Puissance d'un nombre relatif : cours de maths en 4ème à télécharger.

Mise à jour le 22 avril 2020

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Sommaire de cette fiche

1 Puissance entière d’un nombre relatif :

Puissances d’un nombre relatif avec un cours de maths en 4ème où nous aborderons la définition d’une puissance puis les différentes règles de calculs comme l’inverse d’une puissance, le produit et le quotient de puissances dans cette leçon en quatrième.

Puissance entière d’un nombre relatif :

1. Puissances positives :

désigne un nombre relatif et un entier positif non nul.

Définition :

a^n désigne le produit de n factuers tous égaux à :

$a^n=\underbrace{a\times a\times .....\times a\times a}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n fois$

Conventions :

– Pour tout nombre

non nul,

.- Pour tout nombre

Exemples :

$2^5=2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$

$(-3)^4=(-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)=+81$

Cas particuliers :

– Si n=1, a^1=a .

– Si n=2, a^2 se lit a au carré .

– Si n=3, a^3 se lit a au cube.

2. Puissances négatives :

Définition :

$a^{-n}$ désigne l’inverse de a^n .

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ , où est un nombre relatif différent de zéro.

Exemples :

$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2\times 2\times 2}=\frac{1}{8}$

$(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac{1}{(-3)\times (-3)}=\frac{1}{9}$

3. Produit de puissances :

Propriété :

Soient m,n deux entiers relatifs et un nombre relatif non nul.

$a^m\times a^n=a^{m+n}$

Preuve :

$a^m\times a^n=\underbrace{a\times a\times ...a\times a}\times \underbrace{a\times ..\times a}=\underbrace{a\times a\times ....\times a}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m\, fois\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n\,fois\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,m+n\,fois$

Exemples :

$5^3\times 5^2=5^{3+2}=5^5$

$7^4\times 7^{-5}=7^{4+(-5)}=7^{-1}$

4. Quotient de puissances :

Propriété :

Soient m,n deux entiers relatifs et un nombre relatif non nul.

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Preuve :

$\frac{a^m}{a^n}=a^m\times \frac{1}{a^n}=a^m\times a^{-n}=a^{m+(-n)}=a^{m-n}$

Exemples :

$\frac{2^7}{2^3}=2^{7-3}=2^4$

$\frac{10^{-15}}{10^3}=10^{-15-3}=10^{-18}$

$\frac{7^{-4}}{7^{-9}}=7^{-4-(-9)}=7^{-4+9}=7^5$

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