Corrigé du bac blanc de maths 2024 n° 4

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Bac de maths 2024 blanc n°4 : sujet et corrigé du baccalauréat en PDF. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Probabilités : arbre pondéré, loi de probabilité, loi binomiale (5 points)

Partie A

Un joueur effectue trois tirs successifs sur une cible mouvante. S’il atteint la cible à un tir, il la manque au tir suivant dans 65 % des cas ; s’il la manque, il l’atteint au tir suivant dans 50 % des cas. La probabilité d’atteindre la cible au premier tir est 0,6. On note \(A_k\) l’événement « le joueur atteint la cible au \(k\)-ième tir ».

1. On demande de compléter l’arbre pondéré.

Pour \(k=1\) ou \(k=2\), l’énoncé donne \(P_{A_k}(\overline{A_{k+1}})=0{,}65\) et \(P_{\overline{A_k}}(A_{k+1})=0{,}5\). Par passage au complémentaire :

\[P_{A_k}(A_{k+1})=1-0{,}65=0{,}35 \qquad \text{et} \qquad P_{\overline{A_k}}(\overline{A_{k+1}})=1-0{,}5=0{,}5.\]

De plus \(P(A_1)=0{,}6\) et \(P(\overline{A_1})=0{,}4\). On obtient l’arbre suivant.

On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de fois où le joueur atteint la cible au cours des trois tirs.

2. On demande \(P(X=2)\). Le joueur atteint deux fois la cible exactement lorsqu’il manque un seul des trois tirs, ce qui correspond à trois chemins de l’arbre :

\[P(X=2)=P(A_1\cap A_2\cap \overline{A_3})+P(A_1\cap \overline{A_2}\cap A_3)+P(\overline{A_1}\cap A_2\cap A_3)\]

\[P(X=2)=0{,}6\times 0{,}35\times 0{,}65+0{,}6\times 0{,}65\times 0{,}5+0{,}4\times 0{,}5\times 0{,}35=0{,}136\,5+0{,}195+0{,}07.\]

\(P(X=2)=0{,}401\,5\).

3. a. On demande de compléter la loi de probabilité de \(X\), sachant que \(P(X=0)=0{,}1\) et \(P(X=3)=0{,}073\,5\).

On peut le vérifier sur l’arbre : \(P(X=0)=0{,}4\times 0{,}5\times 0{,}5=0{,}1\) et \(P(X=3)=0{,}6\times 0{,}35\times 0{,}35=0{,}073\,5\). La somme des probabilités valant 1 :

\[P(X=1)=1-(0{,}1+0{,}401\,5+0{,}073\,5)=1-0{,}575=0{,}425.\]

\(x_i\)	0	1	2	3
\(P(X=x_i)\)	0,1	0,425	0,401 5	0,073 5

3. b. On demande l’espérance de \(X\).

\[E(X)=0\times 0{,}1+1\times 0{,}425+2\times 0{,}401\,5+3\times 0{,}073\,5=0{,}425+0{,}803+0{,}220\,5=1{,}448\,5.\]

\(E(X)=1{,}448\,5\).

3. c. Interprétation : sur un grand nombre de parties de trois tirs, un joueur atteint la cible en moyenne environ 1,45 fois par partie.

Partie B

Un groupe de \(N\) personnes (\(N \geq\, 1\)) joue dans des conditions identiques et indépendantes. Un joueur est gagnant s’il atteint trois fois la cible, ce qui arrive avec la probabilité \(p=P(X=3)=0{,}073\,5\). On note \(Y\) le nombre de gagnants parmi les \(N\) joueurs.

1. a. Ici \(N=15\) ; on demande la loi de \(Y\).

Pour chaque joueur, on a une épreuve de Bernoulli à deux issues : « gagnant », de probabilité \(p=0{,}073\,5\), ou « perdant ». Cette épreuve est répétée 15 fois de façon identique et indépendante, et \(Y\) compte le nombre de succès. Donc \(Y\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=15\) et \(p=0{,}073\,5\).

1. b. On demande la probabilité qu’il y ait exactement 5 gagnants.

\[P(Y=5)=\binom\,{15}{5}\times 0{,}073\,5^{5}\times (1-0{,}073\,5)^{10}=3\,003\times 0{,}073\,5^{5}\times 0{,}926\,5^{10}\approx 0{,}003.\]

\(P(Y=5)\approx 0{,}003\) à \(10^{-3}\) près.

