Ce bac de maths 2024 blanc n°4 reproduit les conditions de l’épreuve de spécialité de terminale : quatre exercices notés sur 5 points, à traiter en 4 heures avec la calculatrice en mode examen. Le premier porte sur les probabilités conditionnelles (arbre pondéré, loi d’une variable aléatoire, espérance) puis sur la loi binomiale. Le deuxième relève de la géométrie dans l’espace : vecteur normal, équation cartésienne d’un plan, projeté orthogonal, sphère, plan tangent et représentation paramétrique d’une droite.
Le troisième exercice étudie une suite définie par récurrence : raisonnement par récurrence, limite, sens de variation, suite auxiliaire géométrique et programmes en Python. Le dernier est consacré à une fonction mêlant logarithme népérien et exponentielle : limite, dérivée, théorème des valeurs intermédiaires, convexité et position de la courbe par rapport à une tangente et à ses cordes.
Pour tirer profit de ce sujet d’entraînement, compose d’abord sans aide, en respectant la durée, puis compare ta copie au corrigé détaillé placé sur une page dédiée : chaque question y est rédigée avec la justification attendue le jour de l’examen. Le lien en bas de page mène aux autres annales corrigées du baccalauréat.
Bac maths 2024 : ce que contient le sujet
Tout d’abord, ce bac maths 2024 correspond à le bac blanc de mathématiques 2024, reproduit ici avec son énoncé complet. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants, chacun noté sur 5 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser les probabilités conditionnelles, l’espérance d’une variable aléatoire, la loi binomiale et la géométrie dans l’espace. De cette façon, vous travaillez exactement le format de l’examen, sans surprise le jour J.
ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
SESSION 2024
MATHÉMATIQUES
Durée de l’épreuve : 4 heures
L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé
L’usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.
Exercice 1 (5 points)
Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible
mouvante.
• Si le joueur atteint la cible lors d’un tir alors il ne l’atteint pas lors du tir suivant dans 65 %
des cas ;
• Si le joueur n’atteint pas la cible lors d’un tir alors il l’atteint lors du tir suivant dans 50 %
des cas.
La probabilité qu’un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de 0,6.
Pour tout événement A, on note P(A) sa probabilité et \(\,\overline{A}\) l’événement contraire de A.
On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs.
• A1: « Le joueur atteint la cible lors du 1er tir »
• A2: « Le joueur atteint la cible lors du 2ème tir »
• A3: « Le joueur atteint la cible lors du 3ème tir ».
pondéré ci-dessous modélisant la situation.
des trois tirs.
2. Montrer que la probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des
trois tirs est égale à 0,4015.
3. L’objectif de cette question est de calculer l’espérance de la variable aléatoire X, notée
E(X).
a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable
aléatoire X.
Exercice 1 du bac maths 2024, partie B : questions 1 à 2
| \(X=x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \(P(X=x_i)\) | 0,1 | 0,0735 |
c. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.
On considère N, un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Un groupe de N personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions
identiques et indépendantes. Un joueur est déclaré gagnant lorsqu’il atteint trois fois la cible.
On note Y la variable aléatoire qui compte parmi les N personnes le nombre de joueurs déclarés
gagnants.
1. Dans cette question, N = 15.
a. Justifier que Y suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
b. Donner la probabilité, arrondie à \(10^{-3}\), qu’exactement 5 joueurs soient gagnants à ce
jeu.
2. Par la méthode de votre choix, que vous expliciterez, déterminer le nombre minimum de
personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu’il y ait au moins un
joueur gagnant soit supérieure ou égale à 0,98.
Exercice 2 (5 points)
A(1 ; 1 ; −4), B(2 ; −1 ; −3), C(0 ; −1 ; −1) et \(\Omega\)(1 ; 1 ; 2).
1. Démontrer que les points A, B, et C définissent un plan.
2. a. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\) de coordonnées \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\)
b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est \(x+\,y+z\,+\,2\,=\,0\).
