Voici le corrigé du brevet de maths 2023 en Amérique du Nord, épreuve de la série générale passée le 31 mai 2023 (2 heures, 100 points). Le sujet compte cinq exercices très variés. Le premier enchaîne cinq situations courtes : décomposition en facteurs premiers, probabilités avec un jeu de 32 cartes, développement, volume d’un prisme droit et agrandissement. Le deuxième est un grand classique de géométrie : réciproque de Pythagore, théorème de Thalès, trigonométrie, triangles semblables et calcul d’aire. Le troisième porte sur les statistiques (pourcentage d’évolution, étendue, moyenne pondérée, médiane). Le quatrième fait programmer une fleur en Scratch à partir d’un parallélogramme, et le dernier étudie la piste d’un hippodrome : périmètre, vitesse moyenne, conversion en km/h et comparaison de prix. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Amérique du nord 2023 : brevet de mathsavec sujet et corrigé en PDF. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Cinq situations indépendantes : arithmétique, probabilités, calcul littéral, volume, agrandissement (20 points)
Situation 1
On demande la décomposition de 780 en produit de facteurs premiers. On divise successivement par les plus petits nombres premiers possibles :
\(780 = 2 \times 390\), \(390 = 2 \times 195\), \(195 = 3 \times 65\), \(65 = 5 \times 13\), et 13 est premier.
Donc \(780 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 13\).
Situation 2
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (4 familles de 8 cartes). Les 32 issues sont équiprobables.
a. Probabilité d’obtenir le 8 de pique : il n’y a qu’une seule carte favorable, donc
\[ p = \dfrac{1}{32} = 0{,}03125. \]
b. Probabilité d’obtenir un Roi ou un cœur : il y a 4 Rois et 8 cœurs, mais le Roi de cœur est compté deux fois. Il y a donc \(4 + 8 – 1 = 11\) cartes favorables :
\[ p = \dfrac{11}{32} \approx 0{,}34. \]
Situation 3
On développe et on réduit \(A = (2x+5)(3x-4)\) par double distributivité :
\[ A = 6x^2 – 8x + 15x – 20 = 6x^2 + 7x – 20. \]
\(A = 6x^2 + 7x – 20\).
Situation 4
Le prisme droit a pour bases deux triangles rectangles de côtés de l’angle droit 60 cm et 80 cm (hypoténuse 100 cm) ; ces bases sont distantes de 120 cm, c’est la hauteur du prisme.
a. Aire d’une base (moitié du rectangle de 80 cm sur 60 cm) :
\[ \mathcal{A} = \dfrac{80 \times 60}{2} = 2\,400 \text{ cm}^2. \]
Volume du prisme = aire de la base \(\times \) hauteur :
\[ V = 2\,400 \times 120 = 288\,000 \text{ cm}^3. \]
Le volume est de 288 000 cm³.
b. Comme \(1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3\) :
\[ V = 288\,000 \text{ cm}^3 = 288 \text{ dm}^3 = 288 \text{ L}. \]
Le prisme contient 288 L.
Situation 5
Le polygone 2 est un agrandissement de coefficient 3 du polygone 1, dont l’aire est 11 cm². Dans un agrandissement de coefficient \(k\), les longueurs sont multipliées par \(k\) et les aires par \(k^2\). Ici \(k^2 = 3^2 = 9\), donc :
\[ \mathcal{A}_2 = 9 \times 11 = 99 \text{ cm}^2. \]
L’aire du polygone 2 est de 99 cm².
Exercice 2 :
Pythagore, Thalès, trigonométrie, triangles semblables, aires (22 points)
Données : AN = 13 cm, LN = 5 cm, AL = 12 cm, ON = 3 cm, O appartient à [LN], H appartient à [NA] et (OH) est perpendiculaire à (LN).
1. Montrer que le triangle LNA est rectangle en L.
Le plus grand côté est [AN]. On calcule séparément :
\[ AN^2 = 13^2 = 169 \qquad LN^2 + LA^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169. \]
Comme \(AN^2 = LN^2 + LA^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle LNA est rectangle en L.
2. Montrer que OH = 7,2 cm.
Les droites (AL) et (OH) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (LN) : elles sont donc parallèles entre elles.
Les points N, O, L d’une part et N, H, A d’autre part sont alignés, et (OH) // (LA). D’après le théorème de Thalès :
\[ \dfrac{NO}{NL} = \dfrac{NH}{NA} = \dfrac{OH}{LA} \quad \text{soit} \quad \dfrac{3}{5} = \dfrac{NH}{13} = \dfrac{OH}{12}. \]
Donc \(OH = \dfrac{3 \times 12}{5} = \dfrac{36}{5} = 7{,}2\). On a bien OH = 7,2 cm.
3. Calculer l’angle \(\widehat{LNA}\) arrondi au degré.
Dans le triangle LNA rectangle en L, le côté adjacent à l’angle \(\widehat{LNA}\) est [LN] et l’hypoténuse est [NA] :
\[ \cos \widehat{LNA} = \dfrac{LN}{NA} = \dfrac{5}{13}. \]
À la calculatrice, \(\widehat{LNA} = \arccos(\dfrac{5}{13}) \approx 67{,}4^\circ\). (On trouve la même valeur avec \(\tan \widehat{LNA} = \dfrac{12}{5}\) ou \(\sin \widehat{LNA} = \dfrac{12}{13}\).)
