Brevet de maths 2025 en Nouvelle-Calédonie : sujet et corrigé

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DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2025
Nouvelle-Calédonie — 11 décembre 2025
Mathématiques — Durée : 2 heures

Exercice 1 : QCM (15 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.

Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse A, B ou C choisie. Aucune justification n’est demandée.

Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

1. Parmi les nombres suivants, lequel est premier ?

2. Quelle est l’aire de la figure ci-dessous ?

3. Une de ces fonctions est affine. Laquelle ?

4. La distance de Tontouta à Narita est égale à environ 6 980 km. Le vol Tontouta-Narita dure environ 9 heures. Quelle est la vitesse moyenne, arrondie à la centaine de km/h, de l’avion sur ce trajet ?

5. Dans un collège de 730 élèves, 60 % des élèves sont des filles. Quel est le nombre de filles dans ce collège ?

Exercice 2 : Cerf-volant (20 points)

Thomas souhaite construire le cerf-volant représenté par la figure ci-dessous :

On donne : \(\widehat{\text{DEB}} = 90^\circ\) ; \(\widehat{\text{EBD}} = 30^\circ\) ; AB = 50 cm ; CD = 40 cm ; ED = EC.

1. Calculer BE. On donnera une valeur arrondie au millimètre.

Rédiger la réponse en faisant apparaitre les différentes étapes.

Lorsque Thomas a essayé son cerf-volant, il s’est demandé à quelle altitude il volait.

Il a attaché sa corde à un piquet planté dans le sol (point S) puis est allé se placer (point T) parfaitement à la verticale sous son cerf-volant (point H).

Il a alors mesuré certaines longueurs et a réalisé le schéma ci-contre.

2. Calculer HT, altitude à laquelle volait son cerf-volant. On donnera une valeur arrondie au mètre.

Rédiger la réponse en faisant apparaitre les différentes étapes.

Il est conseillé de ne pas utiliser ce cerf-volant lorsque le vent dépasse 20 km/h. La météo annonce un vent ne dépassant pas 15 nœuds.

On donne 1 nœud = 0,514 m/s.

3. Thomas peut-il faire voler son cerf-volant sans risque dans ces conditions ? Justifier votre réponse.

Exercice 3 : Programmes de calcul (16 points)

On considère les programmes de calcul suivants :

1. Dans cette question, on choisit le nombre 2 pour tester les deux programmes.

a. Vérifier par le calcul qu’on obtient 18 avec le programme A.

b. Vérifier par le calcul qu’on obtient 5 avec le programme B.

2. Soit \(f\) la fonction associée au programme A, qui au nombre choisi \(x\) fait correspondre le résultat \(f(x)\).

a. Justifier que \(f(x) = 3x + 12\).

b. Calculer l’antécédent de 27 par la fonction \(f\).

3. Soit \(g\) la fonction associée au programme B, qui au nombre choisi \(x\) fait correspondre le résultat \(g(x)\).

a. Donner l’expression de \(g(x)\).

b. Quel nombre faut-il choisir avec le programme B pour obtenir 2 comme résultat ?

Hugo a choisi un nombre.

Il l’a testé avec les deux programmes et a trouvé le même résultat à chaque fois.

4. Quel nombre a-t-il choisi ?

Exercice 4 : Jeu de hasard (13 points)

Dans un jeu, les candidats doivent tirer une bille dans une boite et noter sa couleur, puis ils doivent ensuite lancer un dé de la couleur de la bille tirée et noter le résultat obtenu.

Les issues de cette expérience sont donc des couples du type (couleur ; nombre).

Le matériel est le suivant :

• La boite contient des billes indiscernables au toucher : 15 rouges, 10 vertes et 5 bleues.
• Le dé rouge a 10 faces numérotées de 0 à 9. Le dé vert a 6 faces numérotées de 1 à 6.
• Le dé bleu a 4 faces numérotées de 1 à 4.

Pour gagner au jeu il faut obtenir 1 au lancé de dé.

