Brevet maths 2023 France sept. : sujet et corrigé

Voici le sujet du brevet de maths de septembre 2023 (Métropole, Antilles-Guyane), épreuve de rattrapage du 18 septembre 2023, recopié en entier avec un corrigé détaillé de chaque question plus bas sur la page. Le sujet s’ouvre sur un QCM de cinq questions : diviseurs de 84, volume d’une pyramide agrandie, calcul d’une expression, tirage de boules et rapport d’une homothétie. Un programme Scratch trace ensuite des losanges puis une rosace dont on cherche la rotation. Le troisième exercice compare deux tarifs de piscine (fonctions, équation, moyenne, étendue, volume d’eau), le quatrième étudie un funiculaire (tarifs de groupe, pourcentage de réduction, vitesse et pente) et le dernier mêle Pythagore, trigonométrie et Thalès dans un triangle.

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au brevet maths 2027.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2023
Métropole, Antilles-Guyane — 18 septembre 2023
Mathématiques — Durée : 2 heures

Indications portant sur l’ensemble du sujet.

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 (20 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées.

Une seule réponse est exacte.

Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Questions	Réponse A	Réponse B	Réponse C
1. Citer trois diviseurs de 84.	84, 168 et 252	2, 3 et 4	2, 5 et 7
2. La pyramide SABCD est un agrandissement de coefficient 2 de la pyramide SA’B’C’D’. Par quel nombre doit-on multiplier le volume de la pyramide SA’B’C’D’ pour obtenir le volume de la pyramide SABCD ?	2	8	4
3. Quelle est la valeur de l’expression \(x^2 + 3x – 5\) pour \(x = -2\) ?	\(-15\)	5	\(-7\)
4. Dans un sac opaque, on dispose de huit boules numérotées de 1 à 8. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de 2 ?	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{1}{8}\)	\(\dfrac{1}{5}\)
5. Le triangle DEF est l’image du triangle ABC par une homothétie de centre O. Quel est son rapport ?	\(-2\)	2	\(-\dfrac{1}{2}\)

Exercice 2 (14 points)

1. On souhaite tracer le losange ci-dessus de côté 50 pas à l’aide du bloc losange.

On a écrit le script ci-dessous avec le logiciel Scratch.

Recopier les lignes 3 et 6 sur la copie en les complétant.

2. Préciser sur votre copie quelle figure est associée à chaque script 1, 2 ou 3.

Aucune justification n’est demandée.

3. Dans la figure ci-dessous obtenue par le programme associé, décrire une transformation qui permet d’obtenir le losange ABCD à partir du losange EDCF.

Préciser ses caractéristiques.

Exercice 3 (22 points)

Une piscine propose deux tarifs d’entrée pour l’année 2023.

Tarif A : 5,90 € l’entrée.

Tarif B : 4,40 € l’entrée avec une carte d’abonnement de 30 € valable toute l’année.

1. a. Quel est le prix total pour 10 entrées avec le tarif A ?
b. Quel est le prix total pour 10 entrées avec le tarif B ?

2. On note \(f\) et \(g\) les fonctions qui modélisent les prix, en euro, respectivement du tarif A et du tarif B en fonction du nombre \(x\) d’entrées.

Donner l’expression de \(f(x)\), puis celle de \(g(x)\).

3. a. Résoudre l’équation \(5{,}90x = 4{,}40x + 30\).
b. Quel est le nombre d’entrées pour lequel les tarifs A et B donnent le même prix à payer ?

On relève le nombre d’entrées par mois durant une année.

Mois	Jan.	Fév.	Mars	Avril	Mai	Juin	Juillet	Août	Sept.	Oct.	Nov.	Déc.
Nombre d’entrées	12 500	13 700	10 400	13 600	12 300	11 700	10 400	11 600	10 200	13 800	12 600	11 800

4. a. Calculer le nombre moyen d’entrées par mois.
b. Calculer l’étendue du nombre d’entrées par mois.