2. On cherche le nombre minimal \(N\) de joueurs pour que la probabilité d’avoir au moins un gagnant soit supérieure ou égale à 0,98.

Avec \(N\) joueurs, \(Y\) suit la loi binomiale de paramètres \(N\) et \(0{,}073\,5\), donc \(P(Y=0)=0{,}926\,5^{N}\). On résout :

\[P(Y \geq\, 1)\geq\, 0{,}98 \iff 1-0{,}926\,5^{N}\geq\, 0{,}98 \iff 0{,}926\,5^{N}\leq\, 0{,}02.\]

La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\) :

\[0{,}926\,5^{N}\leq\, 0{,}02 \iff N\ln(0{,}926\,5)\leq\, \ln(0{,}02) \iff N\geq\, \frac{\ln(0{,}02)}{\ln(0{,}926\,5)},\]

car \(\ln(0{,}926\,5)\lt 0\) (on change le sens de l’inégalité en divisant). Or \(\dfrac{\ln(0{,}02)}{\ln(0{,}926\,5)}\approx 51{,}24\).

Il faut donc au minimum 52 joueurs.

Exercice 2 :

Géométrie dans l’espace : plan, projeté orthogonal, sphère et plan tangent (5 points)

Dans un repère orthonormé \((O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\), on considère \(A(1\,;1\,;-4)\), \(B(2\,;-1\,;-3)\), \(C(0\,;-1\,;-1)\) et \(\Omega(1\,;1\,;2)\).

1. On demande de justifier que \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan.

\[\vec{AB}\begin{pmatrix}2-1\\-1-1\\-3-(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix} \qquad \vec{AC}\begin{pmatrix}0-1\\-1-1\\-1-(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\3\end{pmatrix}.\]

Si ces vecteurs étaient colinéaires, on aurait \(\vec{AC}=\lambda\vec{AB}\) ; la première coordonnée donne \(\lambda=-1\), mais la deuxième donnerait \(-2=2\), ce qui est faux. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés et définissent un plan.

2. a. On demande de montrer que \(\vec{n}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) est normal au plan \((ABC)\).

• \(\vec{n}\cdot\vec{AB}=1\times 1+1\times (-2)+1\times 1=0\) ;
• \(\vec{n}\cdot\vec{AC}=1\times (-1)+1\times (-2)+1\times 3=0\).

\(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan \((ABC)\) : c’est un vecteur normal au plan \((ABC)\).

2. b. On demande une équation cartésienne de \((ABC)\).

Le plan admet une équation de la forme \(x+y+z+d=0\). Comme \(A\) lui appartient : \(1+1-4+d=0\), soit \(d=2\).

\((ABC) : x+y+z+2=0\).

3. a. On demande de vérifier que \(\Omega\) n’appartient pas à \((ABC)\).

\(x_\Omega+y_\Omega+z_\Omega+2=1+1+2+2=6\neq 0\), donc \(\Omega\notin(ABC)\).

3. b. On demande les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(\Omega\) sur \((ABC)\).

La droite \((\Omega H)\) est orthogonale au plan, donc \(\vec{\Omega H}\) est colinéaire à \(\vec{n}\) : il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{\Omega H}=k\vec{n}\), c’est-à-dire

\[x_H=1+k,\qquad y_H=1+k,\qquad z_H=2+k.\]

Comme \(H\in(ABC)\) : \((1+k)+(1+k)+(2+k)+2=0 \iff 6+3k=0 \iff k=-2\).

\(H(-1\,;-1\,;0)\).

On vérifie au passage que \(\Omega H=\|\vec{\Omega H}\|=|k|\,\|\vec{n}\|=2\sqrt{3}\), valeur admise par l’énoncé. On considère ensuite la sphère \(S\) de centre \(\Omega\) et de rayon \(2\sqrt{3}\), ensemble des points \(M\) tels que \(\Omega M=2\sqrt{3}\).

4. On demande de montrer que \(H\) est le seul point commun à \(S\) et au plan \((ABC)\) ; autrement dit, qu’un point \(N\) de \((ABC)\) distinct de \(H\) n’est pas sur \(S\).

Soit \(N\) un point de \((ABC)\) distinct de \(H\). Le triangle \(\Omega HN\) est rectangle en \(H\), car \((\Omega H)\) est orthogonale au plan, donc à la droite \((HN)\). D’après le théorème de Pythagore :

\[\Omega N^{2}=\Omega H^{2}+HN^{2}\gt \Omega H^{2}=12, \quad \text{car } HN\gt 0.\]

Donc \(\Omega N\gt 2\sqrt{3}\) et \(N\) n’appartient pas à la sphère \(S\). Comme \(\Omega H=2\sqrt{3}\), le point \(H\) est bien sur \(S\) : c’est le seul point commun au plan et à la sphère.

