Voici le corrigé du brevet de maths 2026 en Amérique du Nord, épreuve passée le 3 juin 2026 dans le nouveau format du diplôme national du brevet. La partie 1 d’automatismes (20 minutes, sans calculatrice) regroupe huit questions rapides : somme de fractions, réduction de 10 %, diagonales d’un rectangle, équation du premier degré, lecture de coordonnées, médiane, cosinus et critère de divisibilité par 3. La partie 2 comporte quatre exercices : une configuration de Thalès où l’on démontre d’abord un angle droit par la réciproque de Pythagore, une étude de fonctions (images, antécédent, tableur, lecture graphique et équation \(x^2-4=0\)), un problème sur l’intelligence artificielle mêlant pourcentages, probabilité et écriture scientifique, et un exercice de programmation Scratch sur des carrés et des triangles équilatéraux. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Amérique du Nord 2026 : brevet de maths avec sujet et corrigé en PDF. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Partie 1 : automatismes
Partie 1 – Automatismes, 6 points, 20 minutes sans calculatrice. Aucune justification n’est demandée, mais nous détaillons le raisonnement.
Question 1. Calculer \(A=\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}\).
On réduit au même dénominateur 12 : \(\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}\) et \(\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}\). Donc
\[A=\dfrac{8}{12}+\dfrac{9}{12}=\dfrac{17}{12}.\]
\(A=\dfrac{17}{12}\)
Question 2. Un article coûte 45 €. Quel est son prix après une réduction de 10 % ?
Baisser de 10 % revient à garder 90 % du prix, c’est-à-dire à multiplier par \(0{,}9\) :
\[45\times 0{,}9=40{,}5.\]
On peut aussi calculer la réduction : 10 % de 45 € valent 4,50 €, et \(45-4{,}5=40{,}5\). Le nouveau prix est 40,50 €.
Question 3. Un quadrilatère est dessiné à main levée avec ses diagonales ; les quatre demi-diagonales portent le même codage. Est-ce un losange (A), un rectangle (B), un carré (C), ou ni l’un ni l’autre (D) ?
Le codage indique que les diagonales se coupent en leur milieu : le quadrilatère est donc un parallélogramme. Il indique aussi que les deux diagonales ont la même longueur. Or un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle. Rien n’indique en revanche que les diagonales sont perpendiculaires : on ne peut pas conclure qu’il s’agit d’un losange ou d’un carré.
Réponse B : c’est un rectangle.
Question 4. Résoudre l’équation \(5x-15=20\).
\[5x-15=20 \iff 5x=35 \iff x=\dfrac{35}{5}=7.\]
Vérification : \(5\times 7-15=35-15=20\). La solution est \(x=7\).
Question 5. Dans un repère, on lit l’abscisse du point \(A\) puis les coordonnées du point \(B\).
- Le point \(A\) se trouve sur la verticale passant par \(-4\) : l’abscisse de \(A\) est \(-4\) (son ordonnée est 2).
- Le point \(B\) est à l’abscisse \(-2\) et à l’ordonnée \(-1\) : \(B(-2\,;\,-1)\).
Question 6. Déterminer la médiane de la série 8 ; 19 ; 12 ; 3 ; 12 ; 25 ; 3 ; 11 ; 1.
On range d’abord les valeurs dans l’ordre croissant :
\[1\ ;\ 3\ ;\ 3\ ;\ 8\ ;\ 11\ ;\ 12\ ;\ 12\ ;\ 19\ ;\ 25.\]
La série compte 9 valeurs (nombre impair) : la médiane est la valeur du milieu, la 5e, qui laisse 4 valeurs de chaque côté. La médiane vaut 11.
Question 7. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), avec \(BC=5\) cm et \(\widehat{ABC}=60^\circ\). Quelle formule donne \(AB\) : \(5\times \sin(60)\), \(5\times \cos(60)\), \(5: \sin(60)\) ou \(5: \cos(60)\) ?
Le triangle est rectangle en \(A\), donc \([BC]\) est l’hypoténuse. Pour l’angle \(\widehat{ABC}\), le côté \([AB]\) est le côté adjacent. Le cosinus relie ces deux longueurs :
\[\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}\quad\text{donc}\quad \cos(60^\circ)=\dfrac{AB}{5}\quad\text{soit}\quad AB=5\times \cos(60^\circ).\]
La bonne formule est \(5\times \cos(60)\) (ce qui donne \(AB=2{,}5\) cm puisque \(\cos(60^\circ)=0{,}5\)).
