Voici le sujet de mathématiques posé au brevet des collèges en Amérique du Nord en 2023, suivi d’un corrigé détaillé rédigé question par question. De plus, cette épreuve du DNB dure deux heures et compte cinq exercices indépendants, notés sur 100 points : c’est un excellent entraînement pour les élèves de troisième qui préparent l’examen de fin de collège.
Le premier exercice est un QCM qui mêle un script Scratch traçant des triangles équilatéraux, le calcul fractionnaire, l’écriture scientifique et la médiane d’une série. Ensuite, le deuxième étudie une cabane de jardin : trigonométrie et Pythagore pour le toboggan, théorème de Thalès pour l’échelle, puis volume d’un pavé droit, ratio et coût des sacs de sable. Viennent ensuite deux programmes de calcul avec un tableur, du calcul littéral et une équation produit, puis une urne qui mobilise les probabilités et la décomposition en facteurs premiers pour constituer des lots. Par ailleurs, le dernier exercice compare deux tarifs de location de bateaux à l’aide de la proportionnalité, d’une fonction affine et d’une lecture graphique.
Traite chaque exercice au brouillon en rédigeant tes justifications, puis compare ta copie avec la correction placée sous l’annexe. Puis le sujet et son corrigé sont aussi proposés en PDF à imprimer pour réviser hors connexion.
DIPLÔME NATIONAL DU BREVET SESSION 2023
MATHEMATIQUES
Série générale
Durée de l’épreuve : 2 h 00 100 points
Exercice 1 (18 points) (brevet 2023 Nord)
Cet exercice, en deux parties, est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question,
parmi les réponses proposées, une seule est exacte.
Recopier le numéro de la question et indiquer la réponse choisie. Aucune justification n’est attendue ici.
Partie A
Dans cette partie, on s’intéresse au programme ci-dessous, composé d’un bloc « triangle équilatéral » et d’un script principal :
On rappelle que l’instruction « s’orienter à 90 » signifie s’orienter vers la droite.
| Questions | Réponse A | Réponse B | Réponse C |
|---|---|---|---|
1) On souhaite construire le triangle équilatéral ci-dessous. Le stylo est orienté à 90° au départ comme ci-dessous. Compléter le script du bloc « triangle équilatéral » avec la valeur qui convient. |
60° | 100° | 120° |
| 2) Parmi les trois figures, laquelle est obtenue avec le script principal ? |  |
 |
 |
| 3) Quel polygone obtient-on si on remplace dans le script principal, la boucle « répéter 2 fois » par une boucle « répéter 6 fois » ? | Un parallélogramme | Un hexagone | Un losange |
Partie B
| Questions | Réponse A | Réponse B | Réponse C |
|---|---|---|---|
| 1) \((\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{7}{5}): \dfrac{4}{3}=\) | \(\dfrac{3}{15}\times \dfrac{4}{3}\) | \((\dfrac{1}{3}\times \dfrac{7}{5}): \dfrac{4}{3}\) | \(\dfrac{3}{15}\times \dfrac{3}{4}\) |
| 2) L’écriture scientifique de \(302{,}4\times 10^{18}\) est : | \(3{,}024\times 10^{16}\) | \(3{,}024\times 10^{20}\) | \(0{,}3024\times 10^{21}\) |
| 3) On donne ci-dessous la masse de 8 biscuits différents : 12 g ; 10 g ; 18 g ; 8 g ; 12 g ; 15 g ; 11 g ; 13 g Suite à une erreur de mesure, le biscuit pesant 18 g pèse en fait 16 g. Une fois cette erreur corrigée, la valeur de la médiane sera : |
Plus petite. | La même. | Plus grande. |
Exercice 2 (24 points)
Les 3 parties de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.
Une famille souhaite installer dans son jardin la cabane ci-dessous. La partie inférieure de cette cabane, encadrée par des pointillés sur la photo, est modélisée par le schéma à droite :
On précise que :
AB = 1,3 m, AC = 0,5 m, BC = DF = 1,2 m, DE = 2,04 m.
Les triangles ABC, BMN et FDE sont rectangles.
Partie A : Étude du toboggan.
1) Pour que le toboggan soit sécurisé, il faut que \(\widehat{DEF}\) mesure 30°, au degré près.
Le toboggan de cette cabane est-il sécurisé ?
2) Montrer que la rampe du toboggan, EF, mesure environ 2,37 m.
Partie B : Étude de l’échelle.
