Quatrième — chapitre 2 sur 11
Puissances
Une puissance résume un produit de facteurs identiques ; les puissances de 10 permettent d'écrire les très grands et très petits nombres.
Pour $n\ge 1$ entier : $a^n = \underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\ \text{facteurs}}$, et $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ ($a\ne 0$). Par convention $a^0 = 1$ et $a^1 = a$.
Pour $a$, $b$ non nuls et $m$, $n$ entiers relatifs :
$$a^m\times a^n = a^{m+n}\qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\qquad (a^m)^n = a^{mn}\qquad (ab)^n = a^nb^n\qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$$
$(-2)^4 = 16$ mais $-2^4 = -16$. Une puissance d'un négatif est positive si l'exposant est pair, négative s'il est impair.
$10^n = 1\underbrace{0\ldots0}_{n\ \text{zéros}}$ et $10^{-n} = 0{,}\underbrace{0\ldots0}_{n-1}1$. $10^3 = 1000$, $10^{-2} = 0{,}01$.
Tout nombre décimal non nul s'écrit $a\times 10^n$ avec $1\le a<10$ et $n$ entier relatif. $0{,}000\,52 = 5{,}2\times 10^{-4}$ ; $384\,000 = 3{,}84\times 10^5$.
$\dfrac{3\times 10^5\times 8\times 10^{-2}}{6\times 10^{4}} = \dfrac{24}{6}\times 10^{5-2-4} = 4\times 10^{-1} = 0{,}4$.