Question 8. Donner un diviseur de 387 autre que 1 et lui-même.
La somme des chiffres de 387 vaut \(3+8+7=18\), qui est un multiple de 3 (et même de 9). D’après le critère de divisibilité, 387 est donc divisible par 3 : \(387=3\times 129\). 3 est un diviseur de 387 (on pouvait aussi répondre 9, car \(387=9\times 43\), ou encore 43 ou 129).
| Question | 1 | 2 | 3 | 4 | 5.1 | 5.2 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | \(\dfrac{17}{12}\) | 40,50 € | B | 7 | \(-4\) | \((-2\,;\,-1)\) | 11 | \(5\times \cos(60)\) | 3 |
Exercice 1 :
Géométrie : réciproque de Pythagore, parallélisme et théorème de Thalès (2,5 points)
Les points \(B\), \(A\), \(E\) sont alignés, ainsi que \(C\), \(A\), \(D\). Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), avec \(DE=4{,}8\) cm, \(AD=7{,}3\) cm, \(AE=5{,}5\) cm et \(BC=7{,}2\) cm.
1. Montrer que le triangle \(AED\) est rectangle en \(E\).
Dans le triangle \(AED\), le plus grand côté est \([AD]\). On compare le carré de sa longueur à la somme des carrés des deux autres :
\[AD^2=7{,}3^2=53{,}29\qquad AE^2+DE^2=5{,}5^2+4{,}8^2=30{,}25+23{,}04=53{,}29.\]
On a \(AD^2=AE^2+DE^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(AED\) est rectangle en \(E\) (le sommet opposé à l’hypoténuse \([AD]\)).
2. Calculer l’aire du triangle \(AED\).
Le triangle étant rectangle en \(E\), les côtés \([AE]\) et \([DE]\) sont perpendiculaires : l’un sert de base, l’autre de hauteur.
\[\mathcal{A}_{AED}=\dfrac{AE\times DE}{2}=\dfrac{5{,}5\times 4{,}8}{2}=\dfrac{26{,}4}{2}=13{,}2.\]
L’aire du triangle \(AED\) est 13,2 cm².
3. Pourquoi les droites \((BC)\) et \((ED)\) sont-elles parallèles ?
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), donc \((BC)\perp(BA)\). Les points \(B\), \(A\), \(E\) étant alignés, la droite \((BA)\) est la droite \((BE)\) : ainsi \((BC)\perp(BE)\).
D’après la question 1, le triangle \(AED\) est rectangle en \(E\), donc \((ED)\perp(AE)\), c’est-à-dire \((ED)\perp(BE)\).
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles. Donc \((BC)\parallel(ED)\).
4. Calculer la valeur exacte de \(AB\).
Les droites \((BE)\) et \((CD)\) sont sécantes en \(A\), et \((BC)\parallel(ED)\). D’après le théorème de Thalès dans les triangles \(ABC\) et \(AED\) :
\[\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{ED}\qquad\text{donc}\qquad \dfrac{AB}{5{,}5}=\dfrac{7{,}2}{4{,}8}.\]
Comme \(\dfrac{7{,}2}{4{,}8}=\dfrac{72}{48}=\dfrac{3}{2}\), on obtient :
\[AB=5{,}5\times \dfrac{3}{2}=\dfrac{11}{2}\times \dfrac{3}{2}=\dfrac{33}{4}.\]
\(AB=\dfrac{33}{4}\) cm, soit \(AB=8{,}25\) cm (valeur exacte, puisque le quotient tombe juste).
5. On admet que \(\widehat{ACB}\approx 49^\circ\). En déduire la mesure de \(\widehat{ADE}\).
Les droites \((BC)\) et \((ED)\) sont parallèles, et la droite \((CD)\) les coupe. Les angles \(\widehat{ACB}\) (en \(C\)) et \(\widehat{ADE}\) (en \(D\)) sont situés de part et d’autre de la sécante \((CD)\) et entre les deux parallèles : ce sont des angles alternes-internes. Des angles alternes-internes formés par deux droites parallèles ont la même mesure, donc :
\[\widehat{ADE}=\widehat{ACB}\approx 49^\circ.\]
\(\widehat{ADE}\approx 49^\circ\).
Autre méthode : les triangles \(ABC\) et \(AED\) ont des angles en \(A\) opposés par le sommet (donc égaux) et chacun un angle droit ; leurs troisièmes angles sont donc égaux. On peut d’ailleurs vérifier que \(\tan(\widehat{ACB})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{8{,}25}{7{,}2}\), ce qui donne bien environ \(48{,}9^\circ\).