Pour consolider l’échelle, on souhaite ajouter une poutre supplémentaire [MN], comme indiqué sur le modèle.
1) Démontrer que les droites (AC) et (MN) sont parallèles.
2) On positionne cette poutre [MN] telle que BN = 0,84 m. Calculer sa longueur MN.
Partie C : Étude du bac à sable.
Un bac à sable est installé sous la cabane. Il s’agit d’un pavé droit dont les dimensions sont données ci-dessous :
- Longueur : 200 cm
- Largeur : 180 cm
- Hauteur : 20 cm
Exercice 2 (24 points) (suite)
1) Calculer le volume de ce bac à sable en cm³.
2) On admet que le volume du bac à sable est de 0,72 m³.
On remplit entièrement ce bac avec un mélange de sable à maçonner et de sable fin dans le ratio 3 : 2.
Vérifier que le volume nécessaire de sable à maçonner est de 0,432 m³ et que celui de sable fin est
de 0,288 m³.
3) Un magasin propose à l’achat le sable à maçonner et le sable fin, vendus en sac.
D’après les indications ci-dessous, quel est le coût total du sable nécessaire pour remplir entièrement ce bac à sable sachant qu’on ne peut acheter que des sacs entiers ?
| Pour 1 sac de sable à maçonner | Pour 1 sac de sable fin | |
|---|---|---|
| Poids | 35 kg | 25 kg |
| Volume | 0,022 m³ | 0,016 m³ |
| Prix | 2,95 € | 5,95 € |
Exercice 3 (15 points) (brevet 2023 Nord)
Amir et Sonia ont chacun inventé un programme de calcul.
| Programme d’Amir | Programme de Sonia |
|---|---|
|
|
1) Montrer que si le nombre choisi au départ est 6 alors on obtient 2 avec le programme d’Amir et on obtient 38 avec celui de Sonia.
2) Amir et Sonia souhaitent savoir s’il existe des nombres choisis au départ pour lesquels les deux programmes renvoient le même résultat.
Pour cela, ils complètent la feuille de calcul ci-dessous :
| A | B | C | D | E | F | G | H | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Nombre choisi | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | Programme d’Amir | −14 | −12 | −10 | −8 | −6 | −4 | −2 |
| 3 | Programme de Sonia | −18 | −18 | −16 | −12 | −6 | 2 | 12 |
Aucune justification n’est attendue pour les deux questions ci-dessous.
a) Parmi les trois propositions suivantes, recopier sur votre copie la formule qui a été saisie dans la cellule B2 avant d’être étirée vers la droite.
| =(B1−5)*2 | =(−2−5)*2 | =B1−5*2 |
b) En vous aidant de la feuille de calcul, quel nombre doivent-ils choisir pour obtenir des résultats
égaux avec les deux programmes ?
3) Sonia et Amir souhaitent vérifier s’il existe d’autres nombres permettant d’obtenir des résultats égaux. Pour cela, ils décident d’appeler \(x\) le nombre choisi au départ de chacun des programmes.
a) Montrer que le résultat obtenu avec le programme de Sonia est donné par \(x^2+3x-16\).
b) On admet que les programmes donnent le même résultat si on choisit comme nombre de départ les solutions de l’équation \((x-2)(x+3)=0\).
Résoudre cette équation et en déduire les valeurs pour lesquelles les deux programmes de calcul renvoient le même résultat.
Exercice 4 (22 points)
Des élèves organisent, pour leur classe, un jeu au cours duquel il est possible de gagner des lots.
Pour cela, ils placent dans une urne trois boules noires numérotées de 1 à 3, et quatre boules rouges
numérotées de 1 à 4, toutes indiscernables au toucher.
Partie A : étude du jeu.
1) On pioche au hasard une boule dans l’urne.
a) Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
b) Quelle est la probabilité de tirer une boule dont le numéro est un nombre pair ?
2) Le jeu consiste à piocher, dans l’urne, une première boule, la remettre dans l’urne puis en piocher une seconde.
Pour chacune des boules tirées, on note la couleur ainsi que le numéro.
Pour gagner un lot, il faut tirer la boule rouge numérotée 1 et une boule noire.
Quelle est la probabilité de gagner ?
Partie B : constitution des lots.
Pour constituer les lots, on dispose de 195 figurines et 234 autocollants.
Chaque lot sera composé de figurines ainsi que d’autocollants. Tous les lots sont identiques.
Toutes les figurines et tous les autocollants doivent être utilisés.
