Corrigé du contrôle de maths 1ère : radians, cercle trigonométrique et cosinus

Exercice 1 : Degrés, radians et longueur d’arc (4 points)

1. Les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles, avec \(180^\circ\) pour \(\pi\) rad. On multiplie donc par \(\frac{\pi}{180}\) :

   \(30 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}\) ; \(135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}\) ; \(240 \times \frac{\pi}{180} = \frac{4\pi}{3}\) ; \(330 \times \frac{\pi}{180} = \frac{11\pi}{6}\).

   \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\) rad, \(135^\circ = \frac{3\pi}{4}\) rad, \(240^\circ = \frac{4\pi}{3}\) rad et \(330^\circ = \frac{11\pi}{6}\) rad.

2. On remplace \(\pi\) par \(180^\circ\) : \(\frac{2 \times 180}{5} = 72\) et \(\frac{7 \times 180}{6} = 210\). \(\frac{2\pi}{5}\) rad \(= 72^\circ\) et \(\frac{7\pi}{6}\) rad \(= 210^\circ\).
3. Sur un cercle de rayon \(r\), un angle au centre de \(\alpha\) radians intercepte un arc de longueur \(\ell = r\alpha\). Ici \(\ell = 6 \times \frac{\pi}{3} = 2\pi\). L’arc mesure \(2\pi\) cm.

Barème : a) 0,5 point par conversion ; b) 0,5 point par conversion ; c) 0,5 point pour la formule \(\ell = r\alpha\), 0,5 point pour le résultat exact avec l’unité.

Exercice 2 : Des points sur le cercle trigonométrique (4 points)

1. On compte les arcs de \(\frac{\pi}{6}\) ou de \(\frac{\pi}{4}\) à partir de \(I\), dans le sens direct pour les réels positifs, dans le sens indirect pour les réels négatifs.

   \(A\) est à deux arcs de \(\frac{\pi}{6}\) au-dessus de \(I\) : \(A\) est associé à \(\frac{\pi}{3}\).

   \(B\) est à trois arcs de \(\frac{\pi}{4}\) dans le sens direct : \(B\) est associé à \(\frac{3\pi}{4}\).

   \(C\) est le point diamétralement opposé à \(I\) : \(C\) est associé à \(\pi\).

   \(D\) est à cinq arcs de \(\frac{\pi}{6}\) sous \(I\), dans le sens indirect : \(D\) est associé à \(-\frac{5\pi}{6}\) (et non à \(\frac{7\pi}{6}\), qui n’est pas dans \(]-\pi ; \pi]\)).

   \(E\) est à un arc de \(\frac{\pi}{4}\) sous \(I\) : \(E\) est associé à \(-\frac{\pi}{4}\).

2. \(\frac{13\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2 \times 2\pi\) : on fait deux tours complets puis on s’arrête en \(\frac{\pi}{3}\). \(\frac{13\pi}{3}\) est associé au point \(A\).

   \(-\frac{5\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} – 2\pi\) : les deux réels diffèrent d’un tour. \(-\frac{5\pi}{4}\) est associé au point \(B\).

3. \(2026\pi = 1013 \times 2\pi\) : c’est un nombre entier de tours complets. \(2026\pi\) est associé au point \(I\), comme 0.

Erreur fréquente : donner \(\frac{7\pi}{6}\) pour le point \(D\). C’est bien un réel associé à \(D\), mais la consigne impose l’intervalle \(]-\pi ; \pi]\).

Barème : a) 0,5 point par point ; b) 0,5 point par réel avec la décomposition en tours ; c) 0,5 point.

Exercice 3 : Valeurs remarquables (4 points)

1. \(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\).

   Le point associé à \(\frac{3\pi}{4}\) est le symétrique de celui associé à \(\frac{\pi}{4}\) par rapport à l’axe des ordonnées ; il a la même ordonnée : \(\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

   \(\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}\) : le point est le symétrique de celui associé à \(\frac{\pi}{6}\) par rapport à \(O\) : \(\cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

   \(\frac{11\pi}{6} = 2\pi – \frac{\pi}{6}\) : même point que \(-\frac{\pi}{6}\), symétrique de celui de \(\frac{\pi}{6}\) par rapport à l’axe des abscisses : \(\sin(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{2}\).