5. La piscine a la forme d’un pavé droit de longueur 50 m, de largeur 25 m et de profondeur 3 m. En admettant qu’elle soit entièrement remplie, déterminer en m³, le volume d’eau qui sera évacué pour réaliser la vidange.

Exercice 4 (20 points)

Un funiculaire est un type de transport en commun circulant sur des rails et dont la traction est assurée par câble. Il est généralement utilisé pour des lignes comportant des fortes pentes.

Les documents suivants permettent de répondre aux questions.

Document 1 : tarifs du funiculaire

Tarif individuel (tarif enfant accordé pour les enfants de 5 à 11 ans)		Tarif de groupe à partir de 20 personnes (adultes et enfants)
Aller simple par adulte	8 euros	Aller simple par adulte	7 euros
Aller-retour par adulte	10 euros	Aller-retour par adulte	8,50 euros
Aller simple par enfant	6,50 euros	Aller simple par enfant	5,50 euros
Aller-retour par enfant	8 euros	Aller-retour par enfant	7 euros

Document 2 : trajet du funiculaire vu de profil

1. Un groupe constitué de 12 adultes et de 8 enfants (âgés de 6 à 10 ans) fait un aller-retour en funiculaire.
a. Quel est le prix à payer par le groupe en utilisant le tarif individuel ?
b. Quel est le prix à payer par le groupe en utilisant le tarif de groupe ?
c. Déterminer le pourcentage de la réduction obtenue en appliquant le tarif groupe par rapport au tarif individuel.

2. Sur la première partie du trajet [DA], le funiculaire parcourt 448,5 m en 8 min 45 s.

Quelle est sa vitesse moyenne en mètres par seconde ?

On donnera le résultat au centième près.

3. Sur la dernière partie du trajet [AB], la pente est de 25 % et la dénivelée BC est de 50 m, calculer la longueur horizontale AC.

Définition : \(\text{Pente} = \dfrac{\text{Dénivelée}}{\text{Longueur horizontale}}\)

Exercice 5 (24 points)

La figure ci-dessous n’est pas à l’échelle

Dans le triangle ABC ci-dessus, M est un point du côté [AB], N est un point du côté [AC], et H est un point du côté [BC] ; les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

On donne :

AC = 8,5 cm ;
AM = 2,7 cm ;
MB = 2,5 cm ;
BH = 2 cm.

On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer AB.

2. Montrer que la longueur AH est égale à 4,8 cm.

3. Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{\text{ACH}}\). Arrondir au degré près.

4. Calculer la longueur HC. Arrondir au cm près.

5. Un élève affirme que : « AN est inférieure à 4 cm ». A-t-il raison ?

6. Calculer l’aire du triangle AHC.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Réponse B. On vérifie chaque proposition : \(84 = 2 \times 42 = 3 \times 28 = 4 \times 21\), donc 2, 3 et 4 divisent bien 84. Dans la réponse A, 168 et 252 sont des multiples de 84 (et non des diviseurs) ; dans la réponse C, 5 ne divise pas 84 puisque 84 ne se termine ni par 0 ni par 5.

2. Réponse B. Quand toutes les longueurs d’un solide sont multipliées par \(k\), son volume est multiplié par \(k^3\). Ici \(k = 2\), donc le volume est multiplié par \(2^3 = 8\).

3. Réponse C. On remplace \(x\) par \(-2\) en gardant les parenthèses : \((-2)^2 + 3 \times (-2) – 5 = 4 – 6 – 5 = -7\).

4. Réponse A. Les huit boules ont la même chance d’être tirées. Les multiples de 2 entre 1 et 8 sont 2, 4, 6 et 8 : il y a 4 issues favorables sur 8, d’où une probabilité de \(\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\).

5. Réponse A. Le triangle DEF est de l’autre côté du centre O par rapport au triangle ABC : le rapport est donc négatif. De plus DEF est plus grand que ABC, et l’on voit sur la figure que OD est le double de OA : le rapport vaut \(-2\).