1. Quelle est la probabilité de tirer une bille bleue dans la boîte ?

2. Amandine a tiré une bille verte et Alexis a tiré une bille rouge. Qui a le plus de chance de gagner à ce jeu ? Justifier.

3. Donner l’ensemble des issues possibles de ce jeu.

On notera « R » pour rouge, « V » pour vert et « B » pour bleu.

Par exemple : l’issue (R ; 3) correspond à : « la bille tirée est rouge et le résultat du lancer de dé est 3 ».

Exercice 5 : Géométrie (20 points)

La figure ci-dessous n’est pas à l’échelle.

On donne : AE = 6 cm ; AD = 15 cm ; BE = 4 cm ; \(\widehat{\text{BEA}} = \widehat{\text{CDA}} = 110^\circ\) ; les points A, B et C sont alignés ; les points A, E et D sont alignés.

1. Prouver que les droites (BE) et (CD) sont parallèles.

2. Calculer CD.

Rédiger la réponse en faisant apparaitre les différentes étapes.

3. L’aire du triangle ABE, arrondie au dixième, est égale à 11,3 cm². En déduire l’aire du triangle ACD arrondie au dixième.

4. Construire cette figure en vraie grandeur sur l’annexe 1 (annexe à rendre avec la copie).

Exercice 6 : Scratch (16 points)

1. Associer à chaque script ci-dessous la figure qui lui correspond.

Sur la copie, indiquer le numéro du script et la figure correspondante.

Le script ci-dessous commande la construction de la figure D.

2. Compléter le script sur l’annexe 2 qui commande la construction de la figure E (annexe à rendre avec la copie).

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Un nombre premier n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même. 935 se termine par 5, il est divisible par 5 (\(935 = 5 \times 187\)). La somme des chiffres de 687 vaut \(6 + 8 + 7 = 21\), multiple de 3, donc 687 est divisible par 3 (\(687 = 3 \times 229\)). Pour 719, on teste les nombres premiers jusqu’à \(\sqrt{719} \approx 26{,}8\) : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23 ne divisent pas 719. Réponse A : 719 est premier.

2. La figure est un rectangle de 7 cm sur 5 cm auquel on a retiré, en bas à gauche, un rectangle. Le petit côté vertical codé comme le côté de 2 cm mesure 2 cm ; le rectangle retiré mesure donc \(7 – 2 = 5\) cm de long sur 2 cm de haut. Aire : \(7 \times 5 – 5 \times 2 = 35 – 10 = 25\). Réponse C : 25 cm².

3. En développant, \(f(x) = 3(x+1) = 3x + 3\) : c’est la forme \(ax + b\) avec \(a = 3\) et \(b = 3\). La fonction \(g\) contient \(x\) au dénominateur et \(h\) contient \(x^2\) : aucune des deux n’est affine. Réponse A.

4. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée : \(v = \dfrac{6\,980}{9} \approx 775{,}6\) km/h, ce qui donne 800 km/h à la centaine près. Réponse B : 800 km/h.

5. Prendre 60 % d’une quantité revient à la multiplier par 0,6 : \(730 \times 0{,}6 = 438\). Réponse A : 438 filles.

Exercice 2 :

1. Le point E est sur le segment [CD] et ED = EC, donc E est le milieu de [CD] : \(\text{ED} = \dfrac{40}{2} = 20\) cm.

Le triangle BED est rectangle en E. Par rapport à l’angle \(\widehat{\text{EBD}}\), le côté [ED] est le côté opposé et [BE] le côté adjacent. On utilise donc la tangente :

\[\tan \widehat{\text{EBD}} = \dfrac{\text{ED}}{\text{BE}} \quad \text{donc} \quad \text{BE} = \dfrac{\text{ED}}{\tan 30^\circ} = \dfrac{20}{\tan 30^\circ} \approx 34{,}64\ \text{cm}\]

Arrondie au millimètre : BE ≈ 34,6 cm. (Remarque : la longueur AB = 50 cm ne sert pas dans cette question.)

