Corrigé du brevet de maths 2025 en Asie-Pacifique

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Corrigé du sujet

Exercice 1 :

QCM : probabilité, pourcentage, statistiques, fonction affine

Question 1 : on cherche la probabilité de tirer une boule violette dans une urne.

L’urne contient \(4+6+7+3=20\) boules, dont \(6\) sont violettes. Toutes les boules ayant la même chance d’être tirées :

\[P(\text{violette})=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}.\]

Réponse C.

Question 2 : on cherche comment calculer \(70\,\%\) d’une quantité.

Prendre \(70\,\%\) d’une quantité revient à la multiplier par \(\dfrac{70}{100}=0{,}7\).

Réponse B.

Question 3 : on étudie la série \(7\ ;\ 12\ ;\ 13\ ;\ 15\ ;\ 18\) (rangée dans l’ordre croissant).

• Étendue : \(18-7=11\).
• La série compte \(5\) valeurs : la médiane est la 3^e valeur, soit \(13\).
• Moyenne : \(m=\dfrac{7+12+13+15+18}{5}=\dfrac{65}{5}=13\).

Réponse C.

Question 4 : on doit reconnaître l’expression de la fonction affine représentée par une droite.

La droite « descend » quand on la parcourt de gauche à droite : la fonction est décroissante, donc son coefficient directeur est négatif. Il ne reste que les propositions C et D. La droite coupe l’axe des ordonnées au point \((0\,;\,4)\) : l’ordonnée à l’origine vaut \(4\).

Réponse C.

Exercice 2 :

Pythagore, aire, Thalès, agrandissement-réduction

1. On calcule \(DE\) dans le triangle \(CDE\) rectangle en \(D\), avec \(CE=29{,}1\) cm et \(CD=21{,}6\) cm.

D’après le théorème de Pythagore :

\[CE^2=CD^2+DE^2\]
\[29{,}1^2=21{,}6^2+DE^2\]
\[846{,}81=466{,}56+DE^2\]
\[DE^2=846{,}81-466{,}56=380{,}25\]

Comme \(DE\) est une longueur positive, \(DE=\sqrt{380{,}25}=19{,}5\). Donc \(DE=19{,}5\) cm.

2. Aire du triangle \(CDE\), rectangle en \(D\) :

\[\mathcal{A}_{CDE}=\frac{CD\times DE}{2}=\frac{21{,}6\times 19{,}5}{2}=\frac{421{,}2}{2}=210{,}6.\]

L’aire du triangle \(CDE\) est \(210{,}6\ \text{cm}^2\).

3. On calcule \(FG\) avec \(CF=17{,}2\) cm.

Dans les triangles \(CGF\) et \(CDE\) :

• le point \(C\) appartient aux segments \([DF]\) et \([EG]\) ;
• les droites \((FG)\) et \((DE)\) sont parallèles.

D’après le théorème de Thalès :

\[\frac{CF}{CD}=\frac{CG}{CE}=\frac{FG}{DE}\quad\text{donc}\quad \frac{17{,}2}{21{,}6}=\frac{FG}{19{,}5}.\]
\[FG=\frac{17{,}2\times 19{,}5}{21{,}6}=\frac{559}{36}\approx 15{,}5.\]

Ainsi \(FG\approx 15{,}5\) cm (au dixième près).

4. a. On vérifie que l’aire du triangle \(ABC\), égale à \(23{,}4\ \text{cm}^2\), vaut \(\dfrac{1}{9}\) de l’aire du triangle \(EDC\).

\[\frac{1}{9}\times \mathcal{A}_{CDE}=\frac{210{,}6}{9}=23{,}4.\]

L’aire du triangle \(ABC\) est donc bien égale à \(\dfrac{1}{9}\) de l’aire du triangle \(EDC\).

b. Le triangle \(ABC\) est une réduction du triangle \(EDC\) (triangles semblables) ; on en déduit \(AB\), qui correspond au côté \([DE]\).

Dans une réduction de rapport \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\). Ici \(k^2=\dfrac{1}{9}=(\dfrac{1}{3})^2\), donc \(k=\dfrac{1}{3}\) : les longueurs du triangle \(ABC\) sont le tiers de celles du triangle \(EDC\).

\[AB=\frac{1}{3}\times DE=\frac{19{,}5}{3}=6{,}5.\]

Donc \(AB=6{,}5\) cm.

Exercice 3 :

Périmètres d’un carré et d’un rectangle, tableur, équation

Un carré \(EFGH\) a pour côté \(2x\) ; un rectangle \(ABCD\) a pour largeur \(AD=x\) et pour longueur \(AB=16-2x\) (en cm).

Partie A (cas \(x=1{,}5\))

1. Le côté du carré mesure \(2\times 1{,}5=3\) cm, donc :

\[P_{EFGH}=4\times (2\times 1{,}5)=4\times 3=12\ \text{cm}.\]

Le périmètre du carré est 12 cm.

2. Longueur du rectangle :

\[AB=16-2\times 1{,}5=16-3=13\ \text{cm}.\]

\(AB=13\) cm.

3. On trace le rectangle \(ABCD\) de longueur \(13\) cm et de largeur \(1{,}5\) cm.

4. Périmètre du rectangle :

\[P_{ABCD}=2\times (1{,}5+13)=2\times 14{,}5=29\ \text{cm}.\]

Comme \(29\neq 12\), les deux périmètres ne sont pas égaux pour \(x=1{,}5\).