Exercice 2 :

1. Pour tracer le losange, le lutin trace un côté de 50 pas, tourne de 60°, trace un deuxième côté, puis tourne de 120° : il a dessiné la moitié du losange et se retrouve orienté comme au départ, mais au sommet opposé. Il suffit donc de répéter ce motif 2 fois. Comme les quatre côtés d’un losange ont la même longueur, le deuxième « avancer » est aussi de 50 pas. Les lignes complétées sont :

3  répéter 2 fois
6  avancer de 50 pas

On peut vérifier : sur les deux passages, le lutin tourne au total de \(2 \times (60° + 120°) = 360°\), il revient donc à son point de départ avec la même orientation.

2. Le bloc « losange » ramène le lutin à son point de départ. Ce qui fait la différence entre les scripts, ce sont les déplacements entre deux losanges (le stylo étant relevé à la fin du bloc, ces déplacements ne laissent pas de trace).

Script 1 : le lutin avance de 50 pas, soit exactement la longueur d’un côté ; les losanges se touchent. Script 1 → figure C.

Script 2 : il avance de 100 pas, soit deux côtés ; il reste un espace entre deux losanges. Script 2 → figure A.

Script 3 : il avance de 50 pas puis monte de 30 pas ; les losanges forment un escalier. Script 3 → figure B.

3. La rosace est obtenue en traçant six fois le même losange à partir du point C, en tournant de 60° vers la droite entre deux tracés. Le losange EDCF a pour image le losange ABCD par la rotation de centre C, d’angle 60°, dans le sens des aiguilles d’une montre (sens horaire) : cette rotation envoie E sur A, D sur B, C sur lui-même et F sur D.

Exercice 3 :

1. a. Avec le tarif A, chaque entrée coûte 5,90 € : \(10 \times 5{,}90 = 59\). Le prix de 10 entrées est de 59 €.

b. Avec le tarif B, on paie la carte puis les entrées : \(30 + 10 \times 4{,}40 = 30 + 44 = 74\). Le prix de 10 entrées est de 74 €.

2. Pour \(x\) entrées, on paie \(5{,}90\) € par entrée au tarif A, et au tarif B on ajoute les 30 € de la carte à \(4{,}40\) € par entrée : \(f(x) = 5{,}9x\) et \(g(x) = 4{,}4x + 30\).

3. a. On regroupe les termes en \(x\) dans le membre de gauche :

\[5{,}90x – 4{,}40x = 30\]

\[1{,}5x = 30\]

\[x = \dfrac{30}{1{,}5} = 20\]

L’équation a une seule solution : \(x = 20\).

b. Les deux tarifs coûtent la même somme lorsque \(f(x) = g(x)\), c’est-à-dire lorsque \(5{,}90x = 4{,}40x + 30\). D’après la question a, cela se produit pour 20 entrées (le prix est alors \(5{,}9 \times 20 = 118\) € avec chacun des deux tarifs).

4. a. On additionne les douze effectifs mensuels puis on divise par 12 :

\[\dfrac{12\,500 + 13\,700 + 10\,400 + 13\,600 + 12\,300 + 11\,700 + 10\,400 + 11\,600 + 10\,200 + 13\,800 + 12\,600 + 11\,800}{12} = \dfrac{144\,600}{12} = 12\,050\]

La piscine reçoit en moyenne 12 050 entrées par mois.

b. L’étendue est l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur : le maximum est 13 800 (octobre) et le minimum 10 200 (septembre). \(13\,800 – 10\,200 = 3\,600\). L’étendue est de 3 600 entrées.

5. Le volume d’un pavé droit est le produit longueur × largeur × hauteur : \(50 \times 25 \times 3 = 3\,750\). La vidange évacue 3 750 m³ d’eau.

Exercice 4 :

1. a. Les enfants ont entre 6 et 10 ans, ils bénéficient donc du tarif enfant. Au tarif individuel, l’aller-retour coûte 10 € par adulte et 8 € par enfant : \(12 \times 10 + 8 \times 8 = 120 + 64 = 184\). Le groupe paierait 184 €.

b. Le groupe compte \(12 + 8 = 20\) personnes : il a droit au tarif de groupe. L’aller-retour coûte alors 8,50 € par adulte et 7 € par enfant : \(12 \times 8{,}50 + 8 \times 7 = 102 + 56 = 158\). Le groupe paie 158 €.

c. L’économie réalisée est de \(184 – 158 = 26\) €. On la rapporte au prix de départ (le tarif individuel) : \(\dfrac{26}{184} \approx 0{,}1413\). La réduction est d’environ 14,1 %.