Un plan \(\mathcal{P}\) est dit tangent à \(S\) en \(K\) lorsque \(K\in\mathcal{P}\cap S\) et \((\Omega K)\perp\mathcal{P}\).

5. Soit \(\mathcal{P}\) le plan d’équation \(x+y-z-6=0\) et \(K(3\,;3\,;0)\). On demande de montrer que \(\mathcal{P}\) est tangent à \(S\) en \(K\).

• \(x_K+y_K-z_K-6=3+3-0-6=0\), donc \(K\in\mathcal{P}\).
• \(\Omega K^{2}=(3-1)^{2}+(3-1)^{2}+(0-2)^{2}=4+4+4=12\), donc \(\Omega K=2\sqrt{3}\) et \(K\in S\).
• \(\vec{\Omega K}\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}\) et le plan \(\mathcal{P}\) a pour vecteur normal \(\vec{n}^{\prime}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\). On a \(\vec{\Omega K}=2\vec{n}^{\prime}\) : \(\vec{\Omega K}\) est normal à \(\mathcal{P}\), donc \((\Omega K)\perp\mathcal{P}\).

Les deux conditions sont réunies : \(\mathcal{P}\) est tangent à la sphère \(S\) au point \(K\).

6. Les plans \((ABC)\) et \(\mathcal{P}\) sont sécants (leurs vecteurs normaux \(\vec{n}\) et \(\vec{n}^{\prime}\) ne sont pas colinéaires). On demande une représentation paramétrique de leur droite d’intersection \((\Delta)\).

Un point \(M(x\,;y\,;z)\) appartient aux deux plans si et seulement si

\[\begin{cases} x+y+z+2=0\\ x+y-z-6=0\end{cases}\]

En soustrayant la seconde équation à la première : \(2z+8=0\), soit \(z=-4\). En reportant : \(x+y-4+2=0\), soit \(x=2-y\). En posant \(y=t\) :

\[(\Delta) : \begin{cases} x=2-t\\ y=t\\ z=-4\end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}.\]

Exercice 3 :

Suites : Python, récurrence, suite géométrique (5 points)

La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=5u_n-8n+6\).

1. On demande \(u_1\) et \(u_2\).

\(u_1=5u_0-8\times 0+6=6\) et \(u_2=5u_1-8\times 1+6=30-8+6=28\).

\(u_1=6\) et \(u_2=28\).

2. On demande de compléter la fonction Python suite_u qui renvoie \(u_n\). La boucle fait varier i de 1 à \(n\) : à l’étape i, on calcule \(u_i\) à partir de \(u_{i-1}\), soit \(u_i=5u_{i-1}-8(i-1)+6\).

def suite_u(n):
    u = 0
    for i in range(1, n+1):
        u = 5*u - 8*(i-1) + 6
    return u

Remarque : de façon équivalente, on pourrait écrire for i in range(n): suivi de u = 5*u - 8*i + 6.

3. a. On demande de démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geq\, 2n\).

Notons \(\mathcal{P}_n\) la propriété « \(u_n\geq\, 2n\) ».

• Initialisation : \(u_0=0\) et \(2\times 0=0\), donc \(\mathcal{P}_0\) est vraie.
• Hérédité : supposons \(u_n\geq\, 2n\) pour un entier \(n\) fixé. Alors \(5u_n\geq\, 10n\), donc
  \[u_{n+1}=5u_n-8n+6\geq\, 10n-8n+6=2n+6=2(n+1)+4\geq\, 2(n+1).\]
  Donc \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.
• Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; par le principe de récurrence, \(u_n\geq\, 2n\) pour tout entier naturel \(n\).

3. b. On demande la limite de \((u_n)\).

\(\lim\limits_{n\to+\infty}2n=+\infty\) et \(u_n\geq\, 2n\) : par comparaison, \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).

3. c. Soit \(p\in\mathbb{N}^{*}\). On demande de justifier l’existence d’un rang \(n_0\) à partir duquel \(u_n\geq\, 10^{p}\).

Puisque \((u_n)\) tend vers \(+\infty\), par définition, pour tout réel \(A\), tous les termes de la suite sont supérieurs à \(A\) à partir d’un certain rang. Avec \(A=10^{p}\), il existe un rang \(n_0\) tel que, pour tout \(n\geq\, n_0\), \(u_n\geq\, 10^{p}\).

