Voici le corrigé complet du brevet blanc de maths 2024 n° 3, un sujet d’entraînement au DNB construit à partir d’exercices du brevet des collèges. Les sept exercices balayent le programme de troisième : lecture graphique d’une courbe de marée et application d’une formule, réciproque du théorème de Pythagore puis théorème de Thalès dans une figure emboîtée, tableur et pourcentages sur la production mondiale de vanille, un QCM sur les inéquations, les fonctions affines et les vitesses, la construction d’une étoile à cinq branches avec les angles inscrits, un problème de toiture qui mêle trigonométrie, aire et augmentation de 5 %, et enfin une mise en équation avec comparaison d’aires de pizzas. Chaque réponse est justifiée et les calculs sont détaillés pour que tu puisses vérifier ta copie question par question.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet de maths 2024 blanc n° 3 : sujet et corrigé en PDF. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Lecture graphique et formule, 3 points
Le graphique donne la hauteur d’eau (en mètres) dans le port de Brest le 26 octobre 2015, en fonction de l’heure.
1. a. On cherche la hauteur d’eau à 6 heures. On repère l’abscisse 6 sur l’axe des heures, on monte jusqu’à la courbe puis on lit l’ordonnée : environ 5.
À 6 heures, la hauteur d’eau était d’environ 5 m.
1. b. Entre 10 h et 22 h, on cherche pendant combien de temps la hauteur d’eau a dépassé 3 m. On trace la droite horizontale d’ordonnée 3 : sur cet intervalle, la courbe est au-dessus de cette droite entre 12 h et 20 h environ.
La hauteur d’eau a été supérieure à 3 m pendant environ 8 heures (de 12 h à 20 h).
2. On calcule le coefficient de marée \( C = \dfrac{H – N_0}{U} \times 100 \) avec \( H = 7{,}4 \) m, \( N_0 = 4{,}2 \) m et \( U = 3{,}1 \) m :
\[ C = \frac{7{,}4 – 4{,}2}{3{,}1} \times 100 = \frac{3{,}2}{3{,}1} \times 100 \approx 103{,}2 \]
Arrondi à l’unité, le coefficient de cette marée est \( C = 103 \).
Exercice 2 :
Pythagore et Thalès, 6 points
Sur la figure, J est sur [IM], K est sur [IL], avec \( IK = 3{,}2 \) m, \( KL = 1{,}8 \) m, \( KJ = 2{,}4 \) m, \( IJ = 4 \) m, et le triangle KLM est rectangle en L.
1. Il faut montrer que le triangle IKJ est rectangle. Le plus long côté est [IJ].
D’une part : \( IJ^2 = 4^2 = 16 \).
D’autre part : \( IK^2 + KJ^2 = 3{,}2^2 + 2{,}4^2 = 10{,}24 + 5{,}76 = 16 \).
On a donc \( IJ^2 = IK^2 + KJ^2 \). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IKJ est rectangle en K.
2. Il faut montrer que \( LM = 3{,}75 \) m.
D’après la question 1, la droite (KJ) est perpendiculaire à (IL). Comme KLM est rectangle en L, la droite (LM) est aussi perpendiculaire à (IL). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (KJ) et (LM) sont parallèles.
Les points I, K, L d’une part et I, J, M d’autre part sont alignés dans le même ordre. On peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles IKJ et ILM, avec \( IL = IK + KL = 3{,}2 + 1{,}8 = 5 \) m :
\[ \frac{IK}{IL} = \frac{IJ}{IM} = \frac{KJ}{LM} \quad \text{soit} \quad \frac{3{,}2}{5} = \frac{4}{IM} = \frac{2{,}4}{LM} \]
Avec l’égalité des premier et troisième rapports :
\[ LM = \frac{2{,}4 \times 5}{3{,}2} = \frac{12}{3{,}2} = 3{,}75 \]
On a bien \( LM = 3{,}75 \) m.
3. On calcule KM au centimètre près. Le triangle KLM est rectangle en L, son hypoténuse est [KM]. D’après le théorème de Pythagore :
\[ KM^2 = KL^2 + LM^2 = 1{,}8^2 + 3{,}75^2 = 3{,}24 + 14{,}0625 = 17{,}3025 \]
\[ KM = \sqrt{17{,}3025} \approx 4{,}1596 \]
Au centimètre près, \( KM \approx 4{,}16 \) m.
Exercice 3 :
Tableur et pourcentages, 5,5 points
La feuille de calcul donne la production de vanille en 2013 (en milliers de tonnes) de treize pays, dans les cellules B2 à B14, et le total 8 342 en B15.
1. La cellule B15 contient la somme des cellules B2 à B14. La formule saisie est :
=SOMME(B2:B14)
2. On se demande si l’Indonésie et Madagascar produisent ensemble plus des trois quarts de la production mondiale.
Production des deux pays : \( 3\,200 + 3\,100 = 6\,300 \) milliers de tonnes.