\(\widehat{LNA} \approx 67^\circ\) au degré près.
4. Pourquoi les triangles LNA et ONH sont-ils semblables ?
Le triangle LNA est rectangle en L et le triangle ONH est rectangle en O : ils ont chacun un angle droit. De plus, ils ont en commun l’angle de sommet N : \(\widehat{LNA} = \widehat{ONH}\).
Deux triangles qui ont deux angles respectivement égaux ont aussi leur troisième angle égal (la somme des angles vaut 180°). Les triangles LNA et ONH ont les mêmes angles, ils sont donc semblables.
On peut aussi le voir avec la question 2 : leurs côtés sont proportionnels, dans le rapport \(\dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
5.a. Aire du quadrilatère LOHA.
Le quadrilatère LOHA est le triangle LNA privé du triangle ONH, tous deux rectangles :
\[ \mathcal{A}_{LNA} = \dfrac{LN \times LA}{2} = \dfrac{5 \times 12}{2} = 30 \text{ cm}^2 \qquad \mathcal{A}_{ONH} = \dfrac{ON \times OH}{2} = \dfrac{3 \times 7{,}2}{2} = 10{,}8 \text{ cm}^2. \]
\[ \mathcal{A}_{LOHA} = 30 – 10{,}8 = 19{,}2 \text{ cm}^2. \]
L’aire de LOHA est de 19,2 cm².
5.b. Proportion de l’aire du triangle LNA occupée par LOHA :
\[ \dfrac{\mathcal{A}_{LOHA}}{\mathcal{A}_{LNA}} = \dfrac{19{,}2}{30} = 0{,}64 = \dfrac{16}{25}. \]
Le quadrilatère LOHA représente 64 % (soit \(\dfrac{16}{25}\)) de l’aire du triangle LNA.
Vérification : le triangle ONH est une réduction de LNA de rapport 0,6, donc son aire représente \(0{,}6^2 = 0{,}36\) de celle de LNA, et \(1 – 0{,}36 = 0{,}64\).
Exercice 3 :
Statistiques : lecture de diagramme, pourcentage, étendue, moyenne, médiane (20 points)
Partie A
1.a. Nombre de visiteurs en 2010 : la barre de 2010 atteint la graduation 300 000. Il y a eu environ 300 000 visiteurs en 2010.
1.b. Année du maximum : la plus haute barre est celle de 2019 (un peu plus de 400 000 visiteurs).
2. Le maire voulait une hausse d’au moins 15 % entre 2020 (187 216 visiteurs) et 2021 (219 042 visiteurs).
Augmenter de 15 % revient à multiplier par \(1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15\). L’objectif correspondait donc à :
\[ 187\,216 \times 1{,}15 = 215\,298{,}4 \text{ visiteurs}. \]
Comme \(219\,042 \gt 215\,298{,}4\), l’objectif a été atteint.
Autre méthode : le taux d’évolution réel vaut \(\dfrac{219\,042 – 187\,216}{187\,216} = \dfrac{31\,826}{187\,216} \approx 0{,}17\), soit une hausse d’environ 17 %, supérieure à 15 %.
Partie B
Rappel des données :
| Prix d’une nuit (€) | 60 | 80 | 85 | 90 | 110 | 120 | 350 | 500 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 1 200 | 1 350 | 1 000 | 1 100 | 1 200 | 1 300 | 900 | 300 |
3. Étendue des prix : c’est la différence entre le prix le plus élevé et le prix le plus bas.
\[ 500 – 60 = 440. \]
L’étendue est de 440 €.
4. Moyenne des prix, arrondie à l’euro : c’est une moyenne pondérée par les effectifs. L’effectif total vaut
\[ 1\,200 + 1\,350 + 1\,000 + 1\,100 + 1\,200 + 1\,300 + 900 + 300 = 8\,350. \]
\[ \,\overline{x} = \dfrac{60 \times 1\,200 + 80 \times 1\,350 + 85 \times 1\,000 + 90 \times 1\,100 + 110 \times 1\,200 + 120 \times 1\,300 + 350 \times 900 + 500 \times 300}{8\,350} \]
\[ \,\overline{x} = \dfrac{1\,117\,000}{8\,350} \approx 133{,}77. \]
Le prix moyen d’une nuit est d’environ 134 €.
5. Les hôteliers affirment qu’au moins la moitié des nuits est facturée à moins de 100 €. Est-ce vrai ?
On calcule les effectifs cumulés croissants :
| Prix d’une nuit (€) | 60 | 80 | 85 | 90 | 110 | 120 | 350 | 500 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif cumulé croissant | 1 200 | 2 550 | 3 550 | 4 650 | 5 850 | 7 150 | 8 050 | 8 350 |
Les nuits facturées moins de 100 € sont celles à 60, 80, 85 et 90 € : il y en a 4 650. La moitié de l’effectif total est \(8\,350 : 2 = 4\,175\).
