Corrigé du contrôle de maths 1ère : suites et fonction exponentielle

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

1. \(u_{10} = u_0 + 10r = 3 + 40\), donc \(u_{10} = 43\).
2. \(v_3 = v_0 \times q^3 = 5 \times 8\), donc \(v_3 = 40\).
3. \(e^{3} \times e^{-5} = e^{3 + (-5)}\), donc \(e^{3} \times e^{-5} = e^{-2}\).
4. \((e^{x})^2 = e^{2x}\).
5. \(e^{2x-1} = e^{0}\) équivaut à \(2x – 1 = 0\), donc \(x = \frac{1}{2}\).
6. La dérivée de \(e^{ax+b}\) est \(ae^{ax+b}\) : \(x \mapsto 3e^{3x}\).
7. \(\frac{20 \times 21}{2} = 210\) : la somme vaut 210.
8. La fonction exponentielle est strictement croissante et \(0{,}5 > 0{,}3\), donc \(e^{0{,}5} > e^{0{,}3}\).

Barème : 0,5 point par réponse exacte.

Exercice 2 : Deux abonnements de salle de sport (4 points)

1. \(a_2 = 40 + 2 = 42\) et \(a_3 = 42 + 2 = 44\). On ajoute 2 à chaque terme pour obtenir le suivant : \((a_n)\) est arithmétique de raison 2 et de premier terme \(a_1 = 40\).
2. \(a_n = a_1 + (n-1) \times 2 = 40 + 2(n-1)\), soit \(a_n = 2n + 38\).
   \(a_{12} = 2 \times 12 + 38\), donc \(a_{12} = 62\) € : le douzième mois coûte 62 €.
3. Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique : nombre de termes \(\times \) (premier terme + dernier terme) \(: 2\).
   \(S_A = 12 \times \frac{40 + 62}{2} = 12 \times 51 = 612\).
   Avec la formule A, Yanis paie 612 € sur un an.
4. Augmenter de \(5\,\%\) revient à multiplier par \(1{,}05\) : \(b_{n+1} = 1{,}05 \times b_n\), donc \((b_n)\) est géométrique de raison \(1{,}05\) et de premier terme \(b_1 = 30\).
   \(b_n = 30 \times 1{,}05^{n-1}\), et \(b_{12} = 30 \times 1{,}05^{11} \approx 51{,}31\) €.
5. Somme des termes d’une suite géométrique : premier terme \(\times \frac{1 – q^{\text{nombre de termes}}}{1 – q}\).
   \(S_B = 30 \times \frac{1 – 1{,}05^{12}}{1 – 1{,}05} = 30 \times \frac{1{,}05^{12} – 1}{0{,}05} = 600 \times (1{,}05^{12} – 1) \approx 477{,}51\).
   Avec la formule B, Yanis paie environ 477,51 € : la formule B est la plus économique sur un an (environ 134,49 € de moins).

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour \(a_n\), 0,5 point pour \(a_{12}\) ; c) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le résultat ; d) 0,5 point ; e) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour la comparaison.

Erreur fréquente : utiliser 11 termes au lieu de 12, ou \(1{,}05^{12}\) au lieu de \(1{,}05^{11}\) pour \(b_{12}\) : le premier terme a pour indice 1, pas 0.

Exercice 3 : Un algorithme de seuil (3 points)

1. Une hausse de \(8\,\%\) revient à multiplier par \(1{,}08\) : \(p_{n+1} = 1{,}08 \times p_n\). La suite \((p_n)\) est donc géométrique de raison \(1{,}08\) et de premier terme \(p_0 = 1\,200\), d’où \(p_n = 1\,200 \times 1{,}08^n\).
   Comme \(p_0 > 0\) et \(q = 1{,}08 > 1\), la suite \((p_n)\) est strictement croissante.
2. On continue tant que la population est strictement inférieure à 2 400 :

   def seuil():
       n = 0
       p = 1200
       while p < 2400:
           n = n + 1
           p = p * 1.08
       return n
   

3. \(p_9 = 1\,200 \times 1{,}08^9 \approx 2\,398{,}8\), donc \(p_9 < 2\,400\).
   \(p_{10} = 1\,200 \times 1{,}08^{10} \approx 2\,590{,}7\), donc \(p_{10} \geq\, 2\,400\).
   Comme la suite est croissante, la fonction renvoie 10 : la population aura doublé en \(2026 + 10 = 2036\).

Barème : a) 0,5 point pour la nature et \(p_n\), 0,5 point pour le sens de variation ; b) 0,5 point par ligne complétée ; c) 0,5 point pour l’encadrement par \(p_9\) et \(p_{10}\), 0,5 point pour la conclusion.

