Sommaire de cette fiche
I. Développer et réduire une expression.
0. Préambule: règle des signes.
Afin de pouvoir être à l’aise avec le calcul littéral (ou algébrique), il faut impérativement maîtriser la règle des signes.
| Multiplié par | + | – |
| + | + | – |
| – | – | + |
Développer une expression c’est l’écrire sous la forme d’une somme de termes la plus simple possible.
- on développe les produits,
- on supprime les parenthèses,
- on regroupe les termes de même nature .
1. La simple distributivité
Soient a, b, k des nombres quelconques.
k x (a + b) = k x a + k x b ( simple distributivité) |
k x (a – b) = k x a – k x b (simple distributivité) |
Exemples :
12 × 108
= 12 × ( 100 + 8 )
= 12 × 100 + 12 × 8
= 1200 + 96
= 1296
14 × 999
= 14 × ( 1000 – 1 )
= 14 × 1000 – 14 × 1
= 14000 – 14
= 13 986
A = 5 (X + 3)
A = 5xX + 5×3
A = 5X + 15
B = 7 (2X – 3Y)
B = 7x2X- 7x3Y
B = 14X – 21Y
2. Suppression des parenthèses :
a. Parenthèses précédées du signe :
on supprime des parenthèses précédées du signe + , sans changer l’expression des termes inclus dans la parenthèse.
Exemples :
3 + ( 4,1 + 3 ) = 3 + 4,1 + 3 = – 4,1 .
2 + ( 2 – 10,7 ) = 2 + 2 – 10,7 = – 6,7 .
x + ( – 2,1 – 3,7 ) = x – 2,1 – 3,7 = x – 5,8 .
b. Parenthèses précédées du signe « – » :
on supprime les parenthèses précédées du signe – ,
à condition de changer les signes des termes inclus dans la parenthèse.
Exemples :
a – (b + c) = a – b – c
a – (-b + c) = a + b – c
a – (b + c) = a – b – c
3 – ( 4,1 + 3 ) = 3 – 4,1 – 3 = – 4,1
2 ( 2 + 10,7 ) = 2 – 2 – 10,7 = – 10,7
x – ( – 2,1 + 3,7 ) = x + 2,1 – 3,7 = x – 1,6
A = 4x + 28 – (6x² – 2x + 12x – 4)
A = 4x + 28 – 6x² + 2x – 12x + 4
On regroupe les termes de même nature :
A = – 6x² – 6x + 32
B = 3x² + x – (x² + 3x – 1)
B = 3x² + x – x² – 3x + 1
B = 3x² – x² + x – 3x + 1
B = 2x² – 2x + 1
II. Double distributivité et calcul littéral :
Soient a, b, c, d quatre nombres. (a + b) (c + d) = a x c + a x d + b x c + b x d (double distributivité)
Exemples :
• Développer et réduire A = (X + 5)(X + 1)
A = (X + 5)(X + 1)
A = X × X + X × 1 + 5 × X + 5 × 1
A = X² + X+ 5X + 5
A = X² + 6X + 5
• Développer et réduire B = (X + 3)(X – 2)
B = (X + 3)(X – 2)
On développe en appliquant la règle des signes .
B = X × X – X × 2 + 3 × X – 3 × 2
B = X² -2X+ 3X – 6
B = X² + X – 6
• Développer et réduire B = (2X – 4)(5X + 3)
B = (2X – 4)(5X + 3)
On développe en appliquant la règle des signes.
B = 2X × 5X + 2X × 3 -4 × 5X – 4 × 3
B = 10X² – 6X – 20X – 12
B = 10X² – 26X – 12
III. Factoriser une somme de termes
Factoriser une somme de termes, c’est la transformer en un produit de facteurs.
Méthode :
On recherche un facteur commun aux différents termes de la somme.
A = 4X + 12 (4 est un facteur commun à 4x et à 12)
On fait apparaître le facteur commun
A = 4 x X + 4 x 3
On applique la règle de la distributivité (dans le sens de la factorisation)
A = 4 x (X + 3)
B = 5a² – 25a
B = 5a x a – 5a x 5
B = 5a (a – 5)
C = (2x + 1)(7x – 3) + (2x + 1)( x + 2)
C = (2x + 1)[(7x – 3) + ( x + 2)]
C = (2x + 1)(7x – 3 + x + 2)
C = (2x + 1)(8x – 1)
D = (5x – 1)(3x – 7) – (5x – 1)(5x – 3)
D= (5x – 1) [(3x – 7) – (5x – 3)]
D = (5x – 1) (3x – 7 – 5x + 3)
D = (5x – 1) (-2x – 4)
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