquement. (1,5 point)
- Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\). (0,5 point)
- Montrer que, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x) = (2x – 3)e^{2x}\). (1,5 point)
- Dresser le tableau de variations complet de \(f\), en donnant la valeur exacte de son minimum puis une valeur approchée à \(10^{-2}\) près. (2 points)
- Déterminer une équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 0. (1 point)
- Résoudre l’équation \(f(x) = 0\). (0,5 point)
Exercice 4 : Le point le plus proche (4 points)
Dans un repère orthonormé, on considère la courbe \(\mathcal{C}\) de la fonction racine carrée et le point \(A(2\,;0)\). Pour tout réel \(x \geq\, 0\), on note \(M\) le point de \(\mathcal{C}\) d’abscisse \(x\), et \(d(x)\) la distance \(AM\).
- Montrer que, pour tout \(x \geq\, 0\), \(d(x) = \sqrt{x^2 – 3x + 4}\). (1 point)
- Justifier que \(x^2 – 3x + 4 > 0\) pour tout réel \(x\), puis calculer \(d^{\prime}(x)\). (1 point)
- Étudier les variations de \(d\) sur \([0\,;+\infty[\) et en déduire la distance minimale \(AM\), en valeur exacte puis arrondie au centième. (1,5 point)
- Donner les coordonnées du point \(M\) correspondant. (0,5 point)
Réviser avant le contrôle : dérivée d’une composée et variations
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « La dérivée d’une fonction » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés dérivée d’une fonction.
Retrouve tous les contrôles de maths en Terminale classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.
