Voici le corrigé du brevet de maths 2023 des centres étrangers, épreuve de deux heures passée le 14 juin 2023 et notée sur 100 points. Puis le sujet s’ouvre sur un QCM en deux parties : un programme Scratch qui trace des triangles équilatéraux, puis un calcul de fractions, une écriture scientifique et une médiane. De plus, l’exercice de la cabane de jardin mobilise la trigonométrie, le théorème de Pythagore, celui de Thalès, un volume de pavé droit et un partage selon un ratio 3 : 2. Viennent ensuite deux programmes de calcul comparés au tableur puis par une équation produit, une tombola qui mêle probabilités à deux épreuves et décomposition en facteurs premiers, et enfin une comparaison de tarifs de location de bateaux avec une fonction linéaire et une fonction affine. De même, toutes les réponses sont justifiées et vérifiées.
De même, L’énoncé de cette épreuve est sur la page Centres étrangers : brevet de maths 2023 avec sujet et corrigé. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet (corrigé étrangers 2023)
Exercice 1 :
QCM – Scratch, fractions, écriture scientifique, médiane – 18 points. Aucune justification n’était demandée, mais nous expliquons chaque choix.
Partie A : le programme Scratch
Le bloc « Triangle équilatéral » répète 3 fois : avancer de 50 pas puis tourner d’un certain angle. Ensuite, le script principal place le lutin en \((0\,;0)\), l’oriente vers la droite, puis répète 2 fois : tracer le triangle, puis tourner de 60°.
Question 1. Quelle valeur mettre dans « tourner de … degrés » pour obtenir le triangle équilatéral : 60°, 100° ou 120° ?
Également, les angles d’un triangle équilatéral mesurent 60°. Mais le lutin ne tourne pas de l’angle intérieur : arrivé au bout d’un côté, il regarde dans le prolongement de ce côté et doit pivoter de l’angle extérieur, c’est-à-dire \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\). Par ailleurs, on peut aussi le voir ainsi : après trois rotations, le lutin a fait un tour complet, donc chaque rotation vaut \(360^\circ: 3=120^\circ\).
Réponse C : 120°.
Question 2. Quelle figure obtient-on avec le script principal ?
Le premier triangle est tracé à partir de l’origine, lutin orienté vers la droite. Puis le lutin revient alors à son point de départ avec son orientation initiale ; il tourne de 60° et trace un second triangle identique, image du premier par la rotation de centre le point de départ et d’angle 60°. Comme l’angle du triangle en ce sommet vaut justement 60°, le second triangle vient se coller au premier le long d’un côté commun : les deux triangles forment un losange partagé par une diagonale. Ensuite, la figure A correspond à une rotation de 90° et la figure B à deux triangles simplement posés côte à côte.
Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.
Exercice 1 : (suite)
Réponse C.
Question 3. Quel polygone obtient-on si la boucle « répéter 2 fois » devient « répéter 6 fois » ?
On trace alors 6 triangles équilatéraux autour du point de départ, chacun tourné de 60° par rapport au précédent. Comme \(6\times 60^\circ=360^\circ\), ils font exactement le tour du point et forment un hexagone régulier.
Réponse B : un hexagone.
Partie B : calculs
Question 1. Calculer \(A=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{7}{5}): \dfrac{4}{3}\).
Par ailleurs, la multiplication est prioritaire dans la parenthèse :
\[A=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{15}): \dfrac{4}{3}=(\dfrac{10}{15}-\dfrac{7}{15}): \dfrac{4}{3}=\dfrac{3}{15}: \dfrac{4}{3}.\]
Enfin, diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[A=\dfrac{3}{15}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{60}=\dfrac{3}{20}.\]
La réponse A multiplie par \(\dfrac{4}{3}\) au lieu de son inverse, et la réponse B oublie le terme \(\dfrac{2}{3}\). Réponse C : \(\dfrac{3}{15}\times \dfrac{3}{4}\).
Question 2. Écriture scientifique de \(302{,}4\times 10^{18}\).