1) Peut-on faire 3 lots ?
2) Décomposer 195 en produit de facteurs premiers.
3) Sachant que la décomposition en produit de facteurs premiers de 234 est \(2\times \,3^2\times \,13\) :
a) Combien de lots peut-on constituer au maximum ?
b) De combien de figurines et d’autocollants sera alors composé chaque lot ?
Exercice 5 (21 points) (brevet 2023 Nord)
Pour se promener le long d’un canal, deux sociétés proposent une location de bateaux électriques.
Les bateaux se louent pour un nombre entier d’heures.
1) Étude du tarif proposé par la société A
Pour la société A, le prix à payer en fonction de la durée de location en heure est donné par le
graphique en ANNEXE.
Répondre aux questions ci-dessous à l’aide du graphique.
Aucune justification n’est attendue pour les questions a) et b).
a) Quel prix va-t-on payer en louant un bateau pour 2 heures ?
b) On dispose d’un budget de 100 €, combien d’heures entières peut-on louer un bateau ?
c) Expliquer pourquoi le prix est proportionnel à la durée de location.
d) En déduire à l’aide d’un calcul, le prix à payer pour une durée de location de 10 heures.
2) Étude du tarif proposé par la société B.
La société B propose le tarif suivant : 60 € de frais de dossier plus 15 € par heure de location.
a) Montrer qu’en louant un bateau pour une durée de deux heures, le prix à payer sera de 90 €.
b) On désigne par \(x\) le nombre d’heures de location.
On appelle \(f\) la fonction qui, au nombre d’heures de location, associe le prix, en euro, avec le tarif proposé par la société B.
On admet que \(f\) est définie par : \(f(x)=15x+60\) .
Sur le graphique donné en ANNEXE à rendre avec la copie, tracer la courbe représentative de la fonction \(f\).
c) Le prix payé est-il proportionnel à la durée de location ?
3) Comparaison des deux tarifs.
a) On souhaite louer un bateau pour une durée de 3 heures. Quelle société doit-on choisir pour
avoir le tarif le moins cher ? Quel prix va-t-on payer dans ce cas ?
b) Pour quelle durée de location le prix payé est-il identique pour les deux sociétés ?
ANNEXE
À compléter et à rendre avec la copie
Exercice 5 :
Prix payé pour la location d’un bateau en fonction de la durée de location.
Conseils avant d’ouvrir le corrigé
D’abord, lisez tout le sujet une première fois sans rien écrire. Ensuite, commencez par l’exercice qui vous semble le plus simple. De cette façon, vous prenez confiance dès le début. Puis passez aux exercices plus longs, en gardant un œil sur l’heure.
Par ailleurs, rédigez chaque réponse avec une phrase de conclusion. En effet, le correcteur note aussi la clarté du raisonnement. De même, écrivez les calculs intermédiaires, car ils rapportent des points même si le résultat final est faux. Ainsi, une erreur de calcul ne vous fait pas tout perdre.
Quand une question bloque, passez à la suivante. Souvent, la question d’après se traite sans la précédente. Enfin, gardez dix minutes pour relire votre copie. Par exemple, vérifiez les unités, les arrondis et l’orthographe des mots mathématiques. Après cela seulement, comparez votre travail avec le corrigé détaillé.
Avant tout, traitez le sujet en temps limité, comme le jour de l’épreuve. Ensuite, relisez votre copie et vérifiez chaque calcul. Puis seulement, ouvrez le corrigé pour comparer vos réponses, question après question.
Par ailleurs, notez les points perdus et leur cause : une formule oubliée, une justification trop courte ou encore une erreur de lecture. Ainsi, vous saurez quoi revoir en priorité. Enfin, refaites les exercices manqués quelques jours plus tard, sans aide, afin de vérifier que la méthode est bien acquise.
De plus, chaque exercice mérite une deuxième lecture. D’abord, repérez les mots importants de l’énoncé. Ensuite, écrivez les données utiles au brouillon. Puis rédigez une réponse courte, mais toujours justifiée. En outre, soignez les unités et les arrondis, car ils coûtent souvent des points. Finalement, gardez quelques minutes pour relire toute la copie.
Voir le corrigé détaillé : Corrigé du brevet de maths 2023 en Amérique du Nord
Brevet 2023 Nord : méthode de travail
D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. Par ailleurs, brevet 2023 Nord demande surtout de la régularité.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec brevet de maths 2017 : sujet blanc.
