Voici le corrigé du brevet de maths 2017 en Polynésie, épreuve du 23 juin 2017 notée sur 50 points (45 points d’exercices et 5 points de maîtrise de la langue). Par ailleurs, les six exercices sont résolus pas à pas, avec un rappel de chaque question. Puis on y travaille un QCM varié (conversion entre mégaoctets et gigaoctets, diagonale d’un rectangle, équation du premier degré, fraction irréductible, formule de tableur), un problème de vitesse moyenne à partir des dimensions d’un TGV, une figure de géométrie mêlant le théorème de Pythagore et la réciproque de Thalès, des probabilités autour des lettres du mot BAKLAVA, un programme de calcul traduit en script Scratch avec une inéquation, et enfin le problème des bus, qui se résout avec les multiples communs et le PPCM de 24 et 32.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Polynésie 2017 : sujet du brevet de mathématiques : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet (corrigé Polynésie 2017)
Exercice 1 (corrigé Polynésie 2017)
QCM, 7 points
Question 1. Combien faut-il environ de CD de 700 Mo pour stocker autant de données qu’une clé de 32 Go ? (a. 46 ; b. 4 600 ; c. 4 600 000)
Un gigaoctet vaut 1 000 mégaoctets, donc \( 32 \text{ Go} = 32\,000 \text{ Mo} \). Ensuite, on divise par la capacité d’un CD :
\[ \frac{32\,000}{700} \approx 45{,}7 \]
45 CD ne suffisent pas (\( 45 \times 700 = 31\,500 \lt 32\,000 \)) ; il en faut donc environ 46. Réponse a.
Question 2. La diagonale d’un rectangle de 10 cm sur 20 cm mesure environ : a. 15 cm ; b. 22 cm ; c. 30 cm.
Enfin, Soit ABCD ce rectangle avec AB = 10 cm et BC = 20 cm. Puis le triangle ABC est rectangle en B, donc d’après le théorème de Pythagore :
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 = 10^2 + 20^2 = 100 + 400 = 500 \]
AC étant une longueur positive, \( AC = \sqrt{500} \approx 22{,}4 \) cm. Réponse b.
Question 3. Une solution de l’équation \( 2x + 3 = 7x – 4 \) est : a. \( \frac{5}{7} \) ; b. 1,4 ; c. \( -0{,}7 \).
\[ 2x + 3 = 7x – 4 \iff 2x – 7x = -4 – 3 \iff -5x = -7 \iff x = \frac{-7}{-5} = \frac{7}{5} = 1{,}4 \]
De plus, Vérification : \( 2 \times 1{,}4 + 3 = 5{,}8 \) et \( 7 \times 1{,}4 – 4 = 5{,}8 \). Réponse b.
Question 4. La fraction irréductible égale à \( \frac{882}{1\,134} \) est : a. \( \frac{14}{9} \) ; b. \( \frac{63}{81} \) ; c. \( \frac{7}{9} \).
On cherche le PGCD de 882 et 1 134. Avec \( 882 = 2 \times 3^2 \times 7^2 \) et \( 1\,134 = 2 \times 3^4 \times 7 \), on obtient \( \text{PGCD} = 2 \times 3^2 \times 7 = 126 \). Donc :
\[ \frac{882}{1\,134} = \frac{7 \times 126}{9 \times 126} = \frac{7}{9} \]
La réponse a est fausse (\( \frac{14}{9} \gt 1 \) alors que \( 882 \lt 1\,134 \)) et la réponse b est égale à \( \frac{7}{9} \) mais n’est pas irréductible (63 et 81 sont divisibles par 9). Réponse c.
Question 5. On considère la fonction \( f : x \mapsto 3x + 4 \). De plus, dans un tableur, les nombres sont en ligne 1 (à partir de B1) et leurs images en ligne 2. Quelle formule saisir en B2 puis recopier vers la droite ? a. =3*A1+4 ; b. =3*5+4 ; c. =3*B1+4.
Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Enfin, de plus, on prend le temps de bien rédiger.
Exercice 1 : (suite)
La cellule B2 doit contenir l’image du nombre situé juste au-dessus, en B1. Ensuite, la formule =3*A1+4 utiliserait la mauvaise cellule et =3*5+4 donnerait toujours le même résultat une fois recopiée. Par ailleurs, la formule =3*B1+4 devient =3*C1+4, =3*D1+4… quand on la recopie vers la droite. Réponse c.
Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.
Exercice 2 (corrigé Polynésie 2017)
Analyse de documents, 8 points
Ainsi, on demande à quelle vitesse, en km/h arrondie à l’unité, un TGV est passé sans s’arrêter devant un observateur, sachant qu’il a mis 13,53 secondes à défiler entièrement devant lui.
Longueur du TGV. Le TGV est formé de deux rames ; chaque rame compte deux motrices A encadrant dix voitures B.
- Une motrice A mesure \( 5\,000 + 14\,000 = 19\,000 \) mm, soit 19 m.
- Une voiture B mesure 18 300 mm, soit 18,3 m.
- Le train comporte donc 4 motrices A et 20 voitures B.
\[ L = 4 \times 19 + 20 \times 18{,}3 = 76 + 366 = 442 \text{ m} \]
Vitesse du TGV. Pour passer entièrement devant l’observateur, le train parcourt sa propre longueur, 442 m, soit 0,442 km, en 13,53 s. Puis une heure compte 3 600 s ; on complète le tableau de proportionnalité :
| Distance (km) | 0,442 | \( d \) |
|---|---|---|
| Temps (s) | 13,53 | 3 600 |
\[ d = \frac{3\,600 \times 0{,}442}{13{,}53} \approx 117{,}6 \text{ km} \]
En une heure, le train parcourrait environ 117,6 km : il roulait à environ 118 km/h.
De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.
Exercice 3 :
Géométrie, 9 points
1. a. Tracer un triangle CDE rectangle en D tel que CD = 6,8 cm et DE = 3,4 cm.
De même, on trace le segment [CD] de 6,8 cm, la perpendiculaire à (CD) passant par D, et on y place E à 3,4 cm de D. Ensuite, la figure ci-dessous (réduite) contient aussi les constructions de la question 2.
1. b. Calculer CE au dixième de centimètre près.
Le triangle CDE est rectangle en D, donc d’après le théorème de Pythagore :
\[ CE^2 = CD^2 + DE^2 = 6{,}8^2 + 3{,}4^2 = 46{,}24 + 11{,}56 = 57{,}8 \]
CE est une longueur positive, donc \( CE = \sqrt{57{,}8} \approx 7{,}6 \) : CE ≈ 7,6 cm.
Exercice 3 (suite)
2. a. Placer le point F sur [CD] tel que CF = 2 cm.
On reporte 2 cm à partir de C sur le segment [CD] ; on a alors DF = 4,8 cm.
2. b. Placer le point G sur [CE] tel que FG = 1 cm.
On trace le cercle de centre F et de rayon 1 cm ; G est un point d’intersection de ce cercle avec [CE]. Remarque : l’énoncé ne le signale pas, mais le cercle coupe le segment [CE] en deux points, notés G et G′ sur la figure. Puis en effet, la distance de F à la droite (CE) vaut environ 0,89 cm, ce qui est inférieur à 1 cm. De plus, de plus, les deux positions sont acceptables et on étudie les deux cas ci-dessous.
Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.
Exercice 3 : (suite)
2. c. Les droites (FG) et (DE) sont-elles parallèles ?