De plus, une écriture scientifique s’écrit \(a\times 10^n\) avec \(1\leq\, a\lt 10\). Or \(302{,}4=3{,}024\times 10^{2}\), donc
\[302{,}4\times 10^{18}=3{,}024\times 10^{2}\times 10^{18}=3{,}024\times 10^{20}.\]
La réponse C a la bonne valeur mais \(0{,}3024\) n’est pas compris entre 1 et 10. Réponse B : \(3{,}024\times 10^{20}\).
Question 3. Masses de huit biscuits : 12 g, 10 g, 18 g, 8 g, 12 g, 15 g, 11 g, 13 g. Si le biscuit de 18 g pèse en réalité 16 g, la médiane sera-t-elle plus petite, la même ou plus grande ?
Ainsi, rangées dans l’ordre croissant : 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 13 ; 15 ; 18. Puis il y a 8 valeurs (nombre pair), la médiane est la moyenne des 4e et 5e valeurs : \(\dfrac{12+12}{2}=12\) g.
Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.
Exercice 1 : (suite)
Remplacer 18 par 16 ne modifie que la plus grande valeur, qui reste la dernière de la liste (16 est supérieur à 15) : les 4e et 5e valeurs ne changent pas, la médiane vaut toujours 12 g. Réponse B : la même.
Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.
Exercice 2 (corrigé étrangers 2023)
La cabane de jardin et le toboggan – trigonométrie, Pythagore, Thalès, volume, ratio – 24 points
De même, données : \(AB=1{,}3\) m, \(AC=0{,}5\) m, \(BC=DF=1{,}2\) m, \(DE=2{,}04\) m ; les triangles ABC, BMN et FDE sont rectangles (en C, N et D).
Partie A : étude du toboggan
1. Également, le toboggan est sécurisé si l’angle \(\widehat{DEF}\) mesure 30° au degré près. Est-ce le cas ?
Par ailleurs, dans le triangle FDE rectangle en D, on connaît le côté opposé [DF] et le côté adjacent [DE] à l’angle \(\widehat{DEF}\). De plus, on utilise donc la tangente :
\[\tan\widehat{DEF}=\dfrac{DF}{DE}=\dfrac{1{,}2}{2{,}04}\approx 0{,}588.\]
Enfin, À la calculatrice (touche \(\arctan\) ou \(\tan^{-1}\)) : \(\widehat{DEF}\approx 30{,}5^\circ\), soit 30° au degré près : le toboggan est sécurisé.
2. De plus, montrer que la rampe EF mesure environ 2,37 m.
Ainsi, le triangle FDE est rectangle en D, d’hypoténuse [EF]. D’après le théorème de Pythagore :
\[EF^2=DF^2+DE^2=1{,}2^2+2{,}04^2=1{,}44+4{,}1616=5{,}6016.\]
\[EF=\sqrt{5{,}6016}\approx 2{,}367.\]
La rampe mesure environ 2,37 m (au centimètre près).
Partie B : étude de l’échelle
Exercice 2 (corrigé étrangers 2023) (suite)
1. Démontrer que (AC) et (MN) sont parallèles.
Le triangle ABC est rectangle en C, donc \((AC)\perp(BC)\). Ensuite, le triangle BMN est rectangle en N, donc \((MN)\perp(BN)\), c’est-à-dire \((MN)\perp(BC)\) puisque N appartient à [BC]. Également, or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, elles sont parallèles entre elles. Donc \((AC)\parallel(MN)\).
Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Par ailleurs, de plus, on prend le temps de bien rédiger.
Exercice 2 (corrigé étrangers 2023) (suite)
2. On place la poutre de sorte que \(BN=0{,}84\) m. Par ailleurs, calculer MN.
Les points B, M, A d’une part et B, N, C d’autre part sont alignés, et les droites (MN) et (AC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{MN}{AC},\quad\text{soit}\quad \dfrac{0{,}84}{1{,}2}=\dfrac{BM}{1{,}3}=\dfrac{MN}{0{,}5}.\]
\[MN=\dfrac{0{,}84\times 0{,}5}{1{,}2}=\dfrac{0{,}42}{1{,}2}=0{,}35.\]
La poutre [MN] mesure 0,35 m, soit 35 cm.