Exercice 2 :
Fonctions : images, antécédents, tableur, lecture graphique et équations (3,5 points)
On considère les fonctions \(f(x)=(x-1)(x+3)\) et \(g(x)=2x+1\).
1. Calculer \(f(-4)\).
\[f(-4)=(-4-1)(-4+3)=(-5)\times (-1)=5.\]
\(f(-4)=5\).
2. Déterminer l’antécédent de 2 par \(g\).
On cherche \(x\) tel que \(g(x)=2\) :
\[2x+1=2 \iff 2x=1 \iff x=\dfrac{1}{2}.\]
Vérification : \(g(\dfrac{1}{2})=2\times \dfrac{1}{2}+1=2\). L’antécédent de 2 par \(g\) est \(\dfrac{1}{2}=0{,}5\).
3. Un tableur donne les images des entiers de 0 à 8 par \(f\) (ligne 2) et par \(g\) (ligne 3) :
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 2 | \(f(x)\) | \(-3\) | 0 | 5 | 12 | 21 | 32 | 45 | 60 | 77 |
| 3 | \(g(x)\) | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 |
a. Formule à saisir en B3 puis à étirer vers la droite : la valeur de \(x\) est en B1 et \(g(x)=2x+1\), donc on tape =2*B1+1. En étirant, la référence B1 devient C1, D1, etc.
b. Une solution de \(f(x)=g(x)\) se lit dans la colonne où les lignes 2 et 3 sont égales : colonne D, \(f(2)=5=g(2)\). \(x=2\) est solution.
4. Les deux fonctions sont représentées graphiquement par les courbes \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\).
a. \(f\) est une fonction du second degré (en développant, on trouve un terme en \(x^2\)) : sa représentation est une parabole. \(g\) est une fonction affine : sa représentation est une droite. \(\mathcal{C}_1\) représente \(f\) et \(\mathcal{C}_2\) représente \(g\).
b. Les solutions de \(f(x)=g(x)\) sont les abscisses des points d’intersection des deux courbes. On lit deux points d’intersection, d’abscisses \(-2\) et \(2\) (points \((-2\,;\,-3)\) et \((2\,;\,5)\)). Les solutions sont \(-2\) et \(2\).
5. Lola affirme que les solutions de \(f(x)=g(x)\) sont les mêmes que celles de \(x^2-4=0\). A-t-elle raison ?
On développe \(f(x)\) : \((x-1)(x+3)=x^2+3x-x-3=x^2+2x-3\). Alors :
\[f(x)=g(x)\iff x^2+2x-3=2x+1\iff x^2-3=1\iff x^2-4=0.\]
Les deux équations sont équivalentes : elles ont exactement les mêmes solutions. Lola a raison.
On le confirme en factorisant : \(x^2-4=(x-2)(x+2)=0\) si et seulement si \(x=2\) ou \(x=-2\), ce qui correspond bien aux solutions lues graphiquement.
Exercice 3 :
Pourcentages, probabilité et conversions d’unités autour de l’intelligence artificielle (4 points)
Partie A
Une IA est entraînée sur 50 000 images : 28 000 « Objets du quotidien », 12 000 « Animaux », 8 000 « Véhicules », le reste dans la catégorie « Autres ».
1. Nombre d’images de la catégorie « Autres ».
\[28\,000+12\,000+8\,000=48\,000\qquad\text{puis}\qquad 50\,000-48\,000=2\,000.\]
La catégorie « Autres » contient 2 000 images.
2. L’IA reconnaît correctement 90 % des « Objets du quotidien ». Combien d’images cela représente-t-il ?
\[\dfrac{90}{100}\times 28\,000=0{,}9\times 28\,000=25\,200.\]
25 200 images de cette catégorie sont correctement reconnues.
3. L’IA reconnaît correctement 5 600 images de « Véhicules ». Quel pourcentage de réussite cela représente-t-il ?
\[\dfrac{5\,600}{8\,000}=0{,}7=\dfrac{70}{100}.\]
Le taux de réussite dans cette catégorie est de 70 %.
4. Probabilité qu’une image tirée au hasard soit un « Objet du quotidien » (nombre décimal).
Le tirage se fait au hasard : chacune des 50 000 images a la même chance d’être choisie. On est en situation d’équiprobabilité, donc la probabilité est le quotient du nombre d’issues favorables par le nombre total d’issues :
\[P=\dfrac{28\,000}{50\,000}=\dfrac{28}{50}=0{,}56.\]
La probabilité cherchée est 0,56.
