Puissance d'un nombre relatif : cours de maths en 4ème.

Sommaire

Puissances d’un nombre relatif avec un cours de maths en 4ème où nous aborderons la définition d’une puissance puis les différentes règles de calculs comme l’inverse d’une puissance, le produit et le quotient de puissances dans cette leçon en quatrième.

L’essentiel : Pour un nombre relatif $a$ et un entier $n$ positif, $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$, et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ pour $a\neq0$. Le signe dépend de la parité de l’exposant : $(-2)^3=-8$ et $(-2)^4=16$. Les règles sont $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ et $(a^m)^n=a^{mn}$.

Puissance entière d’un nombre relatif :

1. Puissances positives :

désigne un nombre relatif et un entier positif non nul.

Définition :

désigne le produit de n factuers tous égaux à :

$a^n=\underbrace{a\times a\times .....\times a\times a}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n fois$

Conventions :

– Pour tout nombre non nul, .- Pour tout nombre , .

Exemples :

$2^5=2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$

$(-3)^4=(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)=+81$

Cas particuliers :

– Si n=1, .

– Si n=2, se lit a au carré .

– Si n=3, se lit a au cube.

2. Puissances négatives :

Définition :

$a^{-n}$ désigne l’inverse de .

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ , où est un nombre relatif différent de zéro.

Exemples :

$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2\times 2\times 2}=\frac{1}{8}$

$(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{(-3)\times (-3)}=\frac{1}{9}$

3. Produit de puissances :

Propriété :

Soient deux entiers relatifs et un nombre relatif non nul.

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

Preuve :
$a^m\times a^n=\underbrace{a\times a\times ...a\times a}\times \underbrace{a\times ..\times a}=\underbrace{a\times a\times ....\times a}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m\, fois\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\,fois\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m+n\,fois$

Exemples :

$5^3\times 5^2=5^{3+2}=5^5$

$7^4\times 7^{-5}=7^{4+(-5)}=7^{-1}$

4. Quotient de puissances :

Propriété :

Soient deux entiers relatifs et un nombre relatif non nul.

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Preuve :

$\frac{a^m}{a^n}=a^m\times \frac{1}{a^n}=a^m\times a^{-n}=a^{m+(-n)}=a^{m-n}$

Exemples :

$\frac{2^7}{2^3}=2^{7-3}=2^4$

$\frac{10^{-15}}{10^3}=10^{-15-3}=10^{-18}$

$\frac{7^{-4}}{7^{-9}}=7^{-4-(-9)}=7^{-4+9}=7^5$

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