Sommaire de cette fiche
Un cours de maths en 4ème sur l’initiation à la démonstration.Ce document permet d’aborder la notion de propriété directe et réciproque ainsi que les contre-exemples.Elle est adressée aux enseignants et élèves de collège en quatrième.
I. S’APPROPRIER LE SENS DE LA LOCUTION : « Si … alors … »
En mathématiques, pour savoir si une proposition est vraie ou fausse, on utilise certaines règles.
- Une proposition mathématique est soit vraie, soit fausse.
- Donner des exemples qui vérifient une proposition donnée ne suffit pas à prouver que cette proposition est vraie.
- Donner un exemple qui ne vérifie pas une proposition donnée suffit à prouver que cette proposition est fausse. Cet exemple est appelé « contre-exemple »
- Dans le domaine géométrique, une constatation ou des mesures sur un dessin ne suffisent pas à prouver qu’une proposition est vraie.
II. Consignes de travail
Je vous propose ci-dessous 7 propositions mathématiques écrites à partir de la locution « Si…alors… ».
Je vous demande :
- premièrement de prendre position individuellement sur chacune des propositions : dire si la proposition est vraie ou fausse,
- puis d’en débattre au sein du groupe pour éventuellement adopter une position commune,
- lorsque cela est signalé, d’énoncer la proposition réciproque et de valider ou non cette proposition.
- Quels que soient les points A, B et I, si AI = IB alors le point I est milieu du segment [AB] (étude
de la réciproque).
- Quelles que soient les droites D et D’, si D est perpendiculaire à D’ alors les droites D et D’ se
coupent en un point (étude de la réciproque).
- Quel que soit le nombre décimal relatif, si ce nombre est inférieur à 3 alors il est inférieur à 9.
- Quels que soient les points A, B et I, si les points A, I et B sont alignés alors I est un point du segment [AB] (étude de réciproque).
- Quels que soient les nombres entiers, si la somme de deux nombres est paire alors ces deux nombres sont pairs.
- Quel que soit le quadrilatère, si c’est un carré alors c’est un rectangle.
- Quels que soient les nombres entiers relatifs, si deux nombres sont consécutifs alors leur produit est un nombre pair.
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