4. On demande le sens de variation de \((u_n)\).

Pour tout \(n\) : \(u_{n+1}-u_n=5u_n-8n+6-u_n=4u_n-8n+6=4(u_n-2n)+6\). Comme \(u_n-2n\geq\, 0\) d’après la question 3. a, on obtient \(u_{n+1}-u_n\geq\, 6\gt 0\).

La suite \((u_n)\) est strictement croissante.

5. On considère la suite \((v_n)\) définie par \(v_n=u_n-2n+1\).

5. a. La fonction Python suite_v renvoie la liste \([v_0, v_1, \dots, v_n]\) ; l’appel suite_v(5) affiche [1, 5, 25, 125, 625, 3125]. On demande une conjecture puis sa démonstration.

Chaque terme est égal à 5 fois le précédent : on conjecture que \(v_{n+1}=5v_n\) pour tout \(n\).

Démonstration : pour tout entier naturel \(n\),

\[v_{n+1}=u_{n+1}-2(n+1)+1=5u_n-8n+6-2n-2+1=5u_n-10n+5=5(u_n-2n+1)=5v_n.\]

5. b. On demande l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).

D’après la question précédente, \((v_n)\) est géométrique de raison \(q=5\) et de premier terme \(v_0=u_0-0+1=1\). Donc \(v_n=5^{n}\) pour tout \(n\).

Comme \(u_n=v_n+2n-1\) : \(u_n=5^{n}+2n-1\) pour tout entier naturel \(n\).

Vérification : \(u_1=5+2-1=6\) et \(u_2=25+4-1=28\).

Exercice 4 :

Fonction logarithme et exponentielle, valeurs intermédiaires, convexité (5 points)

La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\ln(1+\mathrm{e}^{-x})+\frac{1}{4}x\) ; on note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe dans un repère orthonormé.

Partie A

1. On demande la limite de \(f\) en \(+\infty\).

\(\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0\), donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}(1+\mathrm{e}^{-x})=1\) et, par composition avec \(\ln\) continue en 1, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(1+\mathrm{e}^{-x})=\ln 1=0\). Par ailleurs \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{4}x=+\infty\). Par somme :

\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).

2. a. On demande de montrer que \(f^{\prime}(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-3}{4(\mathrm{e}^{x}+1)}\).

La dérivée de \(x\mapsto 1+\mathrm{e}^{-x}\) est \(x\mapsto -\mathrm{e}^{-x}\), donc :

\[f^{\prime}(x)=\frac{-\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}+\frac{1}{4}.\]

En multipliant numérateur et dénominateur de la fraction par \(\mathrm{e}^{x}\) : \(\dfrac{-\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}=\dfrac{-1}{\mathrm{e}^{x}+1}\). D’où :

\[f^{\prime}(x)=\frac{-4}{4(\mathrm{e}^{x}+1)}+\frac{\mathrm{e}^{x}+1}{4(\mathrm{e}^{x}+1)}=\frac{\mathrm{e}^{x}-3}{4(\mathrm{e}^{x}+1)}.\]

2. b. On demande les variations de \(f\).

Le dénominateur \(4(\mathrm{e}^{x}+1)\) est strictement positif, donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(\mathrm{e}^{x}-3\). Or \(\mathrm{e}^{x}-3\geq\, 0 \iff \mathrm{e}^{x}\geq\, 3 \iff x\geq\, \ln 3\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(\ln 3\)		\(+\infty\)
signe de \(f^{\prime}(x)\)		\(-\)	0	\(+\)
variations de \(f\)		décroissante	minimum \(f(\ln 3)\)	croissante	\(+\infty\)

\(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\ln 3]\), strictement croissante sur \([\ln 3\,;+\infty[\), et admet un minimum en \(x=\ln 3\). Ce minimum vaut \(f(\ln 3)=\ln\frac{4}{3}+\frac{\ln 3}{4}\approx 0{,}56\).

2. c. On demande de montrer que l’équation \(f(x)=1\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([2\,;5]\).

• \(\ln 3\approx 1{,}1\), donc \([2\,;5]\subset[\ln 3\,;+\infty[\) : \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante sur \([2\,;5]\).
• \(f(2)=\ln(1+\mathrm{e}^{-2})+\frac{1}{2}\approx 0{,}63\), donc \(f(2)\lt 1\).
• \(f(5)=\ln(1+\mathrm{e}^{-5})+\frac{5}{4}\approx 1{,}26\), donc \(f(5)\gt 1\).