Comme \(4\,650 \gt 4\,175\), plus de la moitié des nuits (environ 56 %) coûte moins de 100 €. Autrement dit, la médiane de la série est 90 € (la 4 175e et la 4 176e valeurs valent 90 €), et \(90 \lt 100\).
L’affirmation des hôteliers est vraie.
Exercice 4 :
Scratch : construction d’un parallélogramme et d’une fleur (20 points)
1.a. On construit le parallélogramme KLMN (KL = 35 pas, LM = 20 pas, angle de 120° en L et de 60° en M) à l’échelle 1 cm pour 5 pas.
Comme \(35 : 5 = 7\) et \(20 : 5 = 4\), on trace un parallélogramme de côtés 7 cm et 4 cm : on trace [KL] de 7 cm, puis avec le rapporteur un angle \(\widehat{KLM} = 120^\circ\) et [LM] de 4 cm, et on complète en traçant les côtés opposés parallèles et de même longueur.
1.b. Valeurs à écrire dans le bloc Pétale. Le lutin part de K, orienté vers la droite, et tourne vers la gauche. À chaque sommet, il doit tourner de l’angle extérieur, c’est-à-dire \(180^\circ\) moins l’angle du parallélogramme :
- en L : \(180^\circ – 120^\circ = 60^\circ\) ;
- en M : \(180^\circ – 60^\circ = 120^\circ\).
Ligne 4 : Avancer de 35 pas Ligne 5 : Tourner de 60 degrés Ligne 6 : Avancer de 20 pas Ligne 7 : Tourner de 120 degrés
La boucle « répéter 2 fois » trace ainsi les quatre côtés et le lutin revient en K, dans sa direction de départ (\(2 \times (60^\circ + 120^\circ) = 360^\circ\)).
2.a. Le motif Fleur est formé de 5 pétales : à la ligne 2, il faut répéter 5 fois.
2.b. Les 5 pétales sont répartis régulièrement autour du centre et font un tour complet, soit 360°. Entre deux pétales, le lutin doit donc tourner de \(360^\circ : 5 = 72^\circ\). C’est pourquoi on tourne de 72 degrés à la ligne 4.
2.c. Le nouveau motif comporte 12 pétales régulièrement répartis. Il faut donc répéter 12 fois et tourner de \(360^\circ : 12 = 30^\circ\) entre deux pétales :
Ligne 2 : Répéter 12 fois Ligne 4 : Tourner de 30 degrés
Exercice 5 :
Périmètre, vitesse, conversion d’unités, aire et comparaison de prix (18 points)
La piste est formée de deux lignes droites de 850 m et de deux virages en demi-cercle de rayon 40 m.
1. Montrer qu’un tour mesure environ 1 951 m.
Les deux demi-cercles de rayon 40 m forment un cercle complet, de périmètre \(2 \pi R = 2 \times \pi \times 40 = 80\pi\) m. La longueur d’un tour vaut donc :
\[ \ell = 2 \times 850 + 80\pi = 1\,700 + 80\pi \approx 1\,700 + 251{,}3 \approx 1\,951{,}3 \text{ m}. \]
Un tour de piste mesure bien environ 1 951 m.
2.a. Le cheval fait un tour en 2 min 9 s. Vitesse moyenne en m/s, arrondie à l’unité.
\(2 \text{ min } 9 \text{ s} = 2 \times 60 + 9 = 129 \text{ s}\). Donc :
\[ v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{1\,951}{129} \approx 15{,}12 \text{ m/s}. \]
La vitesse moyenne du cheval est d’environ 15 m/s.
2.b. Conversion en km/h. En une heure (3 600 s), le cheval parcourt 3 600 fois plus de distance qu’en une seconde :
\[ 15 \text{ m/s} = \dfrac{15 \times 3\,600}{1\,000} \text{ km/h} = 15 \times 3{,}6 \text{ km/h} = 54 \text{ km/h}. \]
Le cheval court à environ 54 km/h. (Avec la valeur non arrondie, \(15{,}12 \times 3{,}6 \approx 54{,}4\) km/h.)
3. La piste a une aire d’environ 73 027 m². Quelle marque de gazon revient le moins cher ?
Pour chaque marque, on calcule le nombre de sacs nécessaires (en arrondissant à l’entier supérieur, car on ne peut acheter qu’un nombre entier de sacs et toute la surface doit être couverte), puis le coût.
| Marque | Surface par sac | Calcul | Nombre de sacs | Coût |
|---|---|---|---|---|
| A | 500 m² | \(73\,027 : 500 = 146{,}054\) | 147 | \(147 \times 141{,}95 = 20\,866{,}65\) € |
| B | 400 m² | \(73\,027 : 400 \approx 182{,}57\) | 183 | \(183 \times 87{,}90 = 16\,085{,}70\) € |
| C | 300 m² | \(73\,027 : 300 \approx 243{,}42\) | 244 | \(244 \times 66{,}50 = 16\,226\) € |
C’est la marque B qui coûte le moins cher (16 085,70 €).