Erreur fréquente : répondre 9 parce que \(p_9 \approx 2\,399\) : il faut atteindre 2 400, et \(p_9\) est encore en dessous.

Exercice 4 : Étude d’une fonction avec l’exponentielle (5 points)

1. \(f(0) = (2 – 0)e^{0} = 2 \times 1\), donc \(f(0) = 2\).
   Pour tout réel \(x\), \(e^{x} > 0\), donc \(f(x)\) a le signe de \(2 – x\).
   \(f(x) > 0\) sur \([-2 ; 2[\), \(f(2) = 0\) et \(f(x) < 0\) sur \(]2 ; 3]\).
2. \(f = uv\) avec \(u(x) = 2 – x\), \(u^{\prime}(x) = -1\), \(v(x) = e^{x}\), \(v^{\prime}(x) = e^{x}\).
   \(f^{\prime}(x) = u^{\prime}(x)v(x) + u(x)v^{\prime}(x) = -e^{x} + (2 – x)e^{x} = (-1 + 2 – x)e^{x}\).
   \(f^{\prime}(x) = (1 – x)e^{x}\).
3. Comme \(e^{x} > 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(1 – x\) : positif sur \([-2 ; 1]\), nul en 1, négatif sur \([1 ; 3]\).
   \(f(-2) = 4e^{-2} \approx 0{,}54\) ; \(f(1) = (2 – 1)e^{1} = e \approx 2{,}72\) ; \(f(3) = (2 – 3)e^{3} = -e^{3} \approx -20{,}09\).
   \(f\) est croissante sur \([-2 ; 1]\) et décroissante sur \([1 ; 3]\).

   

4. \(f(0) = 2\) et \(f^{\prime}(0) = (1 – 0)e^{0} = 1\).
   \(y = f^{\prime}(0)(x – 0) + f(0)\), donc la tangente a pour équation \(y = x + 2\).
5. D’après le tableau de variations, \(f\) atteint son maximum en \(x = 1\), et ce maximum vaut \(e\). Donc, pour tout \(x\) de \([-2 ; 3]\), \(f(x) \leq\, e\), c’est-à-dire \((2 – x)e^{x} \leq\, e\).

Barème : a) 0,5 point pour \(f(0)\), 0,5 point pour le signe justifié par \(e^{x} > 0\) ; b) 0,5 point pour la formule \((uv)^{\prime}\), 0,5 point pour les dérivées de \(u\) et \(v\), 0,5 point pour la factorisation ; c) 0,5 point pour le signe, 0,5 point pour le tableau avec les valeurs exactes ; d) 0,5 point pour \(f^{\prime}(0)\), 0,5 point pour l’équation ; e) 0,5 point.

Exercice 5 : Un médicament dans le sang (4 points)

1. \(u_{n+1} = 8e^{-0{,}5(n+1)} = 8e^{-0{,}5n – 0{,}5} = 8e^{-0{,}5n} \times e^{-0{,}5} = e^{-0{,}5} \times u_n\).
   \((u_n)\) est géométrique de raison \(q = e^{-0{,}5} \approx 0{,}61\) et de premier terme \(u_0 = 8e^{0} = 8\).
2. On a \(u_0 > 0\) et \(0 < q < 1\) (car \(-0{,}5 < 0\) donc \(e^{-0{,}5} < e^{0} = 1\)).
   La suite \((u_n)\) est strictement décroissante.
3. La dérivée de \(t \mapsto e^{-0{,}5t}\) est \(t \mapsto -0{,}5e^{-0{,}5t}\), donc \(f^{\prime}(t) = 8 \times (-0{,}5)e^{-0{,}5t} = -4e^{-0{,}5t}\).
   Comme \(e^{-0{,}5t} > 0\), on a \(f^{\prime}(t) < 0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \([0 ; +\infty[\).
4. \(f(3) = 8e^{-1{,}5} \approx 1{,}79\). Au bout de 3 heures, il reste environ 1,79 mg. Les deux modèles coïncident car \(u_n = f(n)\) pour tout entier \(n\) : les points du nuage sont sur la courbe de \(f\).
5. À la calculatrice : \(u_4 = 8e^{-2} \approx 1{,}08\) et \(u_5 = 8e^{-2{,}5} \approx 0{,}66\).
   Donc \(u_4 > 1\) et \(u_5 < 1\) ; comme la suite est décroissante, tous les termes suivants restent sous 1 mg.
   La mesure devient inférieure à 1 mg au bout de 5 heures.

Barème : a) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour la raison et le premier terme ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour \(f^{\prime}(t)\), 0,5 point pour le signe et la conclusion ; d) 0,5 point pour la valeur et l’explication ; e) 0,5 point pour \(u_4\) et \(u_5\), 0,5 point pour la conclusion.

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Après le corrigé du contrôle : suites et fonction exponentielle

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