2. Les points du cercle d’abscisse \(-\frac{1}{2}\) sont les symétriques, par rapport à l’axe des ordonnées, des points associés à \(\frac{\pi}{3}\) et \(-\frac{\pi}{3}\), soit \(\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\) et \(\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}\). \(\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\).
3. Le point cherché a pour abscisse \(\frac{\sqrt{2}}{2} > 0\) et pour ordonnée \(-\frac{\sqrt{2}}{2} < 0\) : il est dans le quart de cercle situé sous l’axe des abscisses, à droite. C’est le symétrique du point associé à \(\frac{\pi}{4}\) par rapport à l’axe des abscisses. \(x = -\frac{\pi}{4}\).

Barème : a) 0,5 point par valeur exacte ; b) 0,5 point par réel ; c) 0,5 point pour l’analyse des signes, 0,5 point pour la valeur.

Exercice 4 : Avec la relation fondamentale (4 points)

1. Pour tout réel \(x\), \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), donc \(\cos^2 x = 1 – (\frac{3}{5})^2 = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\).

   Ainsi \(\cos x = \frac{4}{5}\) ou \(\cos x = -\frac{4}{5}\).

   Or \(x \in [\frac{\pi}{2} ; \pi]\) : le point associé est à gauche de l’axe des ordonnées, donc \(\cos x \leq\, 0\). \(\cos x = -\frac{4}{5}\).

2. \(\sin^2 y = 1 – \cos^2 y = 1 – \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\), donc \(\sin y = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) ou \(\sin y = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\).

   Or \(y \in [-\frac{\pi}{2} ; 0]\) : le point associé est sous l’axe des abscisses, donc \(\sin y \leq\, 0\). \(\sin y = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\).

3. \(0{,}6^2 + 0{,}7^2 = 0{,}36 + 0{,}49 = 0{,}85 \neq 1\). Un tel réel \(t\) n’existe pas, car on aurait \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\).

Erreur fréquente : écrire \(\cos x = \sqrt{1 – \sin^2 x}\) sans réfléchir au signe. La racine carrée donne toujours un nombre positif ; c’est l’intervalle qui fixe le signe.

Barème : a) 0,5 point pour la relation, 0,5 point pour \(\frac{16}{25}\), 0,5 point pour les deux possibilités, 0,5 point pour le choix du signe justifié ; b) 0,5 point pour \(\frac{8}{9}\), 0,5 point pour la simplification \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\), 0,5 point pour le signe justifié ; c) 0,5 point.

Exercice 5 : La grande roue (4 points)

1. La longueur de l’arc parcouru est \(\ell = r\theta = 20 \times \frac{\pi}{6} = \frac{10\pi}{3}\). La nacelle a parcouru \(\frac{10\pi}{3}\) m, soit environ \(10{,}5\) m.
2. \(\ell = r\theta\) donne \(\theta = \frac{\ell}{r} = \frac{15\pi}{20} = \frac{3\pi}{4}\). En degrés : \(\frac{3 \times 180}{4} = 135\). La nacelle a tourné de \(\frac{3\pi}{4}\) rad, soit \(135^\circ\).
3. Pour \(\theta = \frac{\pi}{6}\) : \(h = 22 + 20 \times \frac{1}{2} = 22 + 10 = 32\). La nacelle est à 32 m du sol.

   Pour \(\theta = \frac{5\pi}{4}\) : \(\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}\), donc \(\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

   \(h = 22 + 20 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 22 – 10\sqrt{2}\). La nacelle est à \(22 – 10\sqrt{2}\) m du sol.

4. Pour tout \(\theta\), \(\sin\theta \leq\, 1\), donc \(h \leq\, 22 + 20 = 42\), avec égalité quand \(\sin\theta = 1\), c’est-à-dire pour \(\theta = \frac{\pi}{2}\) dans \([0 ; 2\pi[\). La hauteur maximale est 42 m, atteinte pour \(\theta = \frac{\pi}{2}\).

Barème : a) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point en radians, 0,5 point en degrés ; c) 0,5 point pour 32 m, 0,5 point pour \(\sin(\frac{5\pi}{4})\), 0,5 point pour \(22 – 10\sqrt{2}\) ; d) 0,5 point pour la hauteur et l’angle.

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Après le corrigé du contrôle : radians, cercle trigonométrique et cosinus

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