Partie C : étude du bac à sable
1. De même, volume du bac, pavé droit de 200 cm sur 180 cm sur 20 cm, en cm³.
\[V=200\times 180\times 20=720\,000\ \text{cm}^3.\]
Le bac a un volume de 720 000 cm³.
Exercice 2 (corrigé étrangers 2023) (suite) (suite)
2. Le bac (0,72 m³) est rempli de sable à maçonner et de sable fin dans le ratio 3 : 2. Puis vérifier les volumes 0,432 m³ et 0,288 m³.
On a bien \(1\ \text{m}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3\), donc \(720\,000\ \text{cm}^3=0{,}72\ \text{m}^3\). Ensuite, le ratio 3 : 2 signifie que pour 3 parts de sable à maçonner il y a 2 parts de sable fin : le volume total est partagé en \(3+2=5\) parts égales.
| Sable à maçonner | Sable fin | Total | |
|---|---|---|---|
| Parts | 3 | 2 | 5 |
| Volume (m³) | \(\dfrac{3}{5}\times 0{,}72=0{,}432\) | \(\dfrac{2}{5}\times 0{,}72=0{,}288\) | 0,72 |
Il faut 0,432 m³ de sable à maçonner et 0,288 m³ de sable fin.
3. Également, Coût total sachant qu’un sac de sable à maçonner contient 0,022 m³ et coûte 2,95 €, et qu’un sac de sable fin contient 0,016 m³ et coûte 5,95 € (sacs entiers uniquement).
Par ailleurs, sable à maçonner : \(0{,}432: 0{,}022\approx 19{,}6\). 19 sacs ne suffisent pas, il faut donc 20 sacs.
Enfin, sable fin : \(0{,}288: 0{,}016=18\), il faut exactement 18 sacs.
\[20\times 2{,}95+18\times 5{,}95=59+107{,}10=166{,}10.\]
Le sable coûte 166,10 € au total.
Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.
Exercice 3 :
Les deux programmes de calcul – tableur, calcul littéral, équation produit – 15 points
De plus, programme d’Amir : choisir un nombre, soustraire 5, prendre le double du résultat. Programme de Sonia : choisir un nombre, ajouter 3, multiplier le résultat par le nombre choisi, soustraire 16.
1. Montrer qu’en partant de 6, Amir obtient 2 et Sonia 38.
Amir : \(6-5=1\), puis \(1\times 2=2\).
Sonia : \(6+3=9\), puis \(9\times 6=54\), puis \(54-16=38\).
En partant de 6, Amir obtient bien 2 et Sonia 38.
2.a. Quelle formule a été saisie en B2 puis étirée vers la droite : =(B1-5)*2, =(-2-5)*2 ou =B1-5*2 ?
La formule doit faire référence à la cellule du nombre choisi (B1) pour s’adapter quand on l’étire, et les parenthèses sont indispensables car on double le résultat de la soustraction. Il fallait saisir =(B1-5)*2.
2.b. D’après la feuille de calcul (nombres de −2 à 4), quel nombre donne des résultats égaux ?
Ainsi, dans la colonne du nombre 2, les deux programmes affichent −6. Il faut choisir 2.
Exercice 3 (suite)
3.a. Montrer que le programme de Sonia donne \(x^2+3x-16\).
En partant de \(x\) : on ajoute 3, ce qui donne \(x+3\) ; on multiplie par \(x\) : \((x+3)\times x\) ; on soustrait 16 :
\[(x+3)\times x-16=x^2+3x-16.\]
Le programme de Sonia donne bien \(x^2+3x-16\).
3.b. On admet que les résultats sont égaux pour les solutions de \((x-2)(x+3)=0\). Puis résoudre cette équation et conclure.
De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.