Les points C, F, D d’une part et C, G, E d’autre part sont alignés dans le même ordre. Ensuite, on compare les rapports :
\[ \frac{CF}{CD} = \frac{2}{6{,}8} = \frac{5}{17} \approx 0{,}294 \]
Premier cas : le point G le plus éloigné de C. Par le calcul (repère d’origine D), ce point est situé exactement à 1 cm au-dessus de F, donc \( CG = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \) cm. Comme \( CE = \sqrt{57{,}8} = 3{,}4\sqrt{5} \) :
\[ \frac{CG}{CE} = \frac{\sqrt{5}}{3{,}4\sqrt{5}} = \frac{1}{3{,}4} = \frac{5}{17} \]
Les rapports \( \frac{CF}{CD} \) et \( \frac{CG}{CE} \) sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG) et (DE) sont parallèles. Par ailleurs, on le retrouve d’ailleurs sur la figure : (FG) est perpendiculaire à (CD), comme (DE).
Second cas : le point G′ le plus proche de C. On trouve \( CG^{\prime} = 0{,}6\sqrt{5} \approx 1{,}34 \) cm, d’où
\[ \frac{CG^{\prime}}{CE} = \frac{0{,}6\sqrt{5}}{3{,}4\sqrt{5}} = \frac{3}{17} \neq \frac{5}{17} = \frac{CF}{CD} \]
Les rapports sont différents : d’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (FG′) et (DE) ne sont pas parallèles.
Conclusion : la réponse dépend du point G choisi ; seul le point G tel que CG = √5 cm donne une droite (FG) parallèle à (DE).
Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.
Exercice 4 (corrigé Polynésie 2017)
Probabilités, 6 points
Également, un sachet opaque contient sept baklavas indiscernables au toucher, portant chacun une lettre du mot BAKLAVA. Puis on en tire un au hasard et on lit la lettre.
1. Quelles sont les issues de cette expérience ?
Par ailleurs, les lettres du mot BAKLAVA sont B, A, K, L, A, V, A. Ensuite, les issues possibles sont donc les 5 lettres A, B, K, L et V. Attention : elles ne sont pas équiprobables, car il y a trois A.
2. a. Probabilité que la lettre tirée soit un L.
Chacun des 7 gâteaux a la même probabilité d’être tiré, et un seul porte la lettre L :
\[ P(L) = \frac{1}{7} \]
2. b. Probabilité que la lettre tirée ne soit pas un A.
Trois gâteaux portent la lettre A, donc 4 gâteaux sur 7 ne la portent pas :
\[ P(\text{non } A) = 1 – \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \]
3. Enfin, Enzo a un sachet de 10 baklavas : 2 aux pistaches, 4 aux noisettes et les autres aux noix. Puis il en pioche un au hasard et le mange : c’était un gâteau aux noix. Laura affirme qu’au tirage suivant il aura plus de chances de tomber sur un gâteau aux noix. Ainsi, A-t-elle raison ?
Au départ, il y a \( 10 – 2 – 4 = 4 \) gâteaux aux noix, donc la probabilité de piocher un gâteau aux noix est
Exercice 4 (corrigé Polynésie 2017) (suite)
\[ \frac{4}{10} = 0{,}4 \]
Après le premier tirage, il reste 9 gâteaux dont 3 aux noix (2 aux pistaches et 4 aux noisettes n’ont pas bougé). De plus, la probabilité devient
\[ \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 \]
De plus, comme \( \frac{1}{3} \lt 0{,}4 \), les chances de piocher un gâteau aux noix ont diminué. Laura a tort. Au second tirage, c’est même un gâteau aux noisettes qui est le plus probable (\( \frac{4}{9} \)).
Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.
Exercice 5 :
Programme de calcul et Scratch, 7 points
Programme : choisir un nombre ; le multiplier par \( -4 \) ; ajouter 5 au résultat.
1. Ainsi, vérifier qu’en choisissant \( -2 \) on obtient 13.
\( -2 \times (-4) = 8 \), puis \( 8 + 5 = 13 \). Par ailleurs, on obtient bien 13.
2. Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir \( -3 \) ?
On remonte le programme à l’envers : on part de \( -3 \), on retranche 5, ce qui donne \( -8 \), puis on divise par \( -4 \) : \( -8 : (-4) = 2 \). Vérification : \( 2 \times (-4) + 5 = -3 \). Puis il faut choisir 2.