2. On convertit la durée en secondes : 8 min 45 s = \(8 \times 60 + 45 = 525\) s. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée : \(v = \dfrac{448{,}5}{525} \approx 0{,}854\). Au centième près, la vitesse moyenne est d’environ 0,85 m/s.

3. Une pente de 25 % signifie que \(\dfrac{\text{BC}}{\text{AC}} = \dfrac{25}{100} = 0{,}25\). Avec BC = 50 m : \(\dfrac{50}{\text{AC}} = 0{,}25\), donc \(\text{AC} = \dfrac{50}{0{,}25} = 200\). La longueur horizontale AC mesure 200 m.

Exercice 5 :

1. Le point M appartient au segment [AB], donc \(\text{AB} = \text{AM} + \text{MB} = 2{,}7 + 2{,}5 = 5{,}2\). On a AB = 5,2 cm.

2. Le triangle ABH est rectangle en H (codage de l’angle droit) et son hypoténuse est [AB]. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{AB}^2 = \text{AH}^2 + \text{BH}^2\]

\[\text{AH}^2 = 5{,}2^2 – 2^2 = 27{,}04 – 4 = 23{,}04\]

Une longueur étant positive, \(\text{AH} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8\). On retrouve bien AH = 4,8 cm.

3. Dans le triangle ACH rectangle en H, on connaît l’hypoténuse AC et le côté AH, opposé à l’angle \(\widehat{\text{ACH}}\). On utilise donc le sinus :

\[\sin \widehat{\text{ACH}} = \dfrac{\text{AH}}{\text{AC}} = \dfrac{4{,}8}{8{,}5} \approx 0{,}5647\]

La calculatrice (touche \(\sin^{-1}\) ou arcsin) donne \(\widehat{\text{ACH}} \approx 34{,}4°\), soit 34° au degré près.

4. Dans le même triangle ACH rectangle en H, le théorème de Pythagore donne :

\[\text{HC}^2 = \text{AC}^2 – \text{AH}^2 = 8{,}5^2 – 4{,}8^2 = 72{,}25 – 23{,}04 = 49{,}21\]

donc \(\text{HC} = \sqrt{49{,}21} \approx 7{,}01\). Au centimètre près, HC ≈ 7 cm. (On obtient le même arrondi avec le cosinus : \(\text{HC} = 8{,}5 \times \cos 34° \approx 7{,}05\).)

5. Les points A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part sont alignés, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}\quad\text{soit}\quad \dfrac{2{,}7}{5{,}2} = \dfrac{\text{AN}}{8{,}5}\]

\[\text{AN} = \dfrac{2{,}7 \times 8{,}5}{5{,}2} = \dfrac{22{,}95}{5{,}2} \approx 4{,}41\]

AN mesure environ 4,4 cm, ce qui est plus que 4 cm : l’élève a tort.

6. Le triangle AHC est rectangle en H : ses côtés de l’angle droit [AH] et [HC] jouent le rôle de base et de hauteur. Son aire vaut :

\[\mathcal{A} = \dfrac{\text{AH} \times \text{HC}}{2} = \dfrac{4{,}8 \times \sqrt{49{,}21}}{2} \approx 16{,}8\]

L’aire du triangle AHC est d’environ 16,8 cm² (on trouve exactement 16,8 cm² en prenant la valeur arrondie HC = 7 cm, et environ 16,84 cm² avec la valeur exacte).

Les autres sujets du brevet de maths 2023

Brevet de maths 2027 : tous les sujets Cours de 3ème Exercices de 3ème

Voter... post

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «brevet de maths 2023 en France (septembre) : sujet et corrigé» au format PDF.