2. Le cerf-volant H est à la verticale de T, donc le triangle STH est rectangle en T, d’hypoténuse [SH] = 20,50 m (la corde). D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{SH}^2 = \text{ST}^2 + \text{HT}^2 \quad \text{donc} \quad \text{HT}^2 = 20{,}5^2 – 7{,}6^2 = 420{,}25 – 57{,}76 = 362{,}49\]

\[\text{HT} = \sqrt{362{,}49} \approx 19{,}04\ \text{m}\]

Arrondie au mètre, le cerf-volant volait à environ 19 m d’altitude.

3. On convertit la vitesse du vent en km/h. 15 nœuds correspondent à \(15 \times 0{,}514 = 7{,}71\) m/s. En une heure (3 600 s), l’air parcourt \(7{,}71 \times 3\,600 = 27\,756\) m, soit 27,756 km. Le vent peut donc atteindre environ 27,8 km/h, ce qui dépasse la limite de 20 km/h. Thomas ne peut pas faire voler son cerf-volant sans risque.

Exercice 3 :

1. a. Programme A avec 2 : \(2 + 4 = 6\), puis \(6 \times 3 = 18\). On obtient bien 18.

b. Programme B avec 2 : \(2 \times 5 = 10\), puis \(10 – 3 = 7\), puis on retire le nombre de départ : \(7 – 2 = 5\). On obtient bien 5.

2. a. En partant de \(x\) : on ajoute 4, ce qui donne \(x + 4\), puis on multiplie par 3 : \(f(x) = 3(x + 4)\). En distribuant le 3 : \(f(x) = 3x + 12\).

b. On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 27\) :

\[3x + 12 = 27 \quad \Longleftrightarrow \quad 3x = 15 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 5\]

Vérification : \(3 \times 5 + 12 = 27\). L’antécédent de 27 par \(f\) est 5.

3. a. En partant de \(x\) : \(5x\), puis \(5x – 3\), puis on soustrait \(x\) : \(g(x) = 5x – 3 – x\), soit \(g(x) = 4x – 3\). (On retrouve \(g(2) = 8 – 3 = 5\).)

b. On résout \(g(x) = 2\) :

\[4x – 3 = 2 \quad \Longleftrightarrow \quad 4x = 5 \quad \Longleftrightarrow \quad x = \dfrac{5}{4} = 1{,}25\]

Il faut choisir 1,25 avec le programme B pour obtenir 2.

4. Hugo obtient le même résultat avec les deux programmes, donc son nombre \(x\) vérifie \(f(x) = g(x)\) :

\[3x + 12 = 4x – 3 \quad \Longleftrightarrow \quad 12 + 3 = 4x – 3x \quad \Longleftrightarrow \quad x = 15\]

Vérification : \(f(15) = 45 + 12 = 57\) et \(g(15) = 60 – 3 = 57\). Hugo a choisi 15.

Exercice 4 :

1. La boite contient \(15 + 10 + 5 = 30\) billes indiscernables au toucher : chaque bille a la même chance d’être tirée. 5 d’entre elles sont bleues, donc la probabilité est \(\dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}\). P(bleue) = 1/6.

2. Amandine lance le dé vert, qui a 6 faces dont une seule porte le 1 : elle gagne avec une probabilité de \(\dfrac{1}{6}\). Alexis lance le dé rouge, qui a 10 faces (de 0 à 9) dont une seule porte le 1 : sa probabilité de gagner est \(\dfrac{1}{10}\). Comme \(\dfrac{1}{6} \gt \dfrac{1}{10}\), c’est Amandine qui a le plus de chances de gagner.

3. On associe chaque couleur à toutes les faces du dé correspondant : 10 issues avec la bille rouge, 6 avec la verte et 4 avec la bleue, soit 20 issues :

• (R ; 0), (R ; 1), (R ; 2), (R ; 3), (R ; 4), (R ; 5), (R ; 6), (R ; 7), (R ; 8), (R ; 9) ;
• (V ; 1), (V ; 2), (V ; 3), (V ; 4), (V ; 5), (V ; 6) ;
• (B ; 1), (B ; 2), (B ; 3), (B ; 4).