Partie B
En 2024, la consommation annuelle de l’IA est estimée à 82 000 GWh ; un collège consomme en moyenne 200 000 kWh par an. On rappelle que \(1\text{ kWh}=10^3\text{ Wh}\) et \(1\text{ GWh}=10^9\text{ Wh}\).
5. Convertir ces consommations en Wh, en écriture scientifique.
Un nombre est en écriture scientifique lorsqu’il s’écrit \(a\times 10^n\) avec \(1\leq\, a\lt 10\) et \(n\) entier relatif.
- IA : \(82\,000\text{ GWh}=82\,000\times 10^9\text{ Wh}=8{,}2\times 10^4\times 10^9\text{ Wh}\), soit \(8{,}2\times 10^{13}\) Wh.
- Collège : \(200\,000\text{ kWh}=200\,000\times 10^3\text{ Wh}=2\times 10^5\times 10^3\text{ Wh}\), soit \(2\times 10^{8}\) Wh.
6. Combien de collèges pourrait-on alimenter pendant un an avec la consommation de l’IA ?
\[\dfrac{8{,}2\times 10^{13}}{2\times 10^{8}}=\dfrac{8{,}2}{2}\times 10^{13-8}=4{,}1\times 10^{5}=410\,000.\]
On pourrait alimenter environ 410 000 collèges pendant un an.
7. Il y a environ 7 100 collèges en France. Pendant combien d’années pourrait-on tous les alimenter avec la consommation annuelle de l’IA ?
La consommation de l’IA équivaut à 410 000 « années-collège ». Répartie sur 7 100 collèges :
\[\dfrac{410\,000}{7\,100}\approx 57{,}7.\]
Même résultat en passant par les consommations : les 7 100 collèges consomment \(7\,100\times 2\times 10^8=1{,}42\times 10^{12}\) Wh par an, et \(\dfrac{8{,}2\times 10^{13}}{1{,}42\times 10^{12}}\approx 57{,}7\).
On pourrait alimenter tous les collèges français pendant environ 58 ans.
Exercice 4 :
Algorithmique et programmation : blocs de tracé Scratch, carrés et triangles équilatéraux (2 points). Aucune justification n’est demandée.
L’élève crée trois blocs : « Initialisation » (aller à x : 0, y : 0 ; s’orienter à 90, c’est-à-dire vers la droite ; effacer tout ; stylo en position d’écriture), « carré » (répéter A fois : avancer de 50 pas, tourner ↺ de B degrés) et « triangle équilatéral » (répéter C fois : avancer de 50 pas, tourner ↻ de D degrés).
1. Coordonnées du lutin après le bloc 1.
L’instruction « aller à x : 0, y : 0 » place le lutin à l’origine ; les instructions suivantes changent son orientation ou l’état du stylo, mais ne le déplacent pas. Le lutin est en \((0\,;\,0)\).
2. Valeurs de A, B, C et D.
- Un carré a 4 côtés et, à chaque sommet, le lutin tourne de l’angle extérieur \(180^\circ-90^\circ=90^\circ\) : A = 4 et B = 90.
- Un triangle équilatéral a 3 côtés et des angles de \(60^\circ\) ; le lutin tourne donc de l’angle extérieur \(180^\circ-60^\circ=120^\circ\) (et non de \(60^\circ\), piège classique) : C = 3 et D = 120.
On peut contrôler : sur un tour complet, le lutin tourne de \(4\times 90^\circ=360^\circ\) pour le carré et de \(3\times 120^\circ=360^\circ\) pour le triangle.
3. Associer chaque programme à sa figure.
- Programme 1 : il trace un triangle équilatéral, puis répète 3 fois « carré, avancer de 50, tourner ↻ de 120° » : il pose un carré sur chacun des trois côtés du triangle. C’est la figure faite de trois carrés autour d’un triangle : figure B.
- Programme 2 : il trace un carré, puis répète 4 fois « triangle équilatéral, avancer de 50, tourner ↺ de 90° » : un triangle sur chaque côté du carré, ce qui donne une étoile à quatre branches : figure C.
- Programme 3 : il n’utilise que des triangles équilatéraux (un triangle de départ puis trois autres, en tournant de 60°) : quatre petits triangles qui forment un grand triangle : figure A.
| Programme | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Figure | B | C | A |