Exercice 3 : (suite)
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
\[x-2=0\quad\text{ou}\quad x+3=0,\quad\text{donc}\quad x=2\quad\text{ou}\quad x=-3.\]
Les deux programmes donnent le même résultat pour les nombres de départ 2 et −3. On retrouve la valeur 2 lue dans le tableur ; la valeur −3 n’y apparaissait pas car le tableau commençait à −2.
De même, Vérification pour −3 : Amir obtient \((-3-5)\times 2=-16\) et Sonia \((-3+3)\times (-3)-16=0-16=-16\).
Pour aller plus loin (non demandé) : Amir obtient \(2(x-5)=2x-10\). L’égalité \(2x-10=x^2+3x-16\) équivaut à \(x^2+x-6=0\), et en développant \((x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6\) : c’est bien l’équation admise dans l’énoncé.
Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.
Exercice 4 (corrigé étrangers 2023)
La tombola – probabilités, arithmétique – 22 points
Également, l’urne contient 3 boules noires numérotées de 1 à 3 et 4 boules rouges numérotées de 1 à 4, indiscernables au toucher.
Partie A : étude du jeu
Par ailleurs, on tire une boule au hasard : il y a \(3+4=7\) issues équiprobables.
1.a. Probabilité de tirer une boule rouge.
Enfin, il y a 4 boules rouges sur 7 : \(P(\text{rouge})=\dfrac{4}{7}\approx 0{,}57\).
1.b. Probabilité de tirer une boule portant un numéro pair.
De plus, les boules paires sont la noire n° 2, la rouge n° 2 et la rouge n° 4, soit 3 boules : \(P(\text{pair})=\dfrac{3}{7}\approx 0{,}43\).
Exercice 4 (corrigé étrangers 2023) (suite)
2. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. De plus, on gagne si l’on obtient la boule rouge n° 1 et une boule noire. Enfin, quelle est la probabilité de gagner ?
Ainsi, le tirage se fait avec remise : les deux tirages sont identiques et indépendants, et à chaque fois \(P(\text{R1})=\dfrac{1}{7}\) et \(P(\text{noire})=\dfrac{3}{7}\). Ensuite, l’ordre n’étant pas imposé, on gagne soit avec « R1 puis une noire », soit avec « une noire puis R1 ». Par ailleurs, on regroupe les autres boules rouges (R2, R3, R4) dans une même branche de probabilité \(\dfrac{3}{7}\).
Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.
Exercice 4 (corrigé étrangers 2023) (suite)
\[P(\text{gagner})=\dfrac{1}{7}\times \dfrac{3}{7}+\dfrac{3}{7}\times \dfrac{1}{7}=\dfrac{3}{49}+\dfrac{3}{49}=\dfrac{6}{49}\approx 0{,}12.\]
On peut le retrouver en dénombrant : il y a \(7\times 7=49\) couples équiprobables, dont 6 gagnants : (R1 ; N1), (R1 ; N2), (R1 ; N3), (N1 ; R1), (N2 ; R1), (N3 ; R1). La probabilité de gagner est \(\dfrac{6}{49}\), soit environ 12 %.
Partie B : constitution des lots
De même, on dispose de 195 figurines et 234 autocollants, à répartir entièrement en lots identiques.
1. Également, Peut-on faire 3 lots ?
\(195: 3=65\) et \(234: 3=78\) : les deux divisions tombent juste. Oui, on peut faire 3 lots de 65 figurines et 78 autocollants.
2. Par ailleurs, décomposer 195 en produit de facteurs premiers.
195 se termine par 5, donc \(195=5\times 39\), et \(39=3\times 13\). Puis les nombres 3, 5 et 13 sont premiers :
\[195=3\times 5\times 13.\]
3.a. Sachant que \(234=2\times 3^2\times 13\), combien de lots au maximum ?
Enfin, le nombre de lots doit diviser à la fois 195 et 234 ; le nombre maximal est leur plus grand diviseur commun. Ensuite, les facteurs premiers communs aux deux décompositions sont 3 (une fois) et 13, donc
\[\text{PGCD}(195\,;234)=3\times 13=39.\]
On peut constituer au maximum 39 lots.