Part de la production mondiale :
\[ \frac{6\,300}{8\,342} \times 100 \approx 75{,}5\,\% \]
Or les trois quarts correspondent à 75 %. Comme \( 75{,}5 \gt 75 \), oui, à eux deux ils produisent plus des trois quarts de la vanille mondiale. (On peut aussi comparer \( 6\,300 \) à \( \dfrac{3}{4} \times 8\,342 = 6\,256{,}5 \).)
3. Les cinq plus petits producteurs sont le Zimbabwe (11), le Kenya (15), le Malawi (22), les Comores (35) et la France (79).
Leur production totale vaut \( 11 + 15 + 22 + 35 + 79 = 162 \) milliers de tonnes, ce qui représente :
\[ \frac{162}{8\,342} \times 100 \approx 1{,}94\,\% \]
Arrondi à l’unité, ces cinq pays représentent environ 2 % de la production mondiale.
Exercice 4 :
QCM, 4,5 points
Question 1. Quelle inéquation admet 2 pour solution ? On remplace \( x \) par 2 dans chaque proposition :
- a) \( 2 \lt 2 \) est faux ;
- b) \( -4 \times 2 – 3 = -11 \) et \( -11 \gt -10 \) est faux ;
- c) \( 5 \times 2 – 4 = 6 \) et \( 6 \leq\, 7 \) est vrai ;
- d) \( 8 – 3 \times 2 = 2 \) et \( 2 \geq\, 3 \) est faux.
Réponse c) \( 5x – 4 \leq\, 7 \).
Question 2. Quel graphique représente la fonction \( f : x \mapsto 2x – 8 \) ? On a \( f(0) = -8 \) : la droite coupe l’axe des ordonnées en \( -8 \), ce qui élimine les graphiques b) (ordonnée à l’origine 8) et d) (ordonnée à l’origine \( -4 \)). De plus \( f(4) = 2 \times 4 – 8 = 0 \) : la droite passe par le point \( (4\,;\,0) \), alors que celle du graphique a) passe par \( (2\,;\,0) \).
Réponse graphique c).
Question 3. Un coureur fait 100 m en 10 s, soit 10 m par seconde. En une heure (3 600 s), il parcourrait \( 10 \times 3\,600 = 36\,000 \) m, c’est-à-dire 36 km.
Réponse b) 36 km/h. (Les autres propositions sont fausses : 6 km/min ferait 360 km/h, 3 600 m/h ne font que 3,6 km/h.)
Exercice 5 :
Construction d’un pentagramme et angles inscrits, 5 points
La fiche technique décrit la construction d’une étoile à cinq branches : cercle de centre O avec deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD], milieu J de [OC], cercle de centre J passant par C, demi-droite [JA) qui recoupe ce cercle en M, cercle de centre A passant par M qui coupe le grand cercle en E et F, report de la longueur EF pour obtenir G, H et I, puis tracé des segments [EG], [GI], [IF], [FH] et [HE].
1. On termine la construction commencée par Archibald en suivant les étapes 5 à 8 :
- on place la pointe du compas en A, le crayon en M, et on trace le cercle de centre A et de rayon AM ; il coupe le grand cercle en deux points E (à gauche de A) et F (à droite de A) ;
- on prend l’écartement EF au compas et, en partant de F, on le reporte trois fois sur le grand cercle : on obtient successivement G, H et I ;
- on trace enfin les cinq segments [EG], [GI], [IF], [FH] et [HE] : c’est l’étoile.
Pour information, cette méthode est exacte : si le rayon du grand cercle vaut 1, on a \( JA = \sqrt{1{,}25} \) et \( AM = \sqrt{1{,}25} – 0{,}5 \approx 0{,}618 \), qui est la longueur du côté du décagone régulier inscrit. Les points E et F sont donc à \( 36° \) de part et d’autre de A, l’arc EF mesure \( 72° \) et les points E, F, G, H, I forment un pentagone régulier, et le point H tombe exactement sur B.
2. La troisième consigne (« placer la pointe du compas sur J, placer le crayon sur C et tourner ») se réécrit avec le vocabulaire mathématique :
« Tracer le cercle de centre J passant par C », ou encore « tracer le cercle de centre J et de rayon JC ».
3. Anaïs constate que les angles \( \widehat{EGI} \) et \( \widehat{EHI} \) sont égaux sur sa figure. Est-ce toujours vrai ?
Les points E, G, H et I sont tous sur le cercle de centre O. L’angle \( \widehat{EGI} \) a son sommet G sur le cercle et ses côtés passent par E et I : c’est un angle inscrit qui intercepte l’arc EI. De même, \( \widehat{EHI} \) est un angle inscrit, de sommet H, qui intercepte le même arc EI (G et H sont du même côté de la corde [EI]).
Or deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure. Oui, l’égalité \( \widehat{EGI} = \widehat{EHI} \) est vraie pour tous les pentagrammes construits avec cette méthode ; ce n’est pas un hasard de mesure.