D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=1\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([2\,;5]\). Par balayage, \(\alpha\approx 3{,}92\).

Partie B

On admet que \(f^{\prime}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{(\mathrm{e}^{x}+1)^{2}}\). On note \(\Delta\) la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 0. Les points \(M\) et \(N\) sont les points de \(\mathcal{C}_f\) d’abscisses \(\alpha\) et \(-\alpha\) ; les points \(Q\) et \(P\) sont les points de \(\Delta\) d’abscisses \(\alpha\) et \(-\alpha\).

1. a. On demande de justifier que \(f^{\prime\prime}(x)\gt 0\) pour tout réel \(x\).

Pour tout réel \(x\), \(\mathrm{e}^{x}\gt 0\) et \((\mathrm{e}^{x}+1)^{2}\gt 0\) (carré d’un nombre strictement positif). Le quotient est donc strictement positif : \(f^{\prime\prime}(x)\gt 0\).

1. b. On demande de montrer que la portion de \(\mathcal{C}_f\) sur \([-\alpha\,;\alpha]\) est contenue dans le quadrilatère \(MNPQ\).

Comme \(f^{\prime\prime}\gt 0\) sur \(\mathbb{R}\), \(f\) est convexe. Par conséquent :

• la courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier au-dessus de \(\Delta\), c’est-à-dire du côté \([PQ]\) ;
• entre deux de ses points, la courbe est en dessous de la corde : sur \([-\alpha\,;\alpha]\), elle est en dessous du segment \([MN]\).

Comme elle est de plus comprise entre les droites verticales \((NP)\) et \((MQ)\) d’équations \(x=-\alpha\) et \(x=\alpha\), la portion de \(\mathcal{C}_f\) sur \([-\alpha\,;\alpha]\) est inscrite dans le quadrilatère \(MNPQ\).

2. a. On demande de montrer que \(f(-\alpha)=\ln(\mathrm{e}^{-\alpha}+1)+\frac{3}{4}\alpha\).

\[f(-\alpha)=\ln(1+\mathrm{e}^{\alpha})-\frac{1}{4}\alpha=\ln(\mathrm{e}^{\alpha}(\mathrm{e}^{-\alpha}+1))-\frac{1}{4}\alpha=\ln(\mathrm{e}^{\alpha})+\ln(\mathrm{e}^{-\alpha}+1)-\frac{1}{4}\alpha.\]

Comme \(\ln(\mathrm{e}^{\alpha})=\alpha\) : \(f(-\alpha)=\ln(\mathrm{e}^{-\alpha}+1)+\alpha-\frac{1}{4}\alpha\), soit \(f(-\alpha)=\ln(\mathrm{e}^{-\alpha}+1)+\frac{3}{4}\alpha\).

2. b. On demande de démontrer que \(MNPQ\) est un parallélogramme.

Comme \(f(\alpha)=1\) : \(\ln(1+\mathrm{e}^{-\alpha})+\frac{1}{4}\alpha=1\), donc \(\ln(1+\mathrm{e}^{-\alpha})=1-\frac{1}{4}\alpha\). En reportant dans la question précédente :

\[f(-\alpha)=1-\frac{1}{4}\alpha+\frac{3}{4}\alpha=1+\frac{1}{2}\alpha.\]

Le coefficient directeur de la droite \((MN)\), avec \(M(\alpha\,;f(\alpha))\) et \(N(-\alpha\,;f(-\alpha))\), vaut :

\[\frac{f(\alpha)-f(-\alpha)}{\alpha-(-\alpha)}=\frac{1-(1+\frac{1}{2}\alpha)}{2\alpha}=\frac{-\frac{1}{2}\alpha}{2\alpha}=-\frac{1}{4}.\]

Le coefficient directeur de la tangente \(\Delta\) vaut \(f^{\prime}(0)=\dfrac{\mathrm{e}^{0}-3}{4(\mathrm{e}^{0}+1)}=\dfrac{-2}{8}=-\dfrac{1}{4}\).

Les droites \((MN)\) et \((PQ)=\Delta\) ont le même coefficient directeur : elles sont parallèles. Par ailleurs, \((MQ)\) et \((NP)\) sont toutes deux parallèles à l’axe des ordonnées (droites d’équations \(x=\alpha\) et \(x=-\alpha\)). Le quadrilatère \(MNPQ\) a ses côtés opposés parallèles deux à deux : c’est un parallélogramme.