3.b. Composition de chaque lot.
\(195: 39=5\) et \(234: 39=6\). Chaque lot contient 5 figurines et 6 autocollants.
Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.
Exercice 5 :
Promenade en bateau sur le canal – lecture graphique, fonction linéaire, fonction affine, équation – 21 points
De plus, le graphique de l’annexe représente le prix payé à la société A en fonction de la durée de location : c’est une droite issue de l’origine passant par le point \((2\,;60)\). Puis le graphique ci-dessous reprend cette droite (en bleu) et ajoute celle de la société B demandée à la question 2.b (en vert).
1. Tarif de la société A
1.a. Prix pour 2 heures : on lit l’ordonnée du point d’abscisse 2 de la droite bleue. On paie 60 €.
Exercice 5 (suite)
1.b. Avec un budget de 100 €, combien d’heures entières ? De plus, le prix de 100 € correspond à environ 3,3 h ; comme on loue un nombre entier d’heures, 3 h coûtent 90 € et 4 h coûteraient 120 €. On peut louer le bateau 3 heures.
1.c. Pourquoi le prix est-il proportionnel à la durée ? Ensuite, la représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère : c’est la caractéristique d’une situation de proportionnalité. Le prix est donc proportionnel à la durée.
Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, de plus, on prend le temps de bien rédiger.
Exercice 5 : (suite)
1.d. Prix pour 10 heures, par le calcul. Par proportionnalité, 1 heure coûte \(60: 2=30\) €, donc 10 heures coûtent
\[10\times 30=300\ \text{€}.\]
Autrement dit, le prix de la société A est donné par la fonction linéaire \(g(x)=30x\), et \(g(10)=300\). Le prix pour 10 heures est 300 €.
2. Tarif de la société B : 60 € de frais de dossier plus 15 € par heure.
2.a. Montrer que 2 heures coûtent 90 €.
\[60+2\times 15=60+30=90.\]
Deux heures coûtent bien 90 €.
2.b. Tracer la représentation de \(f(x)=15x+60\).
\(f\) est une fonction affine : sa représentation graphique est une droite, deux points suffisent. \(f(0)=60\) donne le point \((0\,;60)\) et \(f(2)=90\) donne le point \((2\,;90)\) ; pour plus de précision on peut aussi placer \((10\,;210)\) car \(f(10)=60+150=210\). C’est la droite verte du graphique.
Exercice 5 : (suite) (suite)
2.c. Le prix est-il proportionnel à la durée ?
La droite ne passe pas par l’origine (on paie 60 € même pour 0 heure). Par ailleurs, on peut aussi comparer : 10 heures, c’est 5 fois plus que 2 heures, mais \(210\neq 5\times 90=450\). Le prix de la société B n’est pas proportionnel à la durée.
3. Comparaison des deux tarifs
3.a. Pour 3 heures, quelle société choisir et quel prix payer ?
Société A : \(3\times 30=90\) €. Société B : \(60+3\times 15=60+45=105\) €. Ainsi, comme \(90\lt 105\), il faut choisir la société A et on paie 90 €. Le graphique le confirme : à l’abscisse 3, la droite bleue est sous la droite verte.
Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.
Exercice 5 : (suite)
3.b. Pour quelle durée le prix est-il le même ?
On cherche \(x\) tel que \(30x=15x+60\) :
\[30x-15x=60\quad\Longleftrightarrow\quad 15x=60\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{60}{15}=4.\]
Vérification : \(30\times 4=120\) et \(60+15\times 4=120\). Graphiquement, c’est l’abscisse du point d’intersection I des deux droites. Pour 4 heures de location, les deux sociétés demandent le même prix : 120 €.
Bien travailler avec corrigé étrangers 2023
Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. De même, de plus, un travail régulier sur corrigé étrangers 2023 vaut mieux qu’une longue séance.
Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec corrigé du brevet de maths 2026 en Amérique du Nord.