3. Salomé exécute le script suivant :
quand le drapeau vert est cliqué
demander « Choisir un nombre » et attendre
si ( -4 * réponse ) + 5 < 0 alors
dire « Bravo »
sinon
dire « Essaie encore »
3. a. Réponse du lutin si elle choisit 12 :
\( -4 \times 12 + 5 = -48 + 5 = -43 \) et \( -43 \lt 0 \) : la condition est vraie, le lutin dit « Bravo ».
Exercice 5 (suite)
3. b. Réponse du lutin si elle choisit \( -5 \) :
\( -4 \times (-5) + 5 = 20 + 5 = 25 \) et \( 25 \geq\, 0 \) : la condition est fausse, le lutin dit « Essaie encore ».
4. De même, le programme se traduit par l’expression \( -4x + 5 \). Ensuite, résoudre l’inéquation \( -4x + 5 \lt 0 \).
\[ -4x + 5 \lt 0 \iff -4x \lt -5 \iff x \gt \frac{-5}{-4} \iff x \gt \frac{5}{4} \]
On change le sens de l’inégalité en divisant par \( -4 \), nombre négatif. Puis les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à \( \frac{5}{4} = 1{,}25 \).
5. À quelle condition sur le nombre choisi est-on certain que le lutin dira « Bravo » ?
Le lutin dit « Bravo » exactement lorsque \( -4x + 5 \lt 0 \), c’est-à-dire d’après la question 4 lorsque le nombre choisi est strictement supérieur à 1,25. C’est cohérent avec la question 3 : 12 convient, \( -5 \) non.
Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De même, de plus, on prend le temps de bien rédiger.
Exercice 6 :
Le problème des bus, 8 points
Les bus des lignes 1 et 2 partent ensemble de l’arrêt « Mairie » à 6 h 30 et parcourent le même circuit de 8 arrêts. De plus, le bus de la ligne 1 met 3 minutes entre deux arrêts, celui de la ligne 2 met 4 minutes. Ensuite, ils roulent jusqu’à un peu plus de 20 h. Également, se retrouvent-ils à la Mairie en même temps, et si oui à quelles heures ?
Durée d’un tour. Le circuit compte 8 intervalles entre arrêts :
- ligne 1 : \( 8 \times 3 = 24 \) minutes par tour ;
- ligne 2 : \( 8 \times 4 = 32 \) minutes par tour.
Le bus 1 repasse à la Mairie tous les multiples de 24 minutes après 6 h 30, le bus 2 tous les multiples de 32 minutes. Par ailleurs, ils s’y retrouvent aux multiples communs de 24 et 32.
Plus petit multiple commun. On décompose : \( 24 = 2^3 \times 3 \) et \( 32 = 2^5 \), donc
\[ \text{PPCM}(24 \,;\, 32) = 2^5 \times 3 = 96 \]
On peut aussi le vérifier par les listes : bus 1 à 6 h 54, 7 h 18, 7 h 42, 8 h 06 ; bus 2 à 7 h 02, 7 h 34, 8 h 06. Puis la première rencontre après le départ a lieu 96 minutes plus tard, soit 1 h 36 après 6 h 30, donc à 8 h 06.
Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.
Exercice 6 : (suite)
Horaires des rencontres. Les bus se retrouvent à la Mairie toutes les 1 h 36 :
6 h 30 (départ), 8 h 06, 9 h 42, 11 h 18, 12 h 54, 14 h 30, 16 h 06, 17 h 42 et 19 h 18.
La rencontre suivante aurait lieu à 20 h 54, après l’arrêt du service juste après 20 h : il n’y en a donc pas d’autre. Oui, les deux bus se retrouvent à la Mairie, 8 fois après le départ commun de 6 h 30.
Bien travailler avec corrigé Polynésie 2017
D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. Par ailleurs, de plus, un travail régulier sur corrigé Polynésie 2017 vaut mieux qu’une longue séance.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec corrigé du brevet de maths 2024 aux centres étrangers.