3. a. Justifier que le point \(\Omega\) n’appartient pas au plan (ABC).
4. Justifier, sans calcul, que tout point N du plan (ABC), distinct de H, n’appartient pas à la
sphère S.
On dit qu’un plan \(P\) est tangent à la sphère en un point K lorsque les deux conditions suivantes
sont vérifiées :
• \(K\in\,P\cap\,S\)
• \((\Omega\,K)\perp\,P\)
K(3 ; 3 ; 0).
6. On admet que les plans (ABC) et \(P\) sont sécants selon une droite (\(\Delta\)).
Déterminer une équation paramétrique de la droite (\(\Delta\)).
Exercice 3 (5 points)
1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
2. Soit \(n\) un entier naturel.
Recopier et compléter la fonction suite_u d’argument n ci-dessous, écrite en langage
Python, afin qu’elle retourne la valeur de \(u_n\).
def suite_u(n):
u = ...
for i in range(1,n+1):
u = ...
return ub. En déduire la limite de la suite (\(u_n\)).
c. Soit \(p\in\mathbb{N}^*\).
tout entier naturel n vérifiant, \(n\geq\,\,\,n_0\), \(u_n\geq\,\,\,10^p\)?
4. Démontrer que la suite (\(u_n\)) est croissante.
5. On considère la suite (\(v_n\)), définie pour tout \(n\in\,\mathbb{N}\), par \(v_n=u_n-2n+1\).
def suite_v(n):
L = []
for i in range(n+1):
L.append(suite_u(i)-2*i+1)
return Lla liste L.
Lorsqu’on saisit suite_v(5) dans la console, on obtient l’affichage suivant :
>>> suite_v(5)
[1, 5, 25, 125, 625, 3125]Démontrer cette conjecture.
b. En déduire, pour tout entier naturel \(n\), la forme explicite de \(u_n\) en fonction de \(n\).
Exercice 4 (5 points)
On note \(C_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\) du
plan.
1. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).
2. On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.
a. Montrer que, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)=\frac{e^x-3}{4(e^x+1)}\).
b. En déduire les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
c. Montrer que l’équation \(f(x)=1\) admet une unique solution dans l’intervalle [2 ; 5].
On admettra que la fonction \(f^{\prime}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)=\frac{e^x}{(1+e^x)^2}\). On note \(\Delta\) la tangente à la courbe \(C_f\) au point d’abscisse 0.
Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe \(C_f\), la tangente \(\Delta\) et le quadrilatère MNPQ
tel que M et N sont les deux points de la courbe \(C_f\) d’abscisses respectives \(\alpha\) et \(-\alpha\), et Q
et P sont les deux points de la droite \(\Delta\) d’abscisses respectives \(\alpha\) et \(-\alpha\).
b. En déduire que la portion de la courbe \(C_f\), sur l’intervalle [− \(\alpha\) ; \(\alpha\)], est inscrite dans le
quadrilatère MNPQ.
2. a. Montrer que \(f(-\alpha\,)=\ln(e^{-\alpha\,}+1)+\frac{3}{4}\alpha\).
b. Démontrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.
Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac blanc de maths 2024 n° 4
Bien travailler ce bac maths 2024
Tout d’abord, lisez l’ensemble du sujet pendant quelques minutes afin de repérer les questions les plus accessibles. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur les probabilités conditionnelles ou l’espérance d’une variable aléatoire. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur probabilités conditionnelles.
Les erreurs fréquentes à éviter
- En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
- Pour une espérance, vérifiez que les probabilités de la loi somment à 1 avant de calculer.
- Avant d’annoncer une loi binomiale, justifiez la répétition d’épreuves identiques et indépendantes à deux issues, puis précisez les deux paramètres.
Bac maths 2024 : vos questions
Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, les probabilités conditionnelles, l’espérance d’une variable aléatoire et la loi binomiale, mais aussi la géométrie dans l’espace.
Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.