Exercice 5 :

1. Les droites (BE) et (CD) sont coupées par la sécante (AD). Les angles \(\widehat{\text{BEA}}\) et \(\widehat{\text{CDA}}\) sont situés du même côté de la sécante et « au-dessus » de chacune des deux droites : ce sont des angles correspondants. Ils ont la même mesure, 110°. Or si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux, elles sont parallèles. Les droites (BE) et (CD) sont donc parallèles.

2. Les points A, E, D d’une part et A, B, C d’autre part sont alignés, et les droites (BE) et (CD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles AEB et ADC :

\[\dfrac{\text{AE}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{BE}}{\text{CD}} \quad \text{soit} \quad \dfrac{6}{15} = \dfrac{4}{\text{CD}}\]

\[\text{CD} = \dfrac{4 \times 15}{6} = \dfrac{60}{6} = 10\]

CD = 10 cm.

3. Le triangle ACD est un agrandissement du triangle ABE de coefficient \(k = \dfrac{\text{AD}}{\text{AE}} = \dfrac{15}{6} = 2{,}5\). Dans un agrandissement de rapport \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\), ici \(2{,}5^2 = 6{,}25\). Donc :

\[\mathcal{A}_{\text{ACD}} \approx 11{,}3 \times 6{,}25 = 70{,}625\ \text{cm}^2\]

Soit environ 70,6 cm² au dixième, à partir de la valeur donnée. Remarque : comme 11,3 est déjà un arrondi, le calcul exact (\(\dfrac{1}{2} \times 15 \times 10 \times \sin 110^\circ \approx 70{,}48\)) donnerait 70,5 cm² ; la réponse attendue par l’énoncé est celle obtenue par « déduction », 70,6 cm².

4. Construction sur l’annexe 1, avec la règle graduée et le rapporteur :

• tracer un segment [AD] de 15 cm et placer E sur [AD] à 6 cm de A ;
• en E, tracer avec le rapporteur une demi-droite faisant un angle \(\widehat{\text{AEB}}\) de 110° avec [EA], et placer B sur cette demi-droite à 4 cm de E ;
• tracer la demi-droite [AB) ;
• en D, du même côté de (AD), tracer une demi-droite faisant un angle \(\widehat{\text{ADC}}\) de 110° avec [DA] ; elle coupe [AB) en C ;
• contrôle : on doit mesurer CD = 10 cm (question 2), et AC ≈ 20,7 cm.

Exercice 6 :

1. Chaque script trace 3 segments de 100 pas en tournant vers la droite du même angle après chaque segment. L’angle indiqué dans « tourner » est l’angle dont le lutin change de direction, pas l’angle intérieur de la figure : l’angle entre deux segments consécutifs vaut \(180^\circ\) moins l’angle de rotation.

• Script 1 : rotation de 60°, angle entre deux segments \(180 – 60 = 120^\circ\) : trois côtés d’un hexagone régulier, la ligne brisée ouverte. Script 1 → figure C.
• Script 2 : rotation de 90°, angles droits : trois côtés d’un carré. Script 2 → figure A.
• Script 3 : rotation de 120°, angle entre deux segments \(180 – 120 = 60^\circ\) : après trois côtés, le lutin est revenu à son point de départ, c’est un triangle équilatéral. Script 3 → figure B.

2. Le script de la figure D montre le principe : on avance de 20, puis 40, puis 60, puis 80 pas, en tournant de 90° à chaque fois ; la longueur augmente donc de 20 pas à chaque segment. Sur la figure E, on compte 13 segments, chacun plus long que le précédent d’une même quantité (le plus court fait la longueur d’une « marche »). On initialise la variable longueur à 20, on répète 13 fois, on avance de la valeur de la variable longueur, puis on lui ajoute 20. Script complété :

quand le drapeau vert est cliqué
mettre longueur à 20
stylo en position d'écriture
répéter 13 fois
    avancer de (longueur) pas
    tourner à droite de 90 degrés
    ajouter 20 à longueur
fin de la boucle

Les cases à compléter sont donc : 20 dans « mettre longueur à », 13 dans « répéter », la variable longueur dans « avancer de », et 20 à ajouter à la variable longueur.

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