Exercice 6 :
Trigonométrie, aire et pourcentage, 7 points
Mélanie veut couvrir le toit rectangulaire EDGF de sa véranda, avec \( EC = 2{,}85 \) m, \( BC = 2{,}10 \) m, \( BD = 3{,}10 \) m et \( EF = 6{,}10 \) m. Tuile romane : 13 tuiles au m², pente minimale 15°, 1,79 € l’unité. Tuile régence : 19 tuiles au m², pente minimale 18°, 1,24 € l’unité.
1. Le prix au m² des tuiles régence est masqué. Il faut 19 tuiles par m², à 1,24 € l’une :
\[ 19 \times 1{,}24 = 23{,}56 \]
Le prix des tuiles régence est de 23,56 € le m².
2. On cherche la mesure de l’angle \( \widehat{DEC} \) (la pente du toit) et on la compare aux pentes minimales.
Les points B, C, D sont alignés, donc \( DC = BD – BC = 3{,}10 – 2{,}10 = 1 \) m.
Dans le triangle DEC rectangle en C, DC est le côté opposé à l’angle \( \widehat{DEC} \) et EC le côté adjacent :
\[ \tan \widehat{DEC} = \frac{DC}{EC} = \frac{1}{2{,}85} \]
À la calculatrice, \( \widehat{DEC} \approx 19{,}3° \).
Comme \( 19{,}3° \gt 15° \) et \( 19{,}3° \gt 18° \), la pente du toit permet la pose des deux modèles de tuiles.
3. Mélanie choisit les tuiles romanes. On calcule la surface du toit, on l’augmente de 5 %, puis on en déduit le nombre de tuiles.
- Longueur ED. Le triangle DEC est rectangle en C, d’hypoténuse [ED]. D’après le théorème de Pythagore :
\[ ED^2 = EC^2 + DC^2 = 2{,}85^2 + 1^2 = 8{,}1225 + 1 = 9{,}1225 \]
donc \( ED = \sqrt{9{,}1225} \approx 3{,}020 \) m. - Aire du toit. Le toit EDGF est un rectangle de dimensions ED et EF :
\[ \mathcal{A} = ED \times EF = \sqrt{9{,}1225} \times 6{,}10 \approx 18{,}42 \text{ m}^2 \] - Augmentation de 5 %. Augmenter de 5 % revient à multiplier par \( 1 + \dfrac{5}{100} = 1{,}05 \) :
\[ 18{,}42 \times 1{,}05 \approx 19{,}35 \text{ m}^2 \] - Nombre de tuiles. Il faut 13 tuiles romanes par m² :
\[ 19{,}345 \times 13 \approx 251{,}5 \]
On arrondit à l’entier supérieur pour ne pas en manquer : Mélanie doit prévoir d’acheter 252 tuiles romanes.
Attention aux arrondis intermédiaires : si l’on arrondit trop tôt ED à 3 m, on obtient une aire de 18,3 m² puis \( 18{,}3 \times 1{,}05 \times 13 \approx 249{,}8 \), soit 250 tuiles, ce qui sous-estime le besoin. Il faut garder la valeur exacte \( \sqrt{9{,}1225} \) jusqu’au bout.
Exercice 7 :
Mise en équation et aires, 5 points
Une pizzeria vend des pizzas rondes de 34 cm de diamètre et des pizzas carrées de 34 cm de côté ; une pizza carrée coûte 1 € de plus qu’une ronde.
1. Pierre achète une pizza ronde et une carrée pour 14,20 €. On cherche le prix de chacune.
Notons \( x \) le prix, en euros, d’une pizza ronde. Une pizza carrée coûte alors \( x + 1 \). On obtient l’équation :
\[ x + (x + 1) = 14{,}20 \]
\[ 2x + 1 = 14{,}20 \]
\[ 2x = 13{,}20 \]
\[ x = \frac{13{,}20}{2} = 6{,}60 \]
Vérification : \( 6{,}60 + 7{,}60 = 14{,}20 \). La pizza ronde coûte 6,60 € et la pizza carrée coûte 7,60 €.
2. La pizza ronde est coupée en 8 parts égales, la carrée en 9 parts égales. Comme les pizzas ont la même épaisseur, il suffit de comparer les aires des parts.
- Pizza ronde. Rayon : \( \dfrac{34}{2} = 17 \) cm. Aire : \( \pi \times 17^2 = 289\pi \) cm². Aire d’une part :
\[ \frac{289\pi}{8} \approx 113{,}5 \text{ cm}^2 \] - Pizza carrée. Aire : \( 34^2 = 1\,156 \) cm². Aire d’une part :
\[ \frac{1\,156}{9} \approx 128{,}4 \text{ cm}^2 \]
Comme \( 128{,}4 \gt 113{,}5 \), ce sont les parts de la pizza carrée qui sont les plus grandes.