Partie B

1. a. La cellule B1 contient la valeur de \(x\). Le périmètre du carré étant \(4\times 2x\), on peut saisir la formule :

=4*(2*B1)

b. Dans chaque colonne du tableau, le périmètre du carré et celui du rectangle sont différents : le tableau ne permet pas de trouver une valeur de \(x\) qui rende les deux périmètres égaux (elle n’est pas parmi les valeurs testées).

2. On exprime le périmètre du rectangle en fonction de \(x\) :

\[P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(16-2x+x)=2(16-2x)+2x.\]

On retrouve bien l’expression attendue \(2(16-2x)+2x\) (qui se simplifie en \(32-2x\)).

3. On cherche \(x\) tel que les deux périmètres soient égaux. Le périmètre du carré vaut \(P_{EFGH}=4\times 2x=8x\). On résout :

\[8x=2(16-2x)+2x\]
\[8x=32-4x+2x\]
\[8x=32-2x\]
\[10x=32\]
\[x=3{,}2\]

Vérification : \(8\times 3{,}2=25{,}6\) et \(2\times (16-6{,}4+3{,}2)=2\times 12{,}8=25{,}6\).

Les deux périmètres sont égaux pour \(x=3{,}2\) cm (ils valent alors \(25{,}6\) cm).

Exercice 4 :

Programmation Scratch : hexagone régulier

Partie A

1. On complète le bloc « triangle équilatéral » (côté de 50 pas). Un triangle équilatéral a trois angles de \(60^\circ\) : pour revenir au point de départ, le lutin tourne à chaque sommet de l’angle extérieur \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\).

définir triangle équilatéral
répéter 3 fois
    avancer de 50 pas
    tourner ↺ de 120 degrés
fin

2. On se demande quel programme trace l’hexagone formé de six triangles équilatéraux.

Le programme A trace bien l’hexagone souhaité. Le programme B, lui, ne trace que \(3\) des \(6\) triangles équilatéraux : il repasse deux fois sur chacun d’eux.

Partie B

1. Pour tracer directement un hexagone régulier de côté 50 pas, le lutin tourne à chaque sommet de l’angle extérieur \(\dfrac{360^\circ}{6}=60^\circ\), et répète 6 fois :

quand le drapeau vert est cliqué
s'orienter à 90
aller à x: 0 y: 0
effacer tout
stylo en position d'écriture
répéter 6 fois
    avancer de 50 pas
    tourner ↺ de 60 degrés
fin

Exercice 5 :

Décomposition en facteurs premiers, PGCD, volumes, pourcentage

Une animalerie dispose de \(350\) poissons de type A et de \(300\) poissons de type B, qu’elle veut répartir en lots identiques.

Partie A

1. On cherche la décomposition en facteurs premiers de \(300\).

\[300=2\times 150=2^2\times 75=2^2\times 3\times 25=2^2\times 3\times 5^2.\]

Proposition 3 : \(300=2^2\times 3\times 5^2\).

2. Décomposition de \(350\) :

\[350=2\times 175=2\times 5\times 35=2\times 5^2\times 7.\]

Donc \(350=2\times 5^2\times 7\).

3. Le nombre de lots doit diviser à la fois \(300\) et \(350\) ; le nombre maximal de lots est donc leur PGCD. Les facteurs premiers communs sont \(2\) (une fois) et \(5\) (deux fois) :

\[\text{PGCD}(300\,;\,350)=2\times 5^2=50.\]

La responsable du magasin peut constituer au maximum 50 lots.

4. Composition de chaque lot :

\[\frac{300}{50}=6\qquad\text{et}\qquad\frac{350}{50}=7.\]

Chaque lot contient 6 poissons de type B et 7 poissons de type A.

Partie B

1. L’aquarium n’est rempli qu’aux quatre cinquièmes de son volume, et il faut au moins \(15\) litres d’eau. On rappelle que \(1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3=1\,000\ \text{cm}^3\).

Aquarium 1 : cylindre de diamètre \(30\) cm (rayon \(15\) cm) et de hauteur \(25\) cm.

\[V_1=\pi\times (\frac{30}{2})^2\times 25=\pi\times 15^2\times 25=5\,625\pi\approx 17\,671\ \text{cm}^3\approx 17{,}671\ \text{L}.\]
\[\frac{4}{5}V_1\approx 14{,}137\ \text{L}.\]

Or \(14{,}137\lt 15\) : l’aquarium 1 ne convient pas.

Aquarium 2 : pavé droit de dimensions \(28\) cm, \(28\) cm et \(30\) cm.

\[V_2=28\times 28\times 30=23\,520\ \text{cm}^3=23{,}52\ \text{L}.\]
\[\frac{4}{5}V_2=18{,}816\ \text{L}.\]

Or \(18{,}816\gt 15\) : il faut choisir l’aquarium 2.

2. On calcule le prix payé après une réduction de \(15\,\%\) accordée sur l’achat du poisson et de l’aquarium.

Coût initial du poisson et de l’aquarium : \(15+40=55\) €.

\[\text{Réduction}=55\times \frac{15}{100}=8{,}25\ \text{€}.\]
\[55-8{,}25=46{,}75\ \text{€}\qquad(\text{ou directement } 55\times 0{,}85=46{,}75).\]

La famille paiera